束

概要

束（lattice）とは、任意の二つの元が上限および下限を持つ半順序集合のことである。二元に対して上限を対応させる二項演算と、下限を対応させる二項演算とを持つ代数構造としても定義することができる。

$$\newcommand{AA}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AbCat}[0]{\mathsf{Ab}} \newcommand{abelcat}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{cat}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{commring}[0]{A} \newcommand{DD}[0]{\mathbb{D}} \newcommand{domain}[0]{\commring} \newcommand{family}[2]{( #1 )_{#2}} \newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{func}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}} \newcommand{FuncCat}[2]{\mathsf{Func}(#1, #2)} \newcommand{generate}[2]{\langle #1 \rangle_{#2}} \newcommand{GG}[0]{\mathbb{G}} \newcommand{HH}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{ideal}[0]{I} \newcommand{idealgen}[2]{\generate{#1}{#2}} \newcommand{invert}[0]{^{-1}} \newcommand{KanExt}[2]{\ordpair{ #1, #2 }} \newcommand{kerpair}[3]{\ordpair{ #1, #2, #3 }} \newcommand{ModCat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)} \newcommand{module}[1]{#1} \newcommand{modulegen}[2]{\generate{#1}{#2}} \newcommand{MonoSet}[1]{\mathsf{Mono}(#1)} \newcommand{morph}[3]{{#1}\colon{#2}\rightarrow{#3}} \newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{op}[0]{^{\mathsf{op}}} \newcommand{ordpair}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{overcat}[2]{{#1}_{/#2}} \newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{RegEpiSet}[1]{\mathsf{RegEpi}(#1)} \newcommand{ring}[0]{R} \newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{SetCat}[0]{\mathsf{Set}} \newcommand{sexseq}[3]{\zeroobj\rightarrow{#1}\rightarrow{#2}\rightarrow{#3}\rightarrow\zeroobj} \newcommand{TopCat}[0]{\mathsf{Top}} \newcommand{TT}[0]{\mathbb{T}} \newcommand{undercat}[2]{#1_{\backslash #2}} \newcommand{zeroobj}[0]{0} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

$\newcommand{\orderedPair}[1]{\langle #1 \rangle}\newcommand{\set}[1]{#1}\newcommand{\rel}[1]{\mathrel{#1}}\newcommand{\ele}[1]{#1}\newcommand{\or}{\mathrel{\vee}}\newcommand{\and}{\mathrel{\wedge}}$

定義

まずは半順序集合としての定義を与える。

束（半順序集合としての定義）

半順序集合$\orderedPair{\set{X},\rel{R}}$が束であるとは、
(1) $\set{X}$の二元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、上限$\ele{x}\or\ele{y}$が存在する。
(2) $\set{X}$の二元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、下限$\ele{x}\and\ele{y}$が存在する。
を満たすことである。ここで$\ele{z}$が$\ele{x}と\ele{y}$の上限であるとは、$\ele{x}\rel{R}\ele{a}$かつ$\ele{y}\rel{R}\ele{a}$が成り立つならば$\ele{z}\rel{R}\ele{a}$が成立することをいう。また、$\ele{z}$が$\ele{x}と\ele{y}$の下限であるとは、$\ele{a}\rel{R}\ele{x}$かつ$\ele{a}\rel{R}\ele{y}$が成り立つならば$\ele{a}\rel{R}\ele{z}$が成立することをいう。

次に代数系としての定義を与える。

束（代数系としての定義）

二項演算を二つ備えた集合$\orderedPair{ \set{X}, \or, \and }$が束であるとは、
(1) $\orderedPair{ \set{X}, \or }$は可換冪等半群である。
(2) $\orderedPair{ \set{X}, \and }$は可換冪等半群である。
(3) 吸収律が成り立つ。すなわち、$\set{X}$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、$\ele{x}\and(\ele{x}\or\ele{y})$および$\ele{x}\or(\ele{x}\and\ele{y})=\ele{x}$が成り立つ。
を満たすことをいう。ここで$\orderedPair{ \set{X}, \star }$が可換冪等半群であるとは、二項演算が交換律、冪等律、結合律を満たすことであり、具体的には
(結合律) $\set{X}$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$、$\ele{z}$について、$\ele{x}\star(\ele{y}\star\ele{z})=(\ele{x}\star\ele{y})\star\ele{z}$が成り立つ。
(交換律) $\set{X}$の元$\ele{x}$、$\ele{y}$について、$\ele{x}\star\ele{y}=\ele{y}\star\ele{x}$が成り立つ。
(冪等律) $\set{X}$の元$\ele{x}$について、$\ele{x}\star\ele{x}=\ele{x}$が成り立つ。
が成りたつということである。

これら二つの定義が同値ならば、$\ele{x}\rel{R}\ele{y}$と$\ele{x}\or\ele{y}=\ele{y}$と$\ele{x}\and\ele{y}=\ele{x}$とが全て同値になることに注意する。この二つの定義の同値性を証明するときに代数系から半順序を定義する必要が生じるが、この際にこの特徴づけを踏まえて定義すればよい。

この方針で二つの定義の同値性を直接的に証明することもできるが、本稿ではより広く結び半束や交わり半束の特徴づけを与えた上で、これを利用して同値性を証明することにする。

結び半束と交わり半束

以下、準備中である。

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