Carnot–Carathéodory距離

$p$ の近くに正規直交な局所枠 $f_1,\dots,f_m$ をとる。$\varepsilon$ を小さくとり直し、以下に現れる流れの合成（時間の絶対値がどれも $\varepsilon$ 未満で、高々 $2n$ 個）が $p$ の近くで定義されているとしてよい。
要点は、時間が正で $\varepsilon$ 未満の流れを $n$ 個合成した写像
$$ \Phi(t_1,\dots,t_n):=e^{t_nf_{i_n}}\circ\dots\circ e^{t_1f_{i_1}}(p) $$
で、ある点 $s\in(0,\varepsilon)^n$ で微分の階数が $n$ になるものを作ることである。そうすれば $\Phi$ は $s$ の近くで開集合への微分同相になり（逆関数定理）、流れを逆にたどって $p$ に戻すことで $p$ の近傍が得られる。

$p$ を固定し、$A:=\{q\mid d_{cc}(p,q)<\infty\}$ とおく。$q\in A$ なら、lem-cc-local の $q$ の近傍 $O$ の点は $q$ から水平曲線で結べるので、$p$ から $q$ への水平曲線につなぐと $O\subset A$ である。$q\notin A$ なら、同じ近傍 $O$ は $A$ と交わらない（交わる点 $x$ があれば $p\to x\to q$ と結べる）。よって $A$ と $M\setminus A$ はどちらも開集合で、$p\in A$ と $M$ の連結性から $A=M$ である。
$d_{cc}$ は多様体の位相で連続。lem-cc-local により、$x\to x_0$ のとき $d_{cc}(x,x_0)\to0$ である。三角不等式から $|d_{cc}(x,y)-d_{cc}(x_0,y_0)|\le d_{cc}(x,x_0)+d_{cc}(y,y_0)$ なので、$d_{cc}$ は $M\times M$ 上で連続である。特に $d_{cc}$ の開球は多様体の位相で開集合である。
正値性と逆の包含。$p\in M$ の座標近傍 $\varphi\colon U\to\mathbb{R}^n$（$\varphi(p)=0$）と $U$ 上の正規直交な局所枠 $f_1,\dots,f_m$ をとり、$r>0$ を $K:=\varphi^{-1}(\{|y|\le r\})$ が $U$ に含まれるコンパクト集合になるようにとる。$C:=\max_{x\in K,\,i}|d\varphi(f_i(x))|$（Euclid ノルム）とおくと、$x\in K$ の水平ベクトル $v=\sum_ia_if_i(x)$ について、Cauchy–Schwarzの不等式 から
$$ |d\varphi(v)|\le C\sum_i|a_i|\le\sqrt m\,C\,\langle v,v\rangle^{1/2} $$
である。$0<\rho\le r$ とし、$p$ から $\varphi^{-1}(\{|y|<\rho\})$ の外の点への水平曲線 $\gamma$ をとる。$\gamma$ が初めてこの開集合の外に出る時刻を $s^\ast$ とすると、$\gamma$ は $s^\ast$ まで $K$ に留まり、$|\varphi(\gamma(s^\ast))|=\rho$ なので、$\varphi\circ\gamma$ のその区間での Euclid の長さは $\rho$ 以上である。上の不等式から $\ell(\gamma)\ge\rho/(\sqrt mC)$ となる。したがって
$$ \{q\mid d_{cc}(p,q)<\rho/(\sqrt mC)\}\subset\varphi^{-1}(\{|y|<\rho\}) $$
である。これから $q\neq p$ なら $d_{cc}(p,q)>0$（$\rho$ を $|\varphi(q)|$ より小さくとる）であり、$p$ の多様体としての近傍はどれも $d_{cc}$ の開球を含む。以上で $d_{cc}$ は距離であり、二つの位相は一致する。$\square$

$x'X+y'Y=x'\partial_x+y'\partial_y+\frac12(xy'-yx')\partial_t$ なので、$\gamma'\in D$ であることは $\gamma'=x'X+y'Y$ と同値で、第 3 成分を比べて最初の主張を得る。$X,Y$ は正規直交なので速さは $|z'|$ である。
$g=(a_1,a_2,c)$ について $L_g\circ\gamma=\bigl(a_1+x,\ a_2+y,\ c+t+\frac12(a_1y-xa_2)\bigr)$ であり、その第 3 成分の微分 $t'+\frac12(a_1y'-x'a_2)$ は、$t'=\frac12(xy'-yx')$ のとき $\frac12\bigl((a_1+x)y'-(a_2+y)x'\bigr)$ に等しい。よって $L_g\circ\gamma$ は水平で、射影の速さ $|z'|$ は変わらないので長さも変わらない。$L_g$ は逆写像 $L_{g^{-1}}$ をもつので、$p$ と $q$ を結ぶ水平曲線と $L_g(p)$ と $L_g(q)$ を結ぶ水平曲線が長さを保って対応し、左不変性が従う。$\delta_\lambda\circ\gamma=(\lambda x,\lambda y,\lambda^2t)$ についても、第 3 成分の微分 $\lambda^2t'$ は $\frac12\bigl((\lambda x)(\lambda y)'-(\lambda y)(\lambda x)'\bigr)$ に等しく、速さは $\lambda|z'|$ になるので、長さはちょうど $\lambda$ 倍になる。$\square$

