上昇定理

同義語：going-up定理going upgoing-up theoremCohen–Seidenbergの上昇定理

概要

前提知識: 整拡大, 素イデアル, 局所化, Krull次元

何を述べる定理か

環の拡大 $A\subset B$ があると、$B$ の素イデアル $\mathfrak q$ から $A$ の素イデアル $\mathfrak q\cap A$ が得られる。この対応 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は一般にはたいへん粗く、$A$ の素イデアルの上に $B$ の素イデアルが 1 つもないことも、上下に重なった素イデアルが同じ素イデアルに落ちることもある。上昇定理（going-up theorem）は、$B$ が $A$ 上整なとき、この対応が次の 3 つの意味でよくふるまうことを述べる（thm-going-up-integral）。

lying over：$A$ のどの素イデアルの上にも $B$ の素イデアルがある。
不可比較性（incomparability）：同じ素イデアルの上にある $B$ の素イデアルの間には包含関係がない。
上昇性（going up）：$A$ の素イデアルの増加列は、下端の持ち上げを決めたまま $B$ に持ち上がる。
幾何学的には、$\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ が全射で、各ファイバーが「横に並んだ点」だけからなり、閉集合を閉集合に写すことに当たる（cor-going-up-closed）。標数が $2$ でない代数閉体 $k$ 上の放物線 $x=y^2$ を $x$ 軸に射影する写像がその典型で、直線の各点の上に放物線の点が 1 つか 2 つある（ex-going-up-parabola）。この 3 つから、整拡大で Krull次元が変わらないこと（cor-going-up-dimension）が従う。
逆向きの持ち上げ、すなわち素イデアルの減少列を持ち上げる問題は下降定理が扱う。そちらには底の環の整閉性などの追加の仮定が要り、下降性と上昇性は互いに他方を導かない（rem-going-up-vs-down）。
以下、環は単位元をもつ可換環とする。環準同型 $\varphi\colon A\to B$ と $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ について、$\varphi^{-1}(\mathfrak q)$ を $\mathfrak q$ の縮約とよぶ。$A\subset B$ のときは $\mathfrak q\cap A$ と書く。

定義

素イデアルの上にあることと 3 つの性質

$\varphi\colon A\to B$ を環準同型とする。$A$ の素イデアル $\mathfrak p$ と $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ について、$\varphi^{-1}(\mathfrak q)=\mathfrak p$ のとき、$\mathfrak q$ は $\mathfrak p$ の上にある（lies over $\mathfrak p$）という。

$\varphi$ が lying over の性質をもつとは、$A$ の任意の素イデアルの上に $B$ の素イデアルがあること、すなわち $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ が全射であることをいう。
$\varphi$ が不可比較性をもつとは、$B$ の素イデアル $\mathfrak q\subset\mathfrak q'$ が同じ素イデアルの上にあれば $\mathfrak q=\mathfrak q'$ であることをいう。
$\varphi$ が上昇性（going-up property）をもつとは、$A$ の素イデアル $\mathfrak p\subset\mathfrak p'$ と $\mathfrak p$ の上にある $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ に対し、$\mathfrak q\subset\mathfrak q'$ で $\mathfrak p'$ の上にある $B$ の素イデアル $\mathfrak q'$ が存在することをいう。このとき、$A$ と $B$ の間で上昇定理が成り立つともいう。

上昇性を繰り返し使うと、$A$ の素イデアルの増加列 $\mathfrak p_0\subset\mathfrak p_1\subset\dots\subset\mathfrak p_n$ と $\mathfrak p_0$ の上の $\mathfrak q_0$ から、$\mathfrak q_0\subset\mathfrak q_1\subset\dots\subset\mathfrak q_n$、$\varphi^{-1}(\mathfrak q_i)=\mathfrak p_i$ となる列が得られる。
上昇性は lying over を含まない。$\mathfrak p$ の上に素イデアルがなければ、$\mathfrak p$ から始まる条件は空だからである。たとえば剰余写像 $k[x]\to k[x]/(x)$ は上昇性をもつ（$\mathfrak p\supset(x)$ の上の素イデアルは $\mathfrak p/(x)$ だけで、$\mathfrak p'\supset\mathfrak p$ なら $\mathfrak p'/(x)$ がとれる）が、$(x-1)$ の上に素イデアルはない。逆に lying over があっても上昇性は成り立たないことがある（ex-going-up-fails）。

