直積環

同義語：環の直積direct product of ringsproduct of rings

概要

前提知識: 環, 直積, 環準同型, イデアル
直積環は、環の族の直積集合に、成分ごとの和と積を入れてできる環である。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ のように、環が直積環に分解できれば、計算を成分ごとに独立に行える。直積環は環準同型について直積の普遍性をもち、環の圏における積（積(圏論)）である。可換環では、有限個の環への直積分解は冪等元と対応し、互いに素なイデアルによる中国剰余定理や Artin環の構造定理は、環を直積環として表す定理である。幾何学的には、直積環 $A\times B$ の素スペクトルは $\operatorname{Spec}A$ と $\operatorname{Spec}B$ の非交和になる。本記事では、環は乗法の単位元 $1$ をもつが可換とは限らないものとし（環の記事の流儀）、環準同型は $1$ を $1$ に写すものとする。

定義

直積環

$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を環の族とする。直積集合 $\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$ の元 $a=(a_\lambda)_\lambda$、$b=(b_\lambda)_\lambda$ に対し、和と積を成分ごとに
$$ a+b:=(a_\lambda+b_\lambda)_\lambda,\qquad ab:=(a_\lambda b_\lambda)_\lambda $$
で定める。この演算により $\prod_\lambda A_\lambda$ は零元 $0=(0)_\lambda$、単位元 $1=(1)_\lambda$ をもつ環になる。これを族 $(A_\lambda)$ の 直積環（direct product of rings）または 環の直積 という。$\mu\in\Lambda$ について、第 $\mu$ 成分をとる写像
$$ p_\mu\colon\prod_\lambda A_\lambda\to A_\mu,\qquad (a_\lambda)_\lambda\mapsto a_\mu $$
を射影という。$\Lambda=\{1,\dots,n\}$ のときは $A_1\times\cdots\times A_n$ と書く。

環の公理は成分ごとに各 $A_\lambda$ の公理から従う（2 つの環の場合は環の記事の例「環の直積」）。射影 $p_\mu$ は和・積・単位元を保つ全射であり、環準同型である。$\Lambda=\emptyset$ のときは直積集合がただ 1 つの元からなるので、直積環は零環である。零環の因子は省いてよく、$A\times\{0\}\cong A$ である。
$\prod_\lambda A_\lambda$ が可換であることと、すべての $A_\lambda$ が可換であることは同値である。成分ごとの積なので各 $A_\lambda$ が可換なら直積も可換であり、逆は全射な環準同型 $p_\mu$ の像が可換になることから従う。

直積環の普遍性

$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を環の族とする。任意の環 $B$ と環準同型の族 $f_\lambda\colon B\to A_\lambda$ に対し、すべての $\lambda$ で $p_\lambda\circ f=f_\lambda$ を満たす環準同型 $f\colon B\to\prod_\lambda A_\lambda$ がただ 1 つ存在する。それは $f(b)=(f_\lambda(b))_\lambda$ で与えられる。

成分ごとの確認

一意性：$p_\lambda\circ f=f_\lambda$ は、$f(b)$ の第 $\lambda$ 成分が $f_\lambda(b)$ であることを意味するので、$f(b)=(f_\lambda(b))_\lambda$ でなければならない。
存在：この式で $f$ を定めると、各成分で $f_\lambda(b+b')=f_\lambda(b)+f_\lambda(b')$、$f_\lambda(bb')=f_\lambda(b)f_\lambda(b')$、$f_\lambda(1)=1$ なので、演算が成分ごとであることから $f(b+b')=f(b)+f(b')$、$f(bb')=f(b)f(b')$、$f(1)=1$ である。よって $f$ は環準同型であり、$p_\lambda\circ f=f_\lambda$ を満たす。

