佐武同型
概要
佐武同型（Satake isomorphism）とは、非アルキメデス局所体 $F$ の上の簡約群 $G$ と特殊な極大コンパクト部分群 $K$ について、$K$ 両側不変な関数の畳み込み環（球 Hecke 環）が、極大トーラスの余指標の群環の Weyl 群不変部分に同型であるという定理である。$G=GL_n(F)$ では $\mathcal{H}(G,K)\cong\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]^{S_n}$ となる。不分岐な既約表現は $K$ 不変ベクトルへの作用を通じて半単純共役類（佐武パラメータ）に対応し、Hecke 作用素の固有値が局所 $L$ 因子に翻訳される。
佐武同型（Satake isomorphism）は、非アルキメデス局所体 $F$ の上の簡約群 $G$ とよい極大コンパクト部分群 $K$ について、$K$ で両側不変な関数の畳み込み環（球 Hecke 環）が、極大トーラスの側の Weyl 群不変な Laurent 多項式環に同型である、という定理である。佐武一郎（Ichirô Satake、1927–2014）が 1963 年の論文で球関数の理論として確立した。$G=GL_n(F)$、$K=GL_n(\mathcal{O})$ のとき
$$
\mathcal{H}(G,K)\;\cong\;\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]^{S_n}
$$
である。
大きな非可換群の上の畳み込み環が、対称式の環という具体的で可換な環になる。したがって球 Hecke 環の指標は、$n$ 個の 0 でない複素数の組を順序を忘れたもの、すなわち $GL_n(\mathbb{C})$ の半単純共役類と 1 対 1 に対応する。これが佐武パラメータであり、保型形式の Hecke作用素 の固有値を $L$ 関数の局所因子に翻訳する道具であり、Langlands の双対群の考えの出発点の 1 つである。
この記事では $GL_n$ の場合を完全に証明する。一般の群については主張と所在だけを述べ、この記事では証明しない。
設定と記号
$F$ を非アルキメデス局所体、$\mathcal{O}$ を整数環、$\varpi$ を素元、$q$ を剰余体の元の個数とする。$\operatorname{ord}$ を $\operatorname{ord}\varpi=1$ の加法付値、$|\cdot|$ を $|\varpi|=q^{-1}$ の絶対値とする。
$G=GL_n(F)$、$K=GL_n(\mathcal{O})$ とし、$T$ を対角行列の群、$T_0=T\cap K$、$N$ を対角成分が $1$ の上三角行列の群、$B=TN$ とする。$S_n$ は置換行列として $K$ に入り、共役で $T$ に作用する。$\mu\in\mathbb{Z}^n$ について $\varpi^\mu:=\operatorname{diag}(\varpi^{\mu_1},\dots,\varpi^{\mu_n})$ とおく。$T/T_0\cong\mathbb{Z}^n$ である。
$P^+:=\{\lambda\in\mathbb{Z}^n\mid\lambda_1\ge\dots\ge\lambda_n\}$ とする。$\mu\in\mathbb{Z}^n$ を大きい順に並べ替えたものを $\mu^+$ と書く。$\lambda,\mu\in P^+$ について、$\mu\le\lambda$ とは、$1\le r< n$ で $\mu_1+\dots+\mu_r\le\lambda_1+\dots+\lambda_r$ であり、総和が等しいことをいう。$\lambda$ を固定すると $\mu\le\lambda$ となる $\mu\in P^+$ は有限個である。
測度は、$G,N,T$ の Haar測度 を $K$、$N\cap K$、$T_0$ の体積が $1$ になるように正規化する。$G$ と $N$ は単模である。$t\in T$ について
$$
\delta(t):=\prod_{i< j}\left|\frac{t_i}{t_j}\right|
$$
とおくと、$d(tnt^{-1})=\delta(t)\,dn$ である。$(tnt^{-1})_{ij}=(t_i/t_j)n_{ij}$ だからである。また
$$
\langle\lambda,\rho\rangle:=\frac12\sum_{i< j}(\lambda_i-\lambda_j)\qquad(\lambda\in P^+)
