トーラス

$s-s'\in\mathbb{Z}$ なら、$\cos$ と $\sin$ の周期が $2\pi$ なので $e(s)=e(s')$ である。逆に $e(s)=e(s')$ なら、加法定理により
$$ \cos2\pi(s-s')=\cos2\pi s\cos2\pi s'+\sin2\pi s\sin2\pi s'=\cos^22\pi s+\sin^22\pi s=1 $$
であり、$\cos\theta=1$ となるのは $\theta\in2\pi\mathbb{Z}$ のときだけなので $s-s'\in\mathbb{Z}$ である。$s,s'\in[0,1]$ なら $s-s'\in[-1,1]$ で、これが整数になるのは $s=s'$ か $s-s'=\pm1$、すなわち $\{s,s'\}=\{0,1\}$ のときである。$\square$

1. と (2) では次の事実を使う。
   (＊) コンパクト空間 $K$ から Hausdorff 空間 $H$ への連続な全単射 $h$ は同相写像である。実際、$F\subset K$ が閉集合なら $F$ はコンパクトで、その像 $h(F)$ もコンパクトなので、$H$ の閉集合である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」の 1〜3）。よって $h^{-1}$ は連続である。
2. lem-torus-period により、$f(s,t)=f(s',t')$ は $(s-s',t-t')\in\mathbb{Z}^2$、すなわち $\pi(s,t)=\pi(s',t')$ と同値である。したがって $\bar f$ は矛盾なく定まる単射であり、$f$ が全射なので全射でもある。$\bar f\circ\pi=f$ は連続なので、商位相の性質により $\bar f$ は連続である。$\mathbb{R}^2$ のどの点も整数ベクトルだけずらせば $I^2$ に入るので $\pi(I^2)=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ であり、コンパクトな $I^2$ の連続像として $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ はコンパクトである。$T^2$ は Hausdorff なので、(＊) により $\bar f$ は同相写像である。
3. $f$ を $I^2$ に制限した写像を $g$ とする。$g$ は連続な全射である（$e$ は $[0,1]$ の上ですでに全射）。lem-torus-period の後半により、$(s,t),(s',t')\in I^2$ について $g(s,t)=g(s',t')$ は「$s=s'$ または $\{s,s'\}=\{0,1\}$」かつ「$t=t'$ または $\{t,t'\}=\{0,1\}$」と同値であり、これは $(s,t)\sim(s',t')$ と同値である。
   詳細

   $\sim$ の同値類は、内部の点 $\{(s,t)\}$（$0< s,t<1$）、辺の点の対 $\{(s,0),(s,1)\}$ と $\{(0,t),(1,t)\}$（$0< s,t<1$）、4 つの隅 $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ である。上の条件で $(s',t')$ を $(s,t)$ から得る方法は、各座標を「そのまま」か「$0$ と $1$ を入れ替える」かのどちらかにすることであり、得られる点の集合はちょうどこの同値類になる。

   よって $\bar g$ は矛盾なく定まる連続な全単射で、$I^2/{\sim}$ はコンパクトな $I^2$ の像なのでコンパクトである。(＊) により $\bar g$ は同相写像である（商空間(位相) の例「正方形の対辺を貼り合わせた空間」も同じ証明をしている）。
4. $G$ の成分は多項式なので $G$ は $\mathbb{R}^4$ の部分空間 $T^2$ の上で連続である。像が $T_{R,r}$ に入ること：$(a,b),(c,d)\in S^1$ なら $R+rc\ge R-r>0$ なので、$\rho=\sqrt{(R+rc)^2(a^2+b^2)}=R+rc$ であり、$(\rho-R)^2+(rd)^2=r^2(c^2+d^2)=r^2$ である。主張の $G^{-1}$ の式で定まる写像を $G'$ とおく。$G'$ が $T_{R,r}$ の上で定まり $T^2$ に値をもつこと：$(X,Y,Z)\in T_{R,r}$ なら $\lvert\rho-R\rvert\le r< R$ なので $\rho>0$ であり、$(X/\rho)^2+(Y/\rho)^2=1$、$\bigl((\rho-R)/r\bigr)^2+(Z/r)^2=1$ である。$G'$ は $\rho>0$ の範囲で連続である。最後に $G'\circ G$ と $G\circ G'$ が恒等写像であること：$G\bigl((a,b),(c,d)\bigr)$ では $\rho=R+rc$ なので $G'$ で $(a,b)$ と $(c,d)$ が戻る。逆に $G'(X,Y,Z)$ に $G$ を施すと、$R+r\cdot\frac{\rho-R}{r}=\rho$ なので $(\rho\cdot\frac{X}{\rho},\rho\cdot\frac{Y}{\rho},Z)=(X,Y,Z)$ に戻る。よって $G$ は同相写像である。$\square$

thm-torus-models と同じく $\bar f_n\colon\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\to T^n$ は同相写像で、$f_n=\bar f_n\circ\pi$ である。したがって $V\subset T^n$ が開集合であることは $f_n^{-1}(V)$ が開集合であることと同値である。