主定理と証明

証明では、整拡大について整拡大にある次の 2 つを使う。

命題「剰余環と局所化で保たれること」：$A\subset B$ が整拡大なら、$B$ のイデアル $J$ について $A/(J\cap A)\subset B/J$ は整拡大であり、$A$ の積閉集合 $S$ について $S^{-1}A\subset S^{-1}B$ は整拡大である。
系「極大イデアルの縮約」：整拡大 $A\subset B$ と $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ について、$\mathfrak q$ が極大であることと $\mathfrak q\cap A$ が極大であることは同値である。
素イデアル $\mathfrak p\subset A$ について、$S=A\setminus\mathfrak p$ による局所化を $A_{\mathfrak p}$、$B_{\mathfrak p}:=S^{-1}B$ と書く。不可比較性は、次の補題から直接に従う。

整域への整拡大で零でないイデアルを縮約する

$A\subset B$ を整拡大とし、$B$ は整域であるとする。$B$ の $0$ でないイデアル $J$ について、$J\cap A\ne0$ である。

$b\in J$、$b\ne0$ をとり、$b$ の整従属関係のうち次数 $n\ge1$ が最小のもの
$$ b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\dots+a_1b+a_0=0\qquad(a_i\in A) $$
をとる。$a_0=0$ とすると、$n=1$ なら $b=0$ となって矛盾し、$n\ge2$ なら $b\,(b^{n-1}+\dots+a_1)=0$ で $B$ は整域なので次数 $n-1$ の関係が得られ、最小性に反する。よって $a_0\ne0$ であり、$a_0=-b\,(b^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+\dots+a_1)\in J\cap A$ である。$\square$

整拡大の上昇定理

$A\subset B$ を整拡大とする。

（lying over）$A$ の任意の素イデアル $\mathfrak p$ に対し、$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ となる $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ が存在する。
（不可比較性）$B$ の素イデアル $\mathfrak q\subset\mathfrak q'$ が $\mathfrak q\cap A=\mathfrak q'\cap A$ をみたせば、$\mathfrak q=\mathfrak q'$ である。
（上昇性）$A$ の素イデアル $\mathfrak p\subset\mathfrak p'$ と、$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ となる $B$ の素イデアル $\mathfrak q$ に対し、$\mathfrak q\subset\mathfrak q'$ かつ $\mathfrak q'\cap A=\mathfrak p'$ となる $B$ の素イデアル $\mathfrak q'$ が存在する。

1. $A_{\mathfrak p}\subset B_{\mathfrak p}$ は整拡大である。$A_{\mathfrak p}\ne0$（$0\notin S$）なので $B_{\mathfrak p}\ne0$ であり、$B_{\mathfrak p}$ の極大イデアル $\mathfrak n$ がとれる。系「極大イデアルの縮約」により $\mathfrak n\cap A_{\mathfrak p}$ は局所環 $A_{\mathfrak p}$ の極大イデアル、すなわち $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ である。標準写像 $B\to B_{\mathfrak p}$ による $\mathfrak n$ の逆像を $\mathfrak q$ とすると、$\mathfrak q$ は $B$ の素イデアルである。合成 $A\to B\to B_{\mathfrak p}$ と $A\to A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak p}$ はどちらも $a\mapsto a/1$ なので、$\mathfrak q\cap A$ は $A\to A_{\mathfrak p}$ による $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の逆像であり、これは $\mathfrak p$ に等しい（局所化の定理「素イデアルの対応」）。
2. $\mathfrak p:=\mathfrak q\cap A$ とおく。$\bar A:=A/\mathfrak p\subset\bar B:=B/\mathfrak q$ は整拡大で、$\bar B$ は整域である。$\bar B$ のイデアル $J:=\mathfrak q'/\mathfrak q$ について、$\bar b\in J\cap\bar A$ は $b\in\mathfrak q'$ かつ $b\equiv a\pmod{\mathfrak q}$（$a\in A$）と書けるので $a\in\mathfrak q'\cap A=\mathfrak p$、すなわち $\bar b=0$ である。よって $J\cap\bar A=0$ であり、lem-going-up-nonzero により $J=0$、つまり $\mathfrak q'=\mathfrak q$ である。
3. $\bar A:=A/\mathfrak p\subset\bar B:=B/\mathfrak q$ は整拡大である（$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$）。$\mathfrak p'/\mathfrak p$ は $\bar A$ の素イデアルなので、1 により $\bar{\mathfrak q}'\cap\bar A=\mathfrak p'/\mathfrak p$ となる $\bar B$ の素イデアル $\bar{\mathfrak q}'$ がある。その $B$ への逆像 $\mathfrak q'$ は $\mathfrak q$ を含む素イデアルで、$\mathfrak q'\cap A$ は $A\to\bar A$ による $\mathfrak p'/\mathfrak p$ の逆像 $\mathfrak p'$ に等しい。$\square$

