正則性公理

$x\in x$ とし、$A=\{x\}$ とおく。$A$ の元は $x$ だけで、$x\in x\cap A$ なので $A$ に $\in$-極小元がなく、公理に反する。

循環 $x_0\in x_1\in\cdots\in x_{n-1}\in x_0$ があるとし、$A=\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ とおく。添字を $n$ を法として読むと、各 $x_i$ について $x_{i-1}\in x_i$ かつ $x_{i-1}\in A$ なので $x_i\cap A\neq\emptyset$ である。よって $A$ に $\in$-極小元がなく、公理に反する。$\square$

そのような $f$ があれば、値域 $A=\{f(n)\mid n\in\omega\}$ は空でない集合である。$A$ の任意の元 $f(n)$ に対し $f(n+1)\in f(n)\cap A$ なので、$A$ に $\in$-極小元はない。これは公理に反する。$\square$

正則性公理が成り立たないとし、$\in$-極小元をもたない空でない集合 $A$ をとる。$A$ 上の関係 $P=\{\langle x,y\rangle\in A\times A\mid y\in x\}$ は、各 $x\in A$ に対し $P(x,y)$ となる $y\in A$ をもつ（$x$ が $\in$-極小でないため）。従属選択公理により、関数 $f\colon\omega\to A$ ですべての $n$ について $P(f(n),f(n+1))$、すなわち $f(n+1)\in f(n)$ となるものがある。これは無限下降列である。$\square$

$\varphi(a,\vec p)$ を満たす $a$ をとる。$a$ のどの元も $\varphi$ を満たさなければ $x=a$ でよい。そうでないとき、$T=\operatorname{trcl}(a)$ とおき、分出で $B=\{y\in T\mid\varphi(y,\vec p)\}$ を作る。$a$ のある元が $\varphi$ を満たすので $B\neq\emptyset$ である。正則性公理から $B$ の $\in$-極小元 $x$ をとる。$z\in x$ とすると、$T$ は推移的なので $z\in T$ であり、$x\cap B=\emptyset$ より $z\notin B$、したがって $\varphi(z,\vec p)$ は成り立たない。$\square$

(a)⇒(b)：仮定を満たす $\varphi$ について、$\varphi$ を満たさない集合があるとする。thm-reg-class-minimal を論理式 $\lnot\varphi$ に適用すると、$\lnot\varphi(x)$ でありながら $x$ のすべての元が $\varphi$ を満たす $x$ がとれる。仮定からこの $x$ は $\varphi$ を満たすので矛盾する。

(b)⇒(a)：空でない集合 $A$ が $\in$-極小元をもたないとする。論理式 $\varphi(x,A):\ x\notin A$ に $\in$-帰納法を使う。$x$ のすべての元が $A$ に属さないとき、$x\in A$ なら $x$ は $A$ の $\in$-極小元になってしまうので、$x\notin A$ である。よって $\in$-帰納法の仮定が成り立ち、すべての集合が $A$ に属さない。すなわち $A=\emptyset$ となり、$A$ が空でないことに反する。$\square$

$\alpha$ についての超限帰納法による。$\alpha=0$ なら $V_0$ に元はない。$\alpha=\gamma+1$ なら $y\in\mathcal P(V_\gamma)$、すなわち $y\subseteq V_\gamma$ で、$\gamma<\alpha$ である。$\alpha$ が極限なら $y\in V_\delta$ となる $\delta<\alpha$ があり、帰納法の仮定から $y\subseteq V_\gamma$ となる $\gamma<\delta<\alpha$ がある。$\square$

(a)⇒(b)：ある $V_\alpha$ に属する集合を整礎的と呼ぶ。整礎的でない集合があるとする。thm-reg-class-minimal を論理式「$x$ は整礎的でない」に適用すると、整礎的でない集合 $y$ で、その元がすべて整礎的であるものがとれる。$z\in y$ に対し $\rho(z)$ を $z\in V_\alpha$ となる最小の順序数 $\alpha$ とする。置換図式により $\{\rho(z)\mid z\in y\}$ は順序数の集合であり、その上限 $\beta$ がとれる。各 $z\in y$ について $z\in V_{\rho(z)}\subseteq V_\beta$ なので $y\subseteq V_\beta$、すなわち $y\in V_{\beta+1}$ となり、$y$ が整礎的でないことに反する。

(b)⇒(a)：空でない集合 $A$ をとる。(b) により、各 $x$ について $x\subseteq V_\alpha$ となる順序数 $\alpha$ がある（$x\in V_\gamma$ なら lem-reg-below による）。その最小値を $\operatorname{rank}(x)$ と書く。順序数の空でない集合 $\{\operatorname{rank}(x)\mid x\in A\}$ の最小値を与える $x\in A$ をとる。$y\in x$ なら $y\in V_{\operatorname{rank}(x)}$ なので、lem-reg-below により $y\subseteq V_\gamma$ となる $\gamma<\operatorname{rank}(x)$ があり、$\operatorname{rank}(y)\leq\gamma<\operatorname{rank}(x)$ である。$\operatorname{rank}(x)$ の最小性から $y\notin A$ となる。したがって $x\cap A=\emptyset$ である。$\square$

$y\in V_\omega$ の $E$-元の全体を $\hat y:=\{x\in V_\omega\mid x\mathrel{E}y\}=\pi(y)$ と書く。$y\mapsto\pi(y)$ は $V_\omega$ から「$V_\omega$ の有限部分集合全体」（これは $V_\omega$ そのもの）への全単射なので、次が成り立つ。

(＊) $V_\omega$ の任意の有限部分集合 $S$ に対し、$\hat y=S$ となる $y\in V_\omega$ がちょうど一つある（$y=\pi(S)$）。

外延性：$\hat a=\hat b$ なら $\pi(a)=\pi(b)$ で、$\pi$ は単射なので $a=b$。

対・合併・冪集合：構造の中でこれらの公理が求めるのは、それぞれ $E$-元の全体が $\{a,b\}$、$\bigcup_{z\in\hat a}\hat z$、$\{z\mid\hat z\subseteq\hat a\}$ になる元である。どれも $V_\omega$ の有限部分集合なので（最後のものは $\hat a$ の部分集合が有限個で、各部分集合 $S$ に $\hat z=S$ となる $z$ が一つずつあるため）、(＊) により求める元がある。

分出・置換：構造の中で解釈した論理式 $\varphi$ について、$\{x\in\hat a\mid\varphi\}$ は $\hat a$ の部分集合、置換で得る値の集まりは有限集合 $\hat a$ の像である。どちらも $V_\omega$ の有限部分集合なので、(＊) により求める元がある。

正則性：$\pi(\emptyset)=\{\emptyset\}$ なので $\hat a=\{\emptyset\}=\{a\}$ である。$\hat c=\{a\}$ となる元 $c$ は (＊) により $c=a$ だから、構造の中で「$\{a\}$」を表す元は $a$ 自身であり、その唯一の $E$-元 $a$ は $a$ と $E$-交わる。したがって空でない $a$ は $E$-極小元をもたない。$\square$