この命題は、直積環と射影の組 $(\prod_\lambda A_\lambda,(p_\lambda)_\lambda)$ が環の圏における積であることを述べている（積(圏論) の記事の定義「対象の族の積」）。$A_\lambda$ がすべて可換なら、可換環の圏における積でもある。とくに直積環は射影と整合する同型を除いて一意に定まる（同記事の命題「射影を保つ一意な同型」）。
一方、成分への埋め込み $i_\mu\colon A_\mu\to\prod_\lambda A_\lambda$（第 $\mu$ 成分が $a$、他の成分が $0$ の元に $a$ を写す写像）は和と積を保つが、$1$ を
$$ e_\mu:=i_\mu(1)\quad(\text{第 }\mu\text{ 成分だけが }1\text{ で他が }0\text{ の元}) $$
に写し、$A_\lambda\neq\{0\}$ となる $\lambda\neq\mu$ があれば $e_\mu\neq1$ なので、環準同型ではない。$i_\mu$ の像 $A_\mu\times\prod_{\lambda\neq\mu}\{0\}$ は和と積で閉じ、$e_\mu$ を単位元とする環であるが、単位元が $\prod_\lambda A_\lambda$ の $1$ と異なるので部分環ではなく、両側イデアルである。

直感

直積環 $A\times B$ の元は、$A$ の元と $B$ の元を並べたものであり、足し算も掛け算も 2 つの成分で別々に行う。$A$、$B$ を 2 つの空間の上の関数の環と思えば、$A\times B$ は 2 つの空間を離して並べた空間（非交和）の上の関数の環である。この見方では、$e_1=(1,0)$ は第 1 の空間で $1$、第 2 の空間で $0$ の関数であり、$e_1^2=e_1$、$e_1(1-e_1)=0$ を満たす冪等元になる。
逆に、環の中に $0,1$ 以外の中心的な冪等元 $e$ があれば、環は $e$ が $1$ になる部分と $0$ になる部分に分かれて直積環になる（冪等元の記事の定理「冪等元と直積分解の対応」と、その後の注意「中心的でない冪等元と Peirce 分解」）。$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の $[3]$ はそのような冪等元であり、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は「$2$ を法とする部分」と「$3$ を法とする部分」に分かれる。これが中国剰余定理の分解である。

例と反例

整数の剰余環の分解

$a\mapsto(a\bmod2,\ a\bmod3)$ は環の同型 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ を与える（互いに素の記事の定理「剰余環の直積への分解」）。実際に 6 個の元を書き出すと
$$ \bar0\mapsto(0,0),\ \bar1\mapsto(1,1),\ \bar2\mapsto(0,2),\ \bar3\mapsto(1,0),\ \bar4\mapsto(0,1),\ \bar5\mapsto(1,2) $$
であり、全単射である。同様に $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ である。一方 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型でない。後者では $(1,1)+(1,1)=(0,0)$ なので $1+1=0$ が成り立つが、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ では $\bar1+\bar1=\bar2\neq\bar0$ であり、環の同型は $1+1$ を $1+1$ に写すからである。$2$ と $2$ は互いに素でないので、中国剰余定理は適用できない。

数ベクトル・関数・部分集合の環

体 $k$ の $n$ 個の直積 $k^n=k\times\cdots\times k$ は、成分ごとの積をもつ可換環である。より一般に、集合 $X$ から環 $A$ への写像全体の集合 $A^X$ に各点ごとの和と積を入れた環は、$A$ の族 $(A)_{x\in X}$ の直積環 $\prod_{x\in X}A$ にほかならない。
集合 $S$ の冪集合 $\mathcal{P}(S)$ に対称差を和、共通部分を積として入れたBoole環（環の記事の例「冪集合のなすBoole環」）は、2 元体 $\mathbb{F}_2$ の直積環 $\mathbb{F}_2^S$ と同型である。同型は部分集合 $X$ にその特性関数 $\chi_X$ を対応させる写像で与えられる。実際 $\chi_{X\cap Y}=\chi_X\chi_Y$ であり、$\chi_{X\triangle Y}=\chi_X+\chi_Y$（$\mathbb{F}_2$ での和）は、各点 $s$ で「$s$ がちょうど一方に属する」ことと「$\chi_X(s)+\chi_Y(s)=1$」が同値であることによる。$\chi_\emptyset=0$、$\chi_S=1$ であり、部分集合と特性関数は一対一に対応する。

反例：整域や体の直積

環 $A$、$B$ がともに零環でなければ、$A\times B$ では $(1,0)(0,1)=(0,0)$ であり、$(1,0)$ も $(0,1)$ も $0$ でない。したがって $A\times B$ は $0$ 以外の零因子をもち（零因子の記事の命題「直積環の零因子」）、整域でも体でもない。たとえば $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ がそうである。この例は含意「整域の直積は整域である」「体の直積は体である」を破る。満たす性質は「各成分が整域（体）」、満たさない性質は「$0$ でない零因子をもたない」である。零環でない可換環 $A,B$ の直積は、$0,1$ 以外の冪等元 $(1,0)$ をもつので局所環でもない（局所環の記事の命題「局所環の冪等元」）。