1 には、局所化を使わない別の証明がある。下降定理の補題「縮約として現れる素イデアル」により、$\mathfrak p$ の上に素イデアルがあることは $\mathfrak pB\cap A=\mathfrak p$ と同値なので、次を示せばよい。

拡大イデアルの縮約

$A\subset B$ を整拡大、$\mathfrak a$ を $A$ のイデアルとする。$a\in\mathfrak aB\cap A$ なら、ある $r\ge1$ で $a^r\in\mathfrak a$ である。とくに $A$ の素イデアル $\mathfrak p$ について $\mathfrak pB\cap A=\mathfrak p$ である。

要点：有限生成な部分環 $C$ の上で $a$ 倍を行列で表し、行列式の議論を当てる。

詳しい証明を開く

$a=\sum_{i=1}^n\pi_ib_i$（$\pi_i\in\mathfrak a$、$b_i\in B$）と書く。$b_i$ は $A$ 上整なので、整拡大の系「有限生成と有限性」の 1 により $C:=A[b_1,\dots,b_n]$ は有限生成 $A$ 加群である。生成元 $u_1,\dots,u_r$ をとる。$b_iu_j\in C$ を $u_k$ の $A$ 係数の 1 次結合に書くと、$au_j=\sum_k\alpha_{jk}u_k$（$\alpha_{jk}\in\mathfrak a$）となる。行列 $T:=aI_r-(\alpha_{jk})$ は縦ベクトル $(u_k)$ を $0$ に写すので、余因子行列を左から掛けて $\det(T)u_k=0$（すべての $k$）を得る。$1\in C$ は $u_k$ の 1 次結合なので $\det T=0$ である。展開すると $\det T=a^r+c_1a^{r-1}+\dots+c_r$ で、$c_i$ は $\alpha_{jk}$ の $i$ 個の積の和なので $\mathfrak a$ に属する。よって $a^r=-(c_1a^{r-1}+\dots+c_r)\in\mathfrak a$ である。$\mathfrak a=\mathfrak p$ が素イデアルなら $a\in\mathfrak p$ となり、$\mathfrak p\subset\mathfrak pB\cap A$ と合わせて等号を得る。$\square$

帰結

整拡大では次元が変わらない

$A\subset B$ を整拡大とし、$A\ne0$ とする。

$\dim B=\dim A$（無限大も許す）。
$B$ の素イデアル $\mathfrak q$ と $\mathfrak p:=\mathfrak q\cap A$ について、$\dim B/\mathfrak q=\dim A/\mathfrak p$ かつ $\operatorname{ht}\mathfrak q\le\operatorname{ht}\mathfrak p$ である。

1. $B$ の素イデアルの真の増加列 $\mathfrak q_0\subsetneq\dots\subsetneq\mathfrak q_n$ の縮約 $\mathfrak q_i\cap A$ は増加列で、thm-going-up-integral の 2 により隣り合う項は異なる。よって $\dim A\ge\dim B$ である。逆に $A$ の素イデアルの真の増加列 $\mathfrak p_0\subsetneq\dots\subsetneq\mathfrak p_n$ について、同じ定理の 1 で $\mathfrak p_0$ の上の $\mathfrak q_0$ をとり、3 を繰り返して $\mathfrak q_0\subset\dots\subset\mathfrak q_n$、$\mathfrak q_i\cap A=\mathfrak p_i$ を得る。縮約が相異なるので包含は真であり、$\dim B\ge\dim A$ である。
2. $A/\mathfrak p\subset B/\mathfrak q$ は整拡大で $A/\mathfrak p\ne0$ なので、1 から $\dim B/\mathfrak q=\dim A/\mathfrak p$ である。高さについては、$\mathfrak q$ で終わる真の鎖の縮約が $\mathfrak p$ で終わる真の鎖になることを 1 の前半と同じく不可比較性で確かめればよい。$\square$