$$
とおく。
$G$ 上のコンパクト台の複素数値関数で、$f(kxk')=f(x)$（$k,k'\in K$）をみたすものの全体を $\mathcal{H}=\mathcal{H}(G,K)$ と書く。積は畳み込み
$$
(f*g)(x):=\int_Gf(y)g(y^{-1}x)\,dy
$$
で定める。$K$ の特性関数 $1_K$ が単位元である。同様に $\mathcal{H}(T,T_0)$ を定めると、$1_{\varpi^\mu T_0}\mapsto x^\mu:=x_1^{\mu_1}\cdots x_n^{\mu_n}$ により $\mathcal{H}(T,T_0)\cong\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]$ である。
これは Hecke環 の記事の組 $(G,K)$ の Hecke 環の局所コンパクト群版である。
$f\in\mathcal{H}$ と $t\in T$ について
$$
\mathcal{S}f(t):=\delta(t)^{1/2}\int_Nf(tn)\,dn
$$
とおく。$\mathcal{S}f$ は $T_0$ で不変であり（lem-sat-triangular により台は $T/T_0$ の中で有限で）、$\mathcal{H}(T,T_0)$ の元
$$
\mathcal{S}f=\sum_{\mu\in\mathbb{Z}^n}\mathcal{S}f(\varpi^\mu)\,x^\mu
$$
を定める。
$\lambda\in P^+$ について $c_\lambda:=1_{K\varpi^\lambda K}$ とおき、$m_\lambda$ を $x^\lambda$ の $S_n$ 軌道の和（単項対称式）とする。
主定理
$\mathcal{S}$ は $\mathbb{C}$ 代数の同型
$$
\mathcal{S}\colon\mathcal{H}(G,K)\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]^{S_n}
$$
である。さらに $\lambda\in P^+$ について、複素数 $a_{\lambda\mu}$ があって
$$
\mathcal{S}c_\lambda=q^{\langle\lambda,\rho\rangle}m_\lambda+\sum_{\mu\in P^+,\ \mu<\lambda}a_{\lambda\mu}m_\mu
$$
である。
一般の群での主定理は Sat63 Theorem 3（p. 29）、$GL_n$ の形は同 Theorem 6（p. 45）である。同所の注によると、$GL_n$ の場合は玉河恒夫（Tsuneo Tamagawa）が別の方法で先に得ていた。
証明は 5 つの段に分ける：行列の標準形（Cartan 分解と岩澤分解）、積分公式、準同型であること、三角性、$S_n$ 不変性。
行列の標準形
$G=\bigsqcup_{\lambda\in P^+}K\varpi^\lambda K$ である。$g\in K\varpi^\lambda K$ のとき、$g$ の $r$ 次小行列式の $\operatorname{ord}$ の最小値は $\lambda_{n-r+1}+\dots+\lambda_n$ に等しい。
要点：$\mathcal{O}$ は単項イデアル整域なので Smith 標準形がある。小行列式の最小値が $K$ の左右の掛け算で変わらないことが一意性を与える。
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$g\in G$ に $\varpi$ の冪を掛けると成分が $\mathcal{O}$ に入る。$\mathcal{O}$ 上の行と列の基本変形（$K$ の元の掛け算）で、$\operatorname{ord}$ が最小の成分を $(1,1)$ に移して 1 行目と 1 列目を払い、帰納法で続けると、$g$ は $K\varpi^\lambda K$ に入る。置換行列で並べ替えて $\lambda\in P^+$ とできる。