反例：直積に分解しない環

可換環 $A$ が零環でない 2 つの環の直積と同型であることは、$A$ が $0,1$ 以外の冪等元をもつことと同値である（冪等元の記事の定理「冪等元と直積分解の対応」）。整域、局所環、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は冪等元を $0$ と $1$ しかもたない（同記事の命題「冪等元の基本性質」の 5、局所環の記事の命題「局所環の冪等元」、冪等元の記事の例「反例：零因子をもつが分解しない可換環」）ので、零環でない 2 つの環の直積と同型でない。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は $0$ でない零因子 $\bar2$ をもつので、この例は含意「$0$ でない零因子をもつ可換環は零環でない 2 つの環の直積に分解する」を破る。直積環は零因子をもつが（ex-direct-product-ring-not-domain）、零因子をもつ環が直積環であるとは限らない。

反例：無限個の直積の冪零元

有限個の可換環の直積では、元が冪零元であることと各成分が冪零であることは同値である（成分の冪零指数の最大値をとればよい。冪零根基の記事の例「直積環の冪零根基」）。無限個の直積ではこれが成り立たない。$A=\prod_{n\ge1}\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ とし、すべての成分が $\bar2$ の元 $x=(\bar2,\bar2,\bar2,\dots)$ を考える。第 $n$ 成分は $\bar2^{\,n}=\bar0$ を満たすので、各成分は冪零である。しかし任意の $m\ge1$ について、$x^m$ の第 $m+1$ 成分は $2^m\bmod2^{m+1}$ であり $\bar0$ でないので、$x^m\neq0$ である。よって $x$ は冪零でない。この例は含意「各成分が冪零な元は冪零である」を、成分が無限個ある場合に破る。原因は、成分の冪零指数 $n$ に上限がないことである。

性質

単元と冪等元

直積環の単元と冪等元

$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を環の族とし、$a=(a_\lambda)_\lambda\in\prod_\lambda A_\lambda$ とする。

$a$ が単元であることと、すべての $a_\lambda$ が単元であることは同値である。すなわち $\bigl(\prod_\lambda A_\lambda\bigr)^\times=\prod_\lambda A_\lambda^\times$ である。
$a$ が冪等元であることと、すべての $a_\lambda$ が冪等元であることは同値である。
$a$ が冪零元なら、すべての $a_\lambda$ は冪零元である。$\Lambda$ が有限集合なら逆も成り立つ。

等式を成分ごとに読む

$b=(b_\lambda)_\lambda$ について、$ab=ba=1$ はすべての $\lambda$ で $a_\lambda b_\lambda=b_\lambda a_\lambda=1$ となることと同値である。よって $a$ が単元なら各 $a_\lambda$ は単元であり、逆に各 $a_\lambda$ が単元なら $b_\lambda:=a_\lambda^{-1}$ とおいた $b$ が $a$ の逆元である。
$a^2=a$ は、すべての $\lambda$ で $a_\lambda^2=a_\lambda$ となることと同値である。
$a^m=0$ なら、すべての $\lambda$ で $a_\lambda^m=0$ である。$\Lambda$ が有限で、各 $\lambda$ について $a_\lambda^{m_\lambda}=0$（$m_\lambda\ge1$）とする。$m:=\max_\lambda m_\lambda$ とおくと、各成分で $a_\lambda^m=a_\lambda^{m_\lambda}a_\lambda^{m-m_\lambda}=0$ なので $a^m=0$ である（$\Lambda=\emptyset$ なら直積は零環で、$a=0$ である）。