1. $W\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とすると、lem-torus-period により $f_n^{-1}\bigl(f_n(W)\bigr)=\bigcup_{v\in\mathbb{Z}^n}(W+v)$ であり、平行移動は $\mathbb{R}^n$ の同相写像なので右辺は開集合である。よって $f_n(W)$ は開集合である。
2. 等号は 1 の式で $W=U_x$ としたものである。$y\in(U_x+v)\cap(U_x+v')$ なら $y-v$ と $y-v'$ はどちらも $U_x$ に入るので、$v'-v=(y-v)-(y-v')$ の各成分は $(-1,1)$ に入る。$v'-v$ は整数ベクトルなので $v=v'$ である。
3. $f_n$ の $U_x+v$ への制限は連続で、1 により開写像である（$U_x+v$ の開集合は $\mathbb{R}^n$ の開集合でもある）。単射であること：$y,y'\in U_x+v$ で $f_n(y)=f_n(y')$ なら、$y-y'\in\mathbb{Z}^n$ で各成分は $(-1,1)$ に入るので $y=y'$ である。像は $f_n(U_x+v)=f_n(U_x)$ である。連続な開写像である全単射は同相写像なので、主張が従う。
   $T^n$ の各点 $p$ について、$f_n(x)=p$ となる $x$ をとれば $V:=f_n(U_x)$ は $p$ の開近傍で、2 と 3 により $f_n^{-1}(V)$ は $V$ と同相な開集合の非交和である。これが被覆写像の定義である。ファイバー $f_n^{-1}(p)=x+\mathbb{Z}^n$ は $\mathbb{Z}^n$ と 1 対 1 に対応する。$\square$

1. $T^n$ は Hausdorff で第 2 可算公理を満たす（定義の直後の注意）。コンパクトであること：$\mathbb{R}^n$ の有界閉集合 $I^n$ はコンパクトで（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）、$T^n=f_n(I^n)$ はその連続像である。連結であること：$T^n=f_n(\mathbb{R}^n)$ は連結な $\mathbb{R}^n$ の連続像である。局所 Euclid 性：prop-torus-covering の 3 により、各点 $p=f_n(x)$ は開立方体 $U_x$ と同相な開近傍 $f_n(U_x)$ をもち、開立方体は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。
2. 円周群 $S^1$ は位相群である（位相群 の例「円周群」）。成分ごとの積と逆元 $(z_i)\mapsto(z_i^{-1})$ は、各成分が連続なので、直積位相の普遍性（直積位相 の定理「直積位相の普遍性」）により連続である。積が可換なのは各成分の積が可換だからである。$e(s+s')=e^{2\pi i(s+s')}=e(s)e(s')$ なので $f_n$ は加法群 $\mathbb{R}^n$ からの準同型であり、核は lem-torus-period により $\{x\mid e(x_i)=1\ (\forall i)\}=\mathbb{Z}^n$ である。$\square$

1. $\ell_\alpha(t+q)=f(t+q,\alpha t+p)$ で、$(q,p)\in\mathbb{Z}^2$ なので lem-torus-period により $f(t,\alpha t)$ に等しい。
2. 要点：道が縦の円周 $\{e(0)\}\times S^1$ を通る点 $f(k,k\alpha)$（$k\in\mathbb{Z}$）の高さ $k\alpha$ を $1$ で割った余りが $[0,1)$ の中で稠密になることを、鳩の巣原理で示す。
   詳しい証明を開く

   段 1．$\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$ とおく。正の整数 $N$ をとると、$N+1$ 個の数 $\{0\cdot\alpha\},\{1\cdot\alpha\},\dots,\{N\alpha\}$ は $[0,1)$ を $N$ 等分した区間のどれかに入るので、ある $0\le k_1< k_2\le N$ について $\lvert\{k_2\alpha\}-\{k_1\alpha\}\rvert<1/N$ である。$k_0:=k_2-k_1$ とおくと $k_0\alpha=d+m$（$m$ は整数、$0<\lvert d\rvert<1/N$）と書ける。$d\ne0$ なのは $\alpha$ が無理数だからである（$d=0$ なら $\alpha=m/k_0$）。

   段 2．整数 $j$ について $jk_0\alpha=jd+jm$ であり、$jd$（$j\in\mathbb{Z}$）は間隔 $\lvert d\rvert<1/N$ で実数直線に並ぶ。よって任意の $u\in\mathbb{R}$ について、$\lvert jd-u\rvert<1/N$ となる整数 $j$ があり、$k:=jk_0$、$m':=jm$ とおくと $\lvert k\alpha-m'-u\rvert<1/N$ である。

   段 3．$T^2$ の点 $f(x,y)$ とその近傍 $V$ をとる。$f$ は連続なので、$f^{-1}(V)$ は $(x,y)$ を中心とする半径 $\varepsilon>0$ の開円板を含む。$1/N<\varepsilon$ となる $N$ を選ぶ。段 2 を $u:=y-\alpha x$ に使って整数 $k,m'$ をとり、$t:=x+k$ とおく。$(k,m')\in\mathbb{Z}^2$ なので $\ell_\alpha(t)=f(x+k,\ \alpha x+k\alpha)=f(x,\ \alpha x+k\alpha-m')$ であり、第 2 成分と $y$ の差は $\lvert k\alpha-m'-u\rvert<\varepsilon$ である。$\mathbb{R}^2$ の点 $(x,\alpha x+k\alpha-m')$ は $(x,y)$ から距離 $\varepsilon$ 未満にあるので、$\ell_\alpha(t)\in V$ である。よって $\ell_\alpha$ の像は $T^2$ のどの点のどの近傍とも交わる。$\square$