$A=0$ なら $B=0$ であり、どちらも素イデアルをもたない。高さの不等式は一般には等号にならない。等号には下降定理の仮定（$A$ が整閉整域で、$A$ の $0$ でない元が $B$ の零因子でないことなど）が要る（同記事の系「整閉整域の上の整拡大と高さ」）。

スペクトルの写像は閉で全射

$A\subset B$ を整拡大とし、$f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$、$\mathfrak q\mapsto\mathfrak q\cap A$ とする。$B$ の任意のイデアル $J$ について
$$ f(V(J))=V(J\cap A) $$
である。とくに $f$ は Zariski位相について閉写像であり、全射である。

$\mathfrak q\supset J$ なら $\mathfrak q\cap A\supset J\cap A$ なので $f(V(J))\subset V(J\cap A)$ である。逆に $\mathfrak p\supset J\cap A$ とする。$\bar A:=A/(J\cap A)\subset\bar B:=B/J$ は整拡大で、$\mathfrak p/(J\cap A)$ は $\bar A$ の素イデアルなので、thm-going-up-integral の 1 によりその上にある $\bar B$ の素イデアルがある。その $B$ への逆像 $\mathfrak q$ は $J$ を含み、$\mathfrak q\cap A=\mathfrak p$ である。$J=0$ とすれば全射性を得る。$\square$

有限な拡大（$B$ が有限生成 $A$ 加群）の場合のこの主張は有限射の命題「閉集合の像」にあり、そこではさらにファイバーが有限集合であること（同記事の命題「ファイバーの点数は有限」）も示されている。整拡大一般ではファイバーは無限集合になりうるが、thm-going-up-integral の 2 により、ファイバーの点の間に特殊化の関係はない。

例

放物線の射影

$k$ を標数が $2$ でない代数閉体とし、$A:=k[y^2]\subset B:=k[y]$ とする。$A$ は 1 変数の多項式環 $k[x]$（$x=y^2$）と同型で、$y$ は $T^2-x$ の根なので $B$ は $A$ 上整である。$B$ の素イデアルは $(0)$ と $(y-b)$（$b\in k$）である。$(y-b)\cap A$ は $y^2-b^2=(y-b)(y+b)$ を含む素イデアルで、$A$ の $0$ でない素イデアルは極大なので、$(y-b)\cap A=(x-b^2)$ である。

$a\ne0$ のとき、$(x-a)$ の上にあるのは $b^2=a$ となる $b$ に対応する 2 つの極大イデアル $(y-b)$、$(y+b)$ である。$a=0$ の上にあるのは $(y)$ だけである。
$(0)$ の上にあるのは $(0)$ だけである（$0$ でないイデアルの縮約は lem-going-up-nonzero により $0$ でない）。
増加列 $(0)\subset(x-a)$ は $(0)\subset(y-b)$ に持ち上がり、$\dim A=\dim B=1$ である。
図形で言えば、放物線 $\{(x,y):x=y^2\}$ を $x$ 軸へ射影すると、原点の上で 2 点が 1 点に重なる（分岐する）。

整数環とGauss整数環

$\mathbb Z\subset\mathbb Z[i]$ は整拡大である（$i$ は $T^2+1$ の根）。素数 $2$ の上にある素イデアルは $(1+i)$ である。実際 $\mathbb Z[i]/(1+i)$ は $i\equiv-1$ により $\mathbb Z/2$ と同型で、$(1+i)$ は極大であり、その縮約は $2=(1+i)(1-i)$ を含む極大イデアル $(2)$ である。$\mathfrak q\cap\mathbb Z=(2)$ となる $\mathfrak q$ は $2$、したがって $(1+i)^2=2i$ を含み、素イデアルなので $1+i$ を含む。$(1+i)$ は極大なので $\mathfrak q=(1+i)$ である。素数 $5=(2+i)(2-i)$ の上には、相異なる 2 つの素イデアル $(2+i)$、$(2-i)$ がある。実際 $\mathbb Z\to\mathbb Z[i]/(2\pm i)$ は $i\equiv\mp2$ により全射で、核は $5$ を含み $1$ を含まないので、$\mathbb Z[i]/(2\pm i)\cong\mathbb Z/5$ である。また $(2-i)/(2+i)=(3-4i)/5\notin\mathbb Z[i]$ なので 2 つのイデアルは異なる。素数の上の素イデアルが 1 つのことも 2 つのこともあり、どの場合もそれらは極大で、互いに包含関係がない。