3 の逆が無限個の直積で成り立たないことは ex-direct-product-ring-infinite-nil で見た。1 から、たとえば $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})^\times=\{(\pm1,\pm1)\}$ は位数 $4$ の群であり、$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^\times\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times$ は位数 $2$ である。
2 により、$e_\mu$（prop-direct-product-ring-universal の後で定めた元）は冪等元であり、$\lambda\neq\mu$ なら $e_\lambda e_\mu=0$ である。また $e_\mu$ はすべての元と交換する（中心的である）。$\Lambda=\{1,\dots,n\}$ が有限なら $e_1+\cdots+e_n=1$ であり、$a=ae_1+\cdots+ae_n$ は元を成分に分ける式である。逆に、可換環 $A$ が互いに直交する冪等元 $e_1,\dots,e_n$ で $e_1+\cdots+e_n=1$ を満たすもの（冪等元の完全直交系）をもてば、$a\mapsto(ae_1,\dots,ae_n)$ は環の同型 $A\cong Ae_1\times\cdots\times Ae_n$ を与える（冪等元の記事の定理「冪等元と直積分解の対応」と、その後の完全直交系の段落）。したがって、有限個の零環でない環への直積分解は、$0$ でない冪等元からなる完全直交系と同じものである。可換でない環では、中心的な冪等元が同じ役割を果たす（冪等元の記事の注意「中心的でない冪等元と Peirce 分解」）。
零環でない可換環の無限族では、$e_\lambda$ たちの和は定義されない（和は有限和である）。$e_\lambda$ たちが生成するイデアルは、$e_\lambda$ たちの有限 $A$ 係数一次結合の全体であり、これは有限個を除く成分が $0$ である元の全体（有限台の元の全体）に一致する。零環でない成分が無限にあるので、この全体は $1$ を含まない（prop-direct-product-ring-infinite の 1）。直積環は「成分ごとの冪等元の和」としては復元できず、この点で有限個の直積と振る舞いが変わる。

有限個の直積のイデアルと素イデアル

有限個の環の直積のイデアル

$A_1,\dots,A_n$ を環とし、$A:=A_1\times\cdots\times A_n$ とする。

$A$ の左イデアルは、ちょうど $I_1\times\cdots\times I_n$（各 $I_i$ は $A_i$ の左イデアル）の形の部分集合である。右イデアル・両側イデアルについても同様である。
$I_i$ を $A_i$ の両側イデアルとすると、$a\mapsto(a_i+I_i)_i$ は環の同型
$$ A/(I_1\times\cdots\times I_n)\cong A_1/I_1\times\cdots\times A_n/I_n $$
を引き起こす。

$e_i$ を掛けて成分を取り出す

各 $I_i$ が $A_i$ の左イデアルなら、$I_1\times\cdots\times I_n$ は和と差で閉じ、$r=(r_i)\in A$ を左から掛けても成分ごとに $r_ix_i\in I_i$ なので、$A$ の左イデアルである。
逆に $K$ を $A$ の左イデアルとし、$I_i:=p_i(K)$ とおく。$p_i$ は全射な環準同型なので、$I_i$ は $A_i$ の左イデアルである（$r_i\in A_i$、$x\in K$ について、$p_i(r)=r_i$ となる $r\in A$ をとれば $r_ip_i(x)=p_i(rx)\in p_i(K)$）。定義から $K\subset I_1\times\cdots\times I_n$ である。逆向きの包含を示す。$(y_1,\dots,y_n)$ を $y_i\in I_i$ となる元とし、各 $i$ について $p_i(x^{(i)})=y_i$ となる $x^{(i)}\in K$ をとる。$e_ix^{(i)}$ は第 $i$ 成分が $y_i$ で他の成分が $0$ の元であり、$K$ は左イデアルなので $K$ に属する。よって
$$ (y_1,\dots,y_n)=e_1x^{(1)}+\cdots+e_nx^{(n)}\in K $$
である。右イデアルについては $x^{(i)}e_i$ を使えばよく、両側イデアルはその両方である。
$\rho\colon A\to\prod_iA_i/I_i$、$a\mapsto(a_i+I_i)_i$ は、各成分が全射な環準同型 $A\to A_i\to A_i/I_i$ なので、prop-direct-product-ring-universal により環準同型であり、成分ごとに代表をとれば全射である。$\rho(a)=0$ はすべての $i$ で $a_i\in I_i$ となることなので、$\ker\rho=I_1\times\cdots\times I_n$ である。環の記事の定理「環の準同型定理」により、$\rho$ は同型 $A/\ker\rho\cong\prod_iA_i/I_i$ を引き起こす。

