スライス圏(豊穣圏)

同義語：豊穣スライス圏

概要

スライス圏(豊穣圏)（enriched slice category）とは、豊穣圏の固定対象へ向かう構造射を対象とし、その構造を厳密に保つ射の族をHom対象として集める豊穣圏である。Cartesianな基礎ではHomの引き戻しで構成でき、通常のスライス圏を回収するが、一般のモノイダル基礎や∞圏のスライスへの移行には追加条件が必要になる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 豊穣圏, スライス圏, 引き戻し, Cartesian閉圏

定義

$\mathcal V$ を完備なCartesian閉圏とし、積を $\times$、終対象を $1$ とする。モノイダル構造はこの積で、単位も $1$ である。完備性・閉性は以下の説明に十分な仮定であり、最小条件という主張ではない。$\mathcal C$ は $\mathcal V$-圏（豊穣圏）、$c$ はその対象とする。
豊穣圏のHomは $\mathcal C(x,y)\in\mathcal V$ で、合成は $\mathcal C(y,z)\times\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(x,z)$、単位は $1\to\mathcal C(x,x)$ である。台となる通常の圏 $\mathcal C_0$ の射 $x\to y$ は $1\to\mathcal C(x,y)$ を意味する。

厳密な豊穣スライス圏

スライス圏(豊穣圏) (enriched slice category) $\mathcal C/c$ の対象は、$\mathcal C_0$ の射 $p:x\to c$ である。$p:x\to c$、$q:y\to c$ に対するHom対象を、$\mathcal V$ 内の引き戻し
$$ (\mathcal C/c)(p,q) :=\mathcal C(x,y)\mathop{\times}_{\mathcal C(x,c)}1 $$
で定める。右側の二つの写像は後合成 $q_*:\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(x,c)$ と、点 $p:1\to\mathcal C(x,c)$ である。単位と合成は $\mathcal C$ から誘導する。
余スライス圏 $c/\mathcal C$ の対象は $p:c\to x$。$q:c\to y$ とのHom対象は、前合成 $p^*:\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(c,y)$ と点 $q$ の引き戻しである。

この厳密な定式化は RV17 Example 2.1.11、Observation 3.5.1 に現れ、固定対象への豊穣コンマ構成としては Tam09 Appendix A.4、Definition A.22 も参照できる。ここで「厳密」は三角形が指定された等式で可換であるという意味で、∞圏のスライスをすでに構成したという意味ではない。

パラメータを持つ射

任意の $T\in\mathcal V$ に対し、$T\to(\mathcal C/c)(p,q)$ は
$$ u:T\to\mathcal C(x,y),\qquad q_*u=p\circ !_T $$
を満たすものと一対一に対応する。$!_T:T\to1$ は唯一の射である。従って構造射 $p$ を「一定に保つ」条件が全パラメータで成立する。$T=1$ の元だけを選び出すのでなく、Hom対象全体をこの条件で切り出している。

直感

対象 $x$ だけでなく、$x$ が基準 $c$ にどう載っているかを持ち歩く。同じ $x$ でも構造射が違えば別の対象になる。射の族を動かす際にも、その構造射が変わらないことを要求する。
通常の圏では可換三角形の集合、Cat豊穣では三角形を保つ変換の圏、単体的豊穣では三角形を各次元で厳密に保つ単体的集合になる。

例と反例

集合上の通常のスライス

$\mathcal V=\mathrm{Set}$ では引き戻しは集合のファイバーだから、Homは $qu=p$ を満たす通常の射 $u:x\to y$ の集合になる。これは通常のスライス圏である。特に $\mathcal C=\mathrm{Set}$ なら、集合 $B$ 上の写像 $X\to B$ と、その値を保つ写像の圏 $\mathrm{Set}/B$ を回収する。$B$ の一点ごとのファイバーは独立した集合として動く。

2圏の厳密スライス

$\mathcal V=\mathrm{Cat}$ のとき $\mathcal C$ は厳密2圏である。Hom圏の対象は $u:x\to y$ で $qu=p$ を満たすもの。その射は2射 $\theta:u\Rightarrow v$ で $q\theta=\operatorname{id}_p$ を満たすものになる。単に $qu$ と $p$ の間に同型2射を選ぶ構成とは異なる。

KanファイバーをHomに持つ例

Kan複体と単体的写像空間を持つ豊穣圏を考える。$p:\Delta^0\to B$ が基点、$q:E\to B$ がKanファイバー化なら、スライスHomは
$$ \operatorname{Map}_B(p,q)=E\times_B\Delta^0 $$
となる。各 $n$ 単体は、$q$ の下で基点の退化 $n$ 単体へ送られる $E$ の $n$ 単体である。Kanの角を底の一定単体上で持ち上げられるため、このHomもKan複体である。