上昇性が成り立たない拡大

$R$ を離散付値環、$t$ をその一意化元、$K$ を商体、$\kappa=R/(t)$ とし、$\varphi\colon R\to B:=K\times\kappa$、$a\mapsto(a,\bar a)$ とする。$\varphi$ は単射である。$B$ の素イデアルは $\mathfrak q_1:=0\times\kappa$ と $\mathfrak q_2:=K\times0$ の 2 つで、互いに包含関係がない。$\varphi^{-1}(\mathfrak q_1)=\{a: a=0\}=(0)$、$\varphi^{-1}(\mathfrak q_2)=\{a:\bar a=0\}=(t)$ なので、$\varphi$ は lying over の性質をもつ。しかし $(0)\subset(t)$ と $(0)$ の上の $\mathfrak q_1$ に対し、$\mathfrak q_1$ を含む素イデアルは $\mathfrak q_1$ だけで、その縮約は $(t)$ でない。よって上昇性をもたない。$B$ は $R$ 上整でない（$(1/t,0)$ が整なら、第 1 成分の $1/t$ が $R$ 上整になり、離散付値環は整閉なので矛盾する）。

上昇性と下降性

上昇性と下降性は互いに独立である。下降定理の例「整閉でない底の上の整拡大」の包含は整なので上昇性をもつが下降性をもたない。逆に $\mathbb Z\to\mathbb Z[1/2]$ は平坦なので下降性をもつが、$(2)$ の上に素イデアルがないので、$(0)\subset(2)$ と $(0)$ の上の $(0)$ について上昇性をもたない。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
整性（lying over）	$\mathbb Z\subset\mathbb Q$	lying over（$(2)$ の上に素イデアルがない。$\mathbb Q$ の素イデアルは $(0)$ だけ）
整性（不可比較性）	$k[x]\subset k[x,y]$	不可比較性（$(0)\subsetneq(y)$ はどちらも $(0)$ の上にある）
整性（上昇性）	$R\to K\times\kappa$（ex-going-up-fails）	上昇性（lying over は成り立つ）
整性（次元）	$k[x]\subset k(x)$	$\dim B=\dim A$（$\dim k[x]=1$、$\dim k(x)=0$）
単射性（$A\subset B$）	剰余写像 $k[x]\to k[x]/(x)=k$	lying over（$(x-1)$ の上に素イデアルがない。整だが単射でない）

1 行目の $\mathbb Z\subset\mathbb Q$ は、$1/2$ が $\mathbb Z$ 上整でないので整拡大でない（整拡大の例「反例：代数的だが整でない元」）。2 行目で $(y)\cap k[x]=0$ なのは、$k[x,y]\to k[x]$、$y\mapsto0$ が $k[x]$ 上で恒等だからである。最終行のように整な準同型 $\varphi\colon A\to B$ が単射でないときも、$\varphi(A)\subset B$ に thm-going-up-integral を当てれば、$\ker\varphi$ を含む素イデアルについては lying over・不可比較性・上昇性が成り立つ。

文献と補足

文献

AM69 は Corollary 5.9（不可比較性）・Theorem 5.10（lying over、ともに pp. 61–62）・Theorem 5.11（going-up theorem、p. 62）を局所化と Proposition 5.7・Corollary 5.8 から示し、これらを Cohen–Seidenberg の定理と呼んでいる（p. 59）。Mat86 は Theorem 9.3 (i)(ii)（pp. 66–67）と Theorem 9.4 (i)（p. 68）で同じ主張を示し、極大イデアルの上の素イデアルの存在を $\mathfrak pB\ne B$ と行列式の議論で確かめている（p. 66、Lemma 2）。prop-going-up-extended-contraction はその議論を一般のイデアルに当てたものである。