$d_r(g)$ を $g$ の $r$ 次小行列式の $\operatorname{ord}$ の最小値とする。Cauchy–Binet の公式により $gk$ の $r$ 次小行列式は $g$ の $r$ 次小行列式の $\mathcal{O}$ 係数の 1 次結合なので $d_r(gk)\ge d_r(g)$ である。$k^{-1}$ でも同じなので等号が成り立ち、左からの掛け算でも同様である。$\varpi^\lambda$ の 0 でない $r$ 次小行列式は対角成分の $r$ 個の積なので、$d_r(\varpi^\lambda)=\lambda_{n-r+1}+\dots+\lambda_n$ である。これらの値が $\lambda$ を決めるので、和は交わらない。$\square$
$G=BK$ である。すなわち任意の $g\in G$ は $g=tnk$（$t\in T$、$n\in N$、$k\in K$）と書ける。
$n$ についての帰納法による。$g$ の最後の行の成分のうち $\operatorname{ord}$ が最小のものを列の入れ替えで $(n,n)$ に移し、その成分で最後の行の他の成分を列基本変形で払う。これらの変形の係数は $\mathcal{O}$ に入るので、$K$ の元を右から掛けたことになり、$gk$ の最後の行は $(0,\dots,0,*)$ である。左上の $(n-1)$ 次の区画に帰納法の仮定を使う。そのときに右から掛ける元は $GL_{n-1}(\mathcal{O})\subset K$ である。$\square$
積分公式
$\varphi$ を $G$ 上のコンパクト台の連続関数とすると
$$
\int_G\varphi(g)\,dg=\int_K\int_N\int_T\varphi(knt)\,dt\,dn\,dk=\int_T\int_N\int_K\varphi(tnk)\,dk\,dn\,dt
$$
である。
$b=nt$ の座標で $dn\,dt$ は $B$ の右 Haar 測度である。右から $n_0$ を掛けると $nt\,n_0=n(tn_0t^{-1})t$ で、$n$ の変換は $N$ の右移動なので測度を保つ。右から $t_0$ を掛けるのは $T$ の移動である。lem-sat-iwasawa の逆元をとると $G=KB$ であり、$K$ はコンパクトで $G$ は単模なので、$\varphi\mapsto\int_K\int_N\int_T\varphi(knt)$ は $G$ の左 $K$ 不変かつ右 $B$ 不変な測度で、$dg$ の定数倍である。$\varphi=1_K$ で定数を比べる。$nt\in K$ は $n\in N\cap K$ かつ $t\in T_0$ と同値なので定数は $1$ である。第 2 の等号は $g\mapsto g^{-1}$ で $\int_G$ が変わらないことと $(knt)^{-1}=t^{-1}n^{-1}k^{-1}$ による。$\square$
準同型であること
$\mathcal{S}(f*g)=\mathcal{S}f*\mathcal{S}g$ である。右辺は $\mathcal{H}(T,T_0)$ の畳み込みである。
$\tilde{\mathcal{S}}f(t):=\int_Nf(tn)\,dn$ とおく。$\delta^{1/2}$ は準同型なので、$\tilde{\mathcal{S}}$ について示せばよい。lem-sat-integral の第 2 の形で $y=t'n'k$ とし、$f,g$ の $K$ 不変性を使うと
$$
(f*g)(tn)=\int_T\int_Nf(t'n')\,g\bigl(n'^{-1}t'^{-1}tn\bigr)\,dn'\,dt'
$$
である。$t'':=t'^{-1}t$ とおくと $n'^{-1}t''n=t''\,(t''^{-1}n'^{-1}t'')\,n$ である。$n'$ と $t'$ を固定して $n$ で積分すると、$N$ の左移動の不変性により $\int_Ng(t''n)\,dn$ になる。よって
$$
\tilde{\mathcal{S}}(f*g)(t)=\int_T\tilde{\mathcal{S}}f(t')\,\tilde{\mathcal{S}}g(t'^{-1}t)\,dt'
$$
である。$\square$
三角性
$\lambda\in P^+$ とする。
- $\mu\in\mathbb{Z}^n$ について $\varpi^\mu N\cap K\varpi^\lambda K\ne\emptyset$ なら $\mu^+\le\lambda$ である。
- $\nu:=(\lambda_n,\dots,\lambda_1)$ とする。$n\in N$ について、$\varpi^\nu n\in K\varpi^\lambda K$ と $n\in N\cap K$ は同値である。とくに $\mathcal{S}c_\lambda(\varpi^\nu)=q^{\langle\lambda,\rho\rangle}$ である。