反例：加法的豊穣化へそのまま移せない

$\mathcal V=\mathrm{Ab}$（アーベル群の圏）の通常のモノイダル構造はテンソル積で、単位 $\mathbb Z$ は終対象 $0$ ではない。通常の $\mathrm{Ab}/\mathbb Z$ には $\operatorname{id}_{\mathbb Z}$ から $0\to\mathbb Z$ への射がない。一方、Ab豊穣圏の各Hom集合には必ず零元がある。従って、この通常スライスをそのまま台の圏とするAb豊穣化は存在しない。条件 $qu=p$ が斉次な加法条件でないことが障害であり、一般モノイダル圏へ定義を機械的に移してはならない。

性質と証明

単位・合成の存在

定義のHom対象と誘導される演算は $\mathcal V$-圏の公理を満たす。

全パラメータで構造射を保つ

$E=(\mathcal C/c)(p,q)$、$F=(\mathcal C/c)(q,r)$ とする。射影を使った合成 $F\times E\to\mathcal C(x,z)$ は、$\mathcal C$ の結合律により $r(vu)=(rv)u=qu=p$ を満たす。この式は $F\times E$ から $\mathcal C(x,c)$ への射の等式で、最後の $p$ は唯一の $F\times E\to1$ との合成である。よって引き戻しの普遍性から合成Homへ唯一に因子化する。恒等射は $p\operatorname{id}_x=p$ により因子化する。三重合成と単位律は $\mathcal C$ への射影後に成立する。終対象からの射 $1\to\mathcal C(x,c)$ はモノ射で、その基底変換であるHomの射影もモノ射なので、元のHomでも成立する。

通常のスライスの回収

$(\mathcal C/c)_0\cong\mathcal C_0/c$、$(c/\mathcal C)_0\cong c/\mathcal C_0$ である。

表現可能関手で引き戻しを読む

通常の射は $1\to(\mathcal C/c)(p,q)$。引き戻しの普遍性により、これは $u:1\to\mathcal C(x,y)$ と $qu=p$ の条件に等しい。対象、単位、合成も定義通り一致する。余スライスでは同じ議論を $up=q$ に適用する。$\mathcal V(1,-)$ が同型を反映するという仮定は使っていない。

基準の恒等射

$\operatorname{id}_c$ は $\mathcal C/c$ の豊穣終対象（終対象(豊穣圏)）である。すなわち任意の $p$ に対し $(\mathcal C/c)(p,\operatorname{id}_c)\cong1$ である。同様に $\operatorname{id}_c$ は $c/\mathcal C$ の豊穣始対象（始対象(豊穣圏)）、すなわち任意の $q$ に対し $(c/\mathcal C)(\operatorname{id}_c,q)\cong1$ である。

恒等写像のファイバー

$\mathcal C(x,c)\to\mathcal C(x,c)$ が恒等となるため、$(\mathcal C/c)(p,\operatorname{id}_c)$ は恒等写像に沿う $1$ の引き戻し、すなわち $1$ である。これはすべての $p$ について自然であり、豊穣終対象の条件そのもの。余スライスも前合成が恒等となる同じ計算である。

∞圏との違いと接続

単体的豊穣ではHomの厳密ファイバーを使った。∞圏のスライスの写像空間は、それに対応する後合成のホモトピーファイバー（ホモトピーファイバー）を使う。後者は等式の代わりに一致を示す道も保持する。公式の一般的根拠は HTT09 §5.5.5（overcategory の写像空間が後合成のホモトピーファイバーになること。余スライスにはその双対）である。

反例：局所Kanだけでは十分でない

二対象 $0,1$ の単体的圏を作り、自己Homを一点、$\mathcal C(1,0)=\emptyset$、$\mathcal C(0,1)=N\mathbb Z$ とする。$N\mathbb Z$ は群 $\mathbb Z$ を一対象亜群とみなした脈体で、唯一の頂点を $p$ とする。全HomはKanだが、厳密スライスでの $p:0\to1$ の自己Homは $*\times_{N\mathbb Z}*=*$。元の $\mathcal C$ のホモトピー整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}\mathcal C$ で作る∞スライスでは、$p$ の自己写像空間（写像空間(∞圏)）は $\Omega N\mathbb Z$ で、連結成分は $\mathbb Z$ である。従って標準比較はこのHomで同値にならない。

厳密ファイバーがホモトピーファイバーを表すには、例えばKan複体間の後合成写像がKanファイバー化であることが十分である。単体的モデル圏では、cofibrantな始域・fibrantな値域・適切なファイバー化への置換などを用いてこの条件を確保する。写像空間に関するモデル圏の条件は Rie14 §11.4 による。全HomがKanという条件と、後合成がファイバー化という条件は別である。適切な置換を経た全スライスと∞スライスの比較は、さらに対象と合成に関する比較定理を必要とし、Hom一件の計算だけでは証明されない。
Cat豊穣の場合のHomは一般に亜群ではないため、すべての2射を可逆とする(∞,1)-圏（∞-圏）に無条件で読み替えることもできない。

関連項目

参考文献

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