1 により、$A_1\times\cdots\times A_n$ がNoether環（または Artin環）であることと、すべての $A_i$ がそうであることは同値である。イデアルの増大列・減少列が成分ごとの列に分かれるからである（Artin環の記事の例「直積と整数の剰余環」）。

有限個の環の直積の素イデアル

$A_1,\dots,A_n$ を可換環とし、$A:=A_1\times\cdots\times A_n$ とする。$A$ の素イデアルは、ちょうど
$$ p_i^{-1}(\mathfrak{p})=A_1\times\cdots\times A_{i-1}\times\mathfrak{p}\times A_{i+1}\times\cdots\times A_n $$
（$1\le i\le n$、$\mathfrak{p}$ は $A_i$ の素イデアル）の形のイデアルであり、$A$ の素イデアルからこの $i$ と $\mathfrak{p}$ はただ 1 通りに定まる。極大イデアルについても、$\mathfrak{p}$ を $A_i$ の極大イデアルに替えて同じことが成り立つ。

どの $e_i$ が素イデアルから外れるか

$\mathfrak{p}$ を $A_i$ の素イデアルとし、$P:=p_i^{-1}(\mathfrak{p})$ とおく。prop-direct-product-ring-ideals の 2 により、$A/P$ は $A_i/\mathfrak{p}$ と、$j\neq i$ の成分の零環 $A_j/A_j$ との直積に同型であり、したがって $A_i/\mathfrak{p}$ と同型である。$A_i/\mathfrak{p}$ は整域なので、$P$ は素イデアルである（素イデアルの記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」）。
逆に $P$ を $A$ の素イデアルとする。$e_1+\cdots+e_n=1\notin P$ なので、$e_i\notin P$ となる $i$ がある。$j\neq i$ なら $e_ie_j=0\in P$ であり、$e_i\notin P$ なので $e_j\in P$ である。したがって $e_i\notin P$ となる $i$ はただ 1 つである。prop-direct-product-ring-ideals の 1 により $P=I_1\times\cdots\times I_n$ と書けて、$j\neq i$ では $e_j\in P$ から $1\in I_j$、すなわち $I_j=A_j$ である。よって $P=p_i^{-1}(I_i)$ であり、$A/P\cong A_i/I_i$ が整域なので $I_i$ は素イデアルである。$i$ は $e_i\notin P$ で決まり、$I_i=p_i(P)$ も $P$ で決まる。
極大イデアルについては、「整域」を「体」に替えて同じ議論をすればよい（極大イデアルの記事の命題「剰余環が体であることとの同値」）。

この命題により、$\operatorname{Spec}(A_1\times\cdots\times A_n)$ は集合として $\operatorname{Spec}A_1,\dots,\operatorname{Spec}A_n$ の非交和と一対一に対応する。Zariski位相の閉集合 $V(I_1\times\cdots\times I_n)$ はこの対応で各 $V(I_i)$ の非交和に写るので、対応は非交和の位相についての同相写像でもある（例は Zariski位相の記事の例「体・直積・二重数のスペクトル」）。とくに、局所環 $A_1,\dots,A_n$ の直積はちょうど $n$ 個の極大イデアルをもつ半局所環である。

無限個の直積

無限個の環の直積では、prop-direct-product-ring-ideals の 1 と prop-direct-product-ring-primes はそのままでは成り立たない。

無限個の直積の有限台イデアル

$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を零環でない可換環の族とし、$\Lambda$ は無限集合とする。$A:=\prod_\lambda A_\lambda$ とし、有限個を除くすべての成分が $0$ である元の全体を
$$ \textstyle\bigoplus_\lambda A_\lambda:=\{(a_\lambda)_\lambda\in A\mid a_\lambda\neq0\text{ となる }\lambda\text{ は有限個}\} $$
と書く。

$\bigoplus_\lambda A_\lambda$ は $A$ のイデアルであり、$1$ を含まない。また、$A_\lambda$ のイデアル $I_\lambda$ の直積 $\prod_\lambda I_\lambda$ の形に書けない。
$\bigoplus_\lambda A_\lambda$ を含む $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ が存在する。どの $\mu\in\Lambda$ と $A_\mu$ のどの極大イデアル $\mathfrak{n}$ についても $\mathfrak{m}\neq p_\mu^{-1}(\mathfrak{n})$ である。