要点：上三角行列 $g=\varpi^\mu n$ の主小行列式と、1 列だけ替えた小行列式を読み、lem-sat-cartan の値と比べる。
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1：$g=\varpi^\mu n\in K\varpi^\lambda K$ とする。$g$ は上三角で対角成分は $\varpi^{\mu_i}$ なので、添字の集合 $I$ の主小行列式は $\prod_{i\in I}\varpi^{\mu_i}$ である。lem-sat-cartan により $\sum_{i\in I}\mu_i\ge\lambda_{n-r+1}+\dots+\lambda_n$（$|I|=r$）である。$\det$ の $\operatorname{ord}$ を比べると $\sum_i\mu_i=\sum_i\lambda_i$ である。よって $\mu$ の小さい方から $r$ 個の和は $\lambda$ の小さい方から $r$ 個の和以上で、全体の和からの差をとると、$\mu^+\le\lambda$ である。
2：$\nu=w\lambda$ の形の置換なので $\varpi^\nu\in K\varpi^\lambda K$ であり、$n\in N\cap K$ なら $\varpi^\nu n\in K\varpi^\lambda K$ である。逆に $g=\varpi^\nu n\in K\varpi^\lambda K$ とする。$\nu_1\le\dots\le\nu_n$ であり、lem-sat-cartan により $r$ 次小行列式の $\operatorname{ord}$ は $\nu_1+\dots+\nu_r$ 以上である。$i< j$ について、行 $1,\dots,i$ と列 $1,\dots,i-1,j$ の小行列式を考える。$g$ が上三角なので、第 $i$ 行は最後の列を除いて $0$ であり、この小行列式は $g_{11}\cdots g_{i-1,i-1}\,g_{ij}$ である。よって $\nu_1+\dots+\nu_{i-1}+\operatorname{ord}g_{ij}\ge\nu_1+\dots+\nu_i$、すなわち $\operatorname{ord}g_{ij}\ge\nu_i$ である。$g_{ij}=\varpi^{\nu_i}n_{ij}$ なので $n_{ij}\in\mathcal{O}$ である。
したがって $\int_Nc_\lambda(\varpi^\nu n)\,dn=1$ で、$\delta(\varpi^\nu)^{1/2}=q^{\frac12\sum_{i< j}(\nu_j-\nu_i)}=q^{\langle\lambda,\rho\rangle}$ である。$\square$
対称性
$f\in\mathcal{H}$ と $w\in S_n$ について $\mathcal{S}f(wtw^{-1})=\mathcal{S}f(t)$ である。
要点：$t$ の対角成分が相異なるとき、$\mathcal{S}f(t)$ は Weyl の判別式と軌道積分 $\int_{G/T}f(gtg^{-1})$ の積になる。どちらも $S_n$ で不変である。
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段 1：$t\in T$ の対角成分が相異なるとする。$\phi_t\colon N\to N$、$\phi_t(n):=t^{-1}ntn^{-1}$ とおく。$n=1+X$ とすると、$t^{-1}nt=1+X'$、$X'_{ij}=(t_j/t_i)X_{ij}$ であり、$\phi_t(n)=1+(X'-X)+(X,X'\text{ の 2 次以上の項})$ である。2 次以上の項の $(i,j)$ 成分は、$j-i$ のより小さい成分だけで書ける。成分を $j-i$ の順に並べると、$\phi_t$ は「$X_{ij}\mapsto(t_j/t_i-1)X_{ij}+(\text{前の成分の多項式})$」の形の三角な写像である。$t_j/t_i\ne1$ なので全単射で、Fubini の定理と加法群の平行移動の不変性から、$h\in C_c(N)$ について
$\int_Nh(\phi_t(n))\,dn=D_N(t)^{-1}\int_Nh(n)\,dn$、$D_N(t):=\prod_{i< j}|1-t_j/t_i|$