鍵は $N(g\ast h)\le N(g)+N(h)$ である。$g=(z,t)$ に複素数 $w(g):=|z|^2-4it$ を対応させると $|w(g)|=N(g)^2$ である。$h=(z',t')$ とすると、$g\ast h=(z+z',\ t+t'+\frac12\operatorname{Im}(\bar zz'))$ であり（$xy'-x'y=\operatorname{Im}(\bar zz')$）、
$$ w(g\ast h)=|z|^2+|z'|^2+2\operatorname{Re}(\bar zz')-4it-4it'-2i\operatorname{Im}(\bar zz')=w(g)+w(h)+2z\bar z' $$
となる。$|z|^4\le N(g)^4$ より $|z|\le N(g)$、同様に $|z'|\le N(h)$ なので
$$ N(g\ast h)^2\le N(g)^2+N(h)^2+2N(g)N(h)=\bigl(N(g)+N(h)\bigr)^2 $$
である。$N(g)=0$ は $g=0$ と同値で、$N(g^{-1})=N(g)$ である。
距離の公理を確かめる。$d_K(g,h)=0$ は $g=h$ と同値である。対称性は $N(h^{-1}\ast g)=N\bigl((g^{-1}\ast h)^{-1}\bigr)=N(g^{-1}\ast h)$ による。三角不等式は $g^{-1}\ast k=(g^{-1}\ast h)\ast(h^{-1}\ast k)$ に上の不等式を当てればよい。左不変性は $(g\ast h)^{-1}\ast(g\ast h')=h^{-1}\ast h'$ から、拡大との両立は $\delta_\lambda$ が自己同型で $N(\delta_\lambda g)=\lambda N(g)$ であることから従う。$\square$

両方の距離は左不変なので、$g=0$、$h=(z,t)$ の場合に示せばよい。$N:=N(h)$ とおくと $|z|\le N$、$|t|\le N^2/4$ である。
上からの評価：線分 $s\mapsto(sz,0)$（$0\le s\le1$）は $xy'-yx'=0$ なので水平で、長さ $|z|$ で $0$ と $(z,0)$ を結ぶ。次に $r:=\sqrt{|t|/\pi}$ とし、$t\ge0$ なら円 $c(s):=\bigl(r(\cos s-1),\,r\sin s\bigr)$（$0\le s\le2\pi$）、$t< 0$ なら同じ円を逆向きにたどる曲線を考える。$c$ は原点から出て原点に戻り、$\frac12(xy'-yx')=\frac12r^2(1-\cos s)$ の積分は $\pi r^2=t$ なので、prop-cc-heis-horizontal によりその水平な持ち上げは $0$ と $(0,0,t)$ を長さ $2\pi r=2\sqrt{\pi|t|}$ で結ぶ（$t< 0$ でも同様）。これを $(z,0)$ で左移動すると、$(z,0)\ast(0,0,t)=(z,t)$ なので、$(z,0)$ と $h$ を同じ長さで結ぶ。合わせて
$$ d_{cc}(0,h)\le|z|+2\sqrt{\pi|t|}\le N+2\sqrt\pi\cdot\tfrac N2=(1+\sqrt\pi)N. $$
下からの評価：$\gamma=(z(s),t(s))$ を $0$ から $h$ への水平曲線とし、長さを $L$ とする。$|z(s)|\le\int|z'|\le L$ であり、$|xy'-yx'|\le|z||z'|$ から
$$ |t|=\Bigl|\tfrac12\int(xy'-yx')\,ds\Bigr|\le\tfrac12\int|z||z'|\,ds\le\tfrac12L^2 $$
である。よって $N^4=|z|^4+16t^2\le L^4+4L^4=5L^4$、すなわち $N\le5^{1/4}L$ であり、$L$ について下限をとればよい。最後の主張は $N(0,0,t)=2\sqrt{|t|}$ による。$\square$

要点：左移動は行列式 $1$ のアフィン写像、拡大 $\delta_r$ は行列式 $r^4$ の線形写像なので、球の体積は半径の 4 乗に比例する。これから、球を被覆する集合の直径の 4 乗の和が上下から評価される。