成分 $e_\mu$ による判定

$a,b\in\bigoplus_\lambda A_\lambda$ なら、$a\pm b$ の $0$ でない成分は $a$ または $b$ の $0$ でない成分の位置にしかないので、有限個である。$r\in A$ について $ra$ の $0$ でない成分は $a$ の $0$ でない成分の位置にしかない。よってイデアルである。各 $A_\lambda$ は零環でないので $1$ のすべての成分は $0$ でなく、$\Lambda$ は無限集合なので $1\notin\bigoplus_\lambda A_\lambda$ である。
$\bigoplus_\lambda A_\lambda=\prod_\lambda I_\lambda$ と仮定する。各 $\mu$ について $e_\mu\in\bigoplus_\lambda A_\lambda$ なので、その第 $\mu$ 成分 $1$ は $I_\mu$ に属し、$I_\mu=A_\mu$ である。すると $\prod_\lambda I_\lambda=A\ni1$ となり、$1\notin\bigoplus_\lambda A_\lambda$ に反する。
1 により $\bigoplus_\lambda A_\lambda$ は $A$ の真のイデアルなので、極大イデアルの記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」により、これを含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ がある。$\mu\in\Lambda$ と $A_\mu$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ をとる。$p_\mu(e_\mu)=1\notin\mathfrak{n}$ なので $e_\mu\notin p_\mu^{-1}(\mathfrak{n})$ である。一方 $e_\mu\in\bigoplus_\lambda A_\lambda\subset\mathfrak{m}$ である。よって $\mathfrak{m}\neq p_\mu^{-1}(\mathfrak{n})$ である。

2 の極大イデアル $\mathfrak{m}$ は、どれか 1 つの成分の素イデアルから来るものではない。したがって、無限個の直積の素スペクトルは、各 $\operatorname{Spec}A_\lambda$ の非交和よりも真に大きい。$\mathfrak{m}$ の存在には Zornの補題（選択公理）を使った。たとえば体の族の直積 $\prod_{n\in\mathbb{N}}k$ は、第 $n$ 成分が $0$ の元の全体である極大イデアル $p_n^{-1}(0)$（$n\in\mathbb{N}$）を無限個もつうえに、それ以外の極大イデアルももつ。

中国剰余定理と構造定理

直積環は、環を「より簡単な環の組」として表すために使われる。

可換環 $A$ のイデアル $I_1,\dots,I_n$ が対ごとに互いに素なら、$a\mapsto(a+I_1,\dots,a+I_n)$ は同型 $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n)\cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$ を引き起こし、$I_1\cap\cdots\cap I_n=I_1\cdots I_n$ である（互いに素の記事の定理「剰余環の直積への分解」、中国剰余定理の記事の定理「可換環における中国剰余定理」）。逆にこの写像が全射なら $I_i$ たちは対ごとに互いに素である。
Artin環は有限個の局所 Artin環の直積に同型である（Artin環の記事の定理「Artin環の構造定理」）。
体 $k$ 上の $0$ でない多項式 $f=c\,p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$c\in k^\times$、$p_i$ は相異なるモニックな既約多項式）について、$k[x]/(f)\cong\prod_ik[x]/(p_i^{e_i})$ である（最初の項目の特別な場合で、$(p_i^{e_i})$ たちは対ごとに互いに素である）。
これらの分解では、各因子は元の環の剰余環であり、因子への射影は剰余写像である。ex-direct-product-ring-z-mod-n の $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ はその最も簡単な場合である。

直和との違いと文献

加群やアーベル群では、有限個の直積と直和は一致し、無限個では $\bigoplus$ が $\prod$ の部分群になる。環では、prop-direct-product-ring-infinite の $\bigoplus_\lambda A_\lambda$ は和と積で閉じるが単位元 $1$ を含まないので、単位元をもつ環としての部分環ではない。有限個の場合も、成分への埋め込み $i_\mu$ は単位元を保たないので環準同型ではない（prop-direct-product-ring-universal の後の段落）。このため、単位元をもつ環の圏で直積環は積であるが、埋め込み $i_\mu$ を余積の射とする余積（余積(圏論)）にはならない。
環の直積と中国剰余定理は DF04 §7.6 に、可換環の直積の素イデアル・冪等元・素スペクトルの関係は AM69 Chapter 1 の演習問題にある。