である。$ntn^{-1}=t\,\phi_t(n)$ なので、$O_t(f):=\int_Nf(ntn^{-1})\,dn$ とおくと $O_t(f)=D_N(t)^{-1}\delta(t)^{-1/2}\mathcal{S}f(t)$ である。
段 2：$|1-t_i/t_j|=|t_i/t_j|\,|1-t_j/t_i|$ なので、$D(t):=\prod_{i\ne j}|1-t_i/t_j|$ について $D(t)=\delta(t)D_N(t)^2$ である。よって $\mathcal{S}f(t)=D(t)^{1/2}O_t(f)$ であり、$D$ は $S_n$ で不変である。
段 3：lem-sat-integral から、$\psi\mapsto\int_K\int_N\psi(knT)\,dn\,dk$ は $G/T$ の $G$ 不変測度である。$f$ は $K$ の共役で不変なので、$\psi(gT):=f(gtg^{-1})$ について $O_t(f)=\int_{G/T}\psi$ である。段 1 により $\psi$ はコンパクト台である。$w\in S_n$ は $T$ を正規化するので、$gT\mapsto gwT$ は左の $G$ 作用と可換な $G/T$ の同相である。$G$ 不変測度は定数倍を除いて一意なので、この写像は測度を正の定数倍し、$w$ が有限位数なので定数は $1$ である。$f(gwtw^{-1}g^{-1})$ は $\psi$ の $gT\mapsto gwT$ による引き戻しなので、$O_{wtw^{-1}}(f)=O_t(f)$ である。
段 4：$\mathcal{O}^\times$ は無限集合なので、$T$ の各剰余類 $\varpi^\mu T_0$ は対角成分が相異なる元を含む。$\mathcal{S}f$ は $T_0$ で不変なので、すべての $t$ で $\mathcal{S}f(wtw^{-1})=\mathcal{S}f(t)$ である。$\square$
主定理の証明
lem-sat-cartan により、$c_\lambda$（$\lambda\in P^+$）は $\mathcal{H}$ の基底である。prop-sat-hom により $\mathcal{S}$ は環準同型である。lem-sat-triangular の 1 により $\mathcal{S}c_\lambda$ の台は有限で、prop-sat-invariant により $S_n$ 不変なので、$\mathcal{S}c_\lambda=\sum_{\mu\in P^+,\ \mu\le\lambda}a_{\lambda\mu}m_\mu$ と書ける。$\mu=\lambda$ の係数は、$\varpi^\nu$ が $\lambda$ の軌道に入るので lem-sat-triangular の 2 により $q^{\langle\lambda,\rho\rangle}\ne0$ である。
$m_\lambda$（$\lambda\in P^+$）は不変な Laurent 多項式環の基底であり、各 $\lambda$ の下の集合 $\{\mu\in P^+\mid\mu\le\lambda\}$ は有限である。したがって、$\mathcal{S}$ の行列はこの順序について対角成分が 0 でない三角行列で、全単射である。$\square$
$\mathcal{H}(G,K)$ は可換である。$\omega_i:=(1^i,0^{n-i})$ とおくと $\mathcal{S}c_{\omega_i}=q^{i(n-i)/2}e_i$（$e_i$ は基本対称式）であり、
$$
\mathcal{H}(G,K)=\mathbb{C}[c_{\omega_1},\dots,c_{\omega_{n-1}},c_{\omega_n},c_{\omega_n}^{-1}]
$$
は $c_{\omega_1},\dots,c_{\omega_n}$ を変数とする多項式環を $c_{\omega_n}$ で局所化したものである。
$\mathcal{S}$ は可換環への単射なので $\mathcal{H}$ は可換である。$\mu\in P^+$、$\mu\le\omega_i$ なら $\mu=\omega_i$ である。実際、$\mu_1\le(\omega_i)_1\le1$ なのですべての成分は $1$ 以下である。$i< n$ のとき、総和が $i$ で $\mu_1+\dots+\mu_{n-1}\le i$ なので $\mu_n\ge0$ であり、$i=n$ のとき $\mu_1+\dots+\mu_{n-1}\le n-1$ なので $\mu_n\ge1$ である。よって成分はすべて $0$ か $1$ で、総和 $i$ と単調性から $\mu=\omega_i$ である。したがって thm-sat-main の下の項はなく、$\langle\omega_i,\rho\rangle=i(n-i)/2$ である。$\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]^{S_n}=\mathbb{C}[e_1,\dots,e_{n-1},e_n^{\pm1}]$ を thm-sat-main で引き戻す。$\square$
$\mathcal{S}c_{\omega_i}$ の式は玉河の公式と呼ばれる（Gro98 式 (3.14)）。可換性だけなら転置 $g\mapsto{}^tg$ を使う Gelfand の方法で示せる（同 Proposition 2.10）。
例
$n=1$ では $G=T=F^\times$、$K=T_0=\mathcal{O}^\times$、$N=\{1\}$、$\delta=1$ で、$\mathcal{S}$ は $\mathcal{H}(F^\times,\mathcal{O}^\times)\cong\mathbb{C}[x^{\pm1}]$ そのものである。
$n=2$、$\lambda=(m,0)$（$m\ge1$）とする。$t=\varpi^{(a,b)}$、$0\le a\le b$、$a+b=m$ について、$g=tn$ の成分は $\varpi^a,\ \varpi^ax,\ \varpi^b$ である。$g\in K\varpi^\lambda K$ は lem-sat-cartan により $\min(a,\,a+\operatorname{ord}x,\,b)=0$ と同値である。
- $a=0$ なら $x\in\mathcal{O}$ で、体積は $1$ である。
- $a>0$ なら $\operatorname{ord}x=-a$ で、体積は $q^a-q^{a-1}$ である。
$\delta(t)^{1/2}=q^{(b-a)/2}$ を掛けると、$\mathcal{S}c_{(m,0)}(t)$ は $a=0$ で $q^{m/2}$、$a>0$ で $q^{m/2}(1-q^{-1})$ である。prop-sat-invariant と合わせて
$$ \mathcal{S}c_{(m,0)}=q^{m/2}\Bigl(x_1^m+x_2^m+(1-q^{-1})\sum_{0< i< m}x_1^{m-i}x_2^i\Bigr) $$
である。とくに $\mathcal{S}c_{(1,0)}=q^{1/2}(x_1+x_2)$、$\mathcal{S}c_{(2,0)}=q(x_1^2+x_2^2)+(q-1)x_1x_2$ である。$\mathcal{S}c_{(1,1)}=x_1x_2$ なので、
$$ c_{(1,0)}*c_{(1,0)}=c_{(2,0)}+(q+1)\,c_{(1,1)} $$
が thm-sat-main から読める。$F=\mathbb{Q}_p$ では、これが Hecke作用素 の $p$ の冪についての積の公式の局所版である。
$GL_n(\mathbb{Q}_p)$ の球関数には Hall–Littlewood 多項式が現れる（NR04 §0。Hall–Littlewood多項式）。上の $n=2$ の式は、$P_{(m,0)}(x;t)$ の $t=q^{-1}$ での値に $q^{m/2}$ を掛けたものである。
表現論での意味
$z=(z_1,\dots,z_n)\in(\mathbb{C}^\times)^n$ について、$T$ の不分岐指標 $\chi_z(t):=\prod_iz_i^{\operatorname{ord}t_i}$ をとる。$G$ 上の局所定数関数 $\varphi$ で $\varphi(ntg)=\chi_z(t)\delta(t)^{1/2}\varphi(g)$（$n\in N$、$t\in T$）をみたすものの空間を $I(z)$ とする。$G$ は右移動で作用し、$f\in\mathcal{H}$ は $\pi(f)\varphi(x):=\int_Gf(g)\varphi(xg)\,dg$ で作用する。lem-sat-iwasawa から $\varphi_0(ntk):=\chi_z(t)\delta(t)^{1/2}$ は矛盾なく定まり、$I(z)$ の $K$ 不変な元は $\varphi_0$ の定数倍である。
$f\in\mathcal{H}$ について $\pi(f)\varphi_0=\mathcal{S}f(z)\,\varphi_0$ である。$\mathcal{S}f(z)$ は Laurent 多項式 $\mathcal{S}f$ の $x=z$ での値である。
$\pi(f)\varphi_0$ は $I(z)$ の $K$ 不変な元なので $\varphi_0$ の定数倍で、定数は $x=1$ での値である。lem-sat-integral の第 2 の形と $\varphi_0(tnk)=\varphi_0((tnt^{-1})t)=\chi_z(t)\delta(t)^{1/2}$ により
$$
\int_Gf(g)\varphi_0(g)\,dg=\int_T\chi_z(t)\delta(t)^{1/2}\int_Nf(tn)\,dn\,dt=\sum_\mu\mathcal{S}f(\varpi^\mu)\chi_z(\varpi^\mu)=\mathcal{S}f(z)
$$
である。$\square$
$\mathcal{H}$ の $\mathbb{C}$ 代数の指標（$\mathcal{H}\to\mathbb{C}$）は、thm-sat-main により $(\mathbb{C}^\times)^n/S_n$ の点、すなわち $GL_n(\mathbb{C})$ の半単純共役類 $s$ と 1 対 1 に対応する。prop-sat-spherical はすべての指標が主系列の球ベクトルに現れることを示す。
$G$ の既約許容表現 $\pi$ で $\pi^K\ne0$ のものを不分岐という。このとき $\mathcal{H}$ は可換なので $\dim\pi^K=1$ であり、$\mathcal{H}$ の指標が定まる。対応する半単純共役類 $s(\pi)$ を $\pi$ の佐武パラメータという。
不分岐な既約表現の同型類は、$s(\pi)$ により半単純共役類全体と 1 対 1 に対応する（Gro98 Proposition 6.4。この記事では証明しない）。$c_{\omega_k}$ の固有値を $\lambda_k$ とすると、cor-sat-generators により $s(\pi)$ の $k$ 次基本対称式は $q^{-k(n-k)/2}\lambda_k$ なので、局所 $L$ 因子は
$$
L(\pi,X):=\det\bigl(1-s(\pi)X\bigr)^{-1}=\Bigl(\sum_{k=0}^n(-1)^kq^{-k(n-k)/2}\lambda_kX^k\Bigr)^{-1}
$$
と Hecke 作用素の固有値で書ける（Gro98 式 (6.7)）。
たとえば、ユニタリ化した表現では、重さ $k$ の Hecke 固有尖点形式の $p$ での佐武パラメータの固有値は、Ramanujan–Petersson予想 の記事の Hecke 多項式の根を $p^{(k-1)/2}$ で割ったものである。その予想は、この固有値の絶対値が $1$ であること、すなわち $s(\pi)$ がコンパクト部分群に入り $\pi$ が緩増加であることと読める（Gro98 §6。この記事では証明しない）。
$\chi_z=\delta^{-1/2}$ のとき定数関数 $1$ が $I(z)$ に入り、$\varphi_0=1$ である。$z_i=q^{(n+1-2i)/2}$ である。prop-sat-spherical により、$\mathcal{S}f(z)=\int_Gf$ である。$n=2$ では $\mathcal{S}c_{(1,0)}(z)=q^{1/2}(q^{1/2}+q^{-1/2})=q+1$ で、$K\varpi^{(1,0)}K$ が $q+1$ 個の左 $K$ 剰余類からなることと合う。
一般の簡約群
$G$ を $F$ 上の不分岐な簡約群、$K$ を Bruhat–Tits 建物の特殊頂点を固定する極大コンパクト開部分群、$A$ をその頂点を含むアパートに対応する極大 $F$ 分裂トーラス、$W$ を相対 Weyl 群とすると、同じ形の同型 $\mathcal{H}(G(F),K)\cong\mathbb{C}[X_*(A)]^W$ が成り立つ（HR10 §1。簡約群）。佐武の論文は仮定 (I)・(II) のもとで同じ結論を与え、古典群で仮定を単因子論で確かめる（Sat63 §3、§8–9）。
$G$ が $F$ 上分裂するときは、右辺は双対群 $\hat{G}$ の表現環 $R(\hat{G})\otimes\mathbb{C}$ に等しい。$GL_n$ では $\hat{G}=GL_n(\mathbb{C})$ で、$\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]^{S_n}$ は $GL_n(\mathbb{C})$ の指標の環である（Gro98 Proposition 3.6）。こうして不分岐な表現は $\hat{G}$ の半単純共役類に対応する。これは 局所Langlands対応 の不分岐な部分である。いずれもこの記事では証明しない。
反例：条件を替えると
| 替える条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\mathcal{S}$ の因子 $\delta^{1/2}$ を外す | $n=2$、$c_{(1,0)}$ | 像が $S_n$ 不変であること |
| 値域を $\mathbb{C}[x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}]$ 全体にする | $n=2$、$x_1$ | 全射性 |
| 係数を $\mathbb{Z}$ にする | $n=2$、$q$ が平方数でない | $\mathcal{S}$ が $\mathbb{Z}[x_1^{\pm1},x_2^{\pm1}]$ に値をとること |
| $K$ を岩堀部分群 $I$ に替える | $n=2$ | $\mathcal{H}(G,I)$ の可換性 |
要点：はじめの 3 つは ex-sat-gl2 の式から読める。岩堀部分群の場合は、$I$ を正規化する元 $\tau$ が 2 つの鏡映を入れ替える。
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第 1 の条件：$\mathcal{S}c_{(1,0)}=q^{1/2}(x_1+x_2)$ の係数を $\delta(t)^{1/2}$ で割ると、$\int_Nc_{(1,0)}(tn)\,dn$ は $t=\varpi^{(0,1)}$ で $q^{1/2}\cdot q^{-1/2}=1$、$t=\varpi^{(1,0)}$ で $q^{1/2}\cdot q^{1/2}=q$ である。$\int_Nc_{(1,0)}(tn)\,dn$ を集めた Laurent 多項式は $qx_1+x_2$ で、$x_1,x_2$ の入れ替えで不変でない。
第 2 の条件：$\mathcal{S}$ の像は $S_n$ 不変なので $x_1$ を含まない。
第 3 の条件：$\mathcal{S}c_{(1,0)}=q^{1/2}(x_1+x_2)$ で、$q$ が平方数でなければ $q^{1/2}\notin\mathbb{Z}$ である。
第 4 の条件：$I\subset K$ を、$\varpi$ を法として上三角になる行列の部分群とする。$\tau=\begin{pmatrix}0&1\\\varpi&0\end{pmatrix}$、$\sigma=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ とする。直接の計算で $\tau I\tau^{-1}=I$ であり、$\tau\sigma\tau^{-1}=\tau^{-1}\sigma\tau=\sigma':=\begin{pmatrix}0&\varpi^{-1}\\\varpi&0\end{pmatrix}$ である。$I$ 両側不変な関数の畳み込みで、$1_{\tau I}*1_{I\sigma I}$ の台は $\tau I\sigma I$ で、$1_{I\sigma I}*1_{\tau I}$ の台は $I\sigma\tau I=\tau I\sigma'I$ である。$I\sigma I\subset K$ で $\sigma'\notin K$ なので $I\sigma I\ne I\sigma'I$ であり、両者は異なる台をもつ。よって $\mathcal{H}(G,I)$ は可換でなく、可換環への単射な準同型は存在しない。
関連項目
- 前提: 局所体, Hecke環, 一般線形群, Haar測度
- 比較: Hecke作用素, Hall–Littlewood多項式
- 発展: 局所Langlands対応, 簡約群, Ramanujan–Petersson予想
参考文献
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