ソクル

前提知識: 局所環, Noether環, 随伴素イデアル, 入射包絡

ソクル（socle）とは、局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ 上の加群 $M$ の元のうち、極大イデアル $\mathfrak m$ のすべての元に消されるものの全体
$$\operatorname{Soc}M=(0:_M\mathfrak m)=\{v\in M\mid \mathfrak m v=0\}$$
である。$\mathfrak m$ に消されるので剰余体 $k$ 上のベクトル空間であり、$\operatorname{Hom}_A(k,M)$ と自然に同一視される。
ソクルは加群の「いちばん底」にあたる。$M$ の各元が $\mathfrak m$ のある冪で消えるなら、$M$ の零でない部分加群は必ずソクルと交わる。このため、そのような加群は剰余体の入射包 $E_A(k)$ の $\dim_k\operatorname{Soc}M$ 個の直和の中に収まり、収まるための最小の個数がソクルの次元になる。Noether 局所環上の有限生成加群については、ソクルが零でないことは深さが $0$ であることと同値であり、この判定は 深さ・Serre条件・Gorenstein環 などで繰り返し使われる。Artin 局所環がGorensteinであることはソクルが $1$ 次元であることと同値であり、Cohen–Macaulay 局所環の型はパラメータ系で割った環のソクルの次元である。
この記事では、ソクルの本質性（thm-socle-essential）と入射包への埋め込み（cor-socle-injective-hull）、深さ零の判定（thm-socle-depth-zero）を証明し、応用として $2$ 次元の正規局所整域の深さが $2$ であることを示す（prop-socle-normal-dim-two）。

定義

この記事では、環は単位元をもつ可換環とし、$(A,\mathfrak m,k)$ は極大イデアル $\mathfrak m$、剰余体 $k=A/\mathfrak m$ の局所環を表す。Noether 性が要るところでは明記する。

$\mathfrak m\operatorname{Soc}M=0$ なので、$\operatorname{Soc}M$ は $k=A/\mathfrak m$ 上のベクトル空間であり、その $A$ 部分加群は $k$ 部分空間と同じものである。写像 $f\mapsto f(1)$ は同型
$$\operatorname{Hom}_A(k,M)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Soc}M$$
を与える。$f(1)$ は $\mathfrak m f(1)=f(\mathfrak m\cdot1)=0$ をみたし、逆に $v\in\operatorname{Soc}M$ に対して $a+\mathfrak m\mapsto av$ は矛盾なく定まるからである。この同一視から、$\operatorname{Soc}$ は左完全な関手であり、部分加群 $N\subset M$ については $\operatorname{Soc}N=N\cap\operatorname{Soc}M$、有限直和については $\operatorname{Soc}(M\oplus N)=\operatorname{Soc}M\oplus\operatorname{Soc}N$ となる。

本質性と入射包

この証明は Noether 性を使わない。仮定の「各元が $\mathfrak m$ のある冪で消える」は外せない（下の反例の表の 1 行目）。Artin 局所環上の加群、有限長の加群、局所コホモロジー $H^i_{\mathfrak m}(M)$（局所コホモロジー）、剰余体の入射包 $E_A(k)$（Matlis双対 の命題「$E$ の構造」の 1）はすべてこの仮定をみたす。

$r$ が無限の場合も、$\mathfrak m$ 冪捩れ加群は $E$ の（無限）直和の部分加群になる。Noether 環の上では入射加群の任意の直和が入射的だからである（入射包絡 の命題「直和の入射包」の 3）。系は、有限長の加群の入射包がソクルの次元だけで決まることを述べている（StacksDC Tag 08Z3 は埋め込みの部分を同じ議論で示している）。

深さ零の判定

有限生成加群では、ソクルが零でないことが深さ $0$ の言い換えになる。

$\Gamma_{\mathfrak m}(M)$ は局所コホモロジーの $0$ 次 $H^0_{\mathfrak m}(M)$ である（局所コホモロジー）。したがって thm-socle-depth-zero は、Grothendieck の定理の「深さの次数で局所コホモロジーが初めて零でなくなる」という部分の $0$ 次の場合にあたる（Grothendieckの非消滅定理）。
深さが正の場合も、ソクルで深さを測れる。$x_1,\dots,x_t\in\mathfrak m$ を $M$ 正則列とすると、$t=\operatorname{depth}M$ であることは、$M/(x_1,\dots,x_t)M$ のソクルが零でないことと同値である（thm-socle-depth-zero を商に当て、延長できない正則列の長さが選び方によらないこと（深さ の定理「正則列とExtによる深さ」）を使う）。また $\operatorname{Soc}M=\operatorname{Hom}_A(k,M)=\operatorname{Ext}^0_A(k,M)$ なので、thm-socle-depth-zero は「$\operatorname{depth}M=\min\{i\mid\operatorname{Ext}^i_A(k,M)\ne0\}$」（Mat89 定理 16.7 とその直後、p. 130）の $0$ 次の場合でもある。

Artin局所環とGorenstein性

$(A,\mathfrak m,k)$ が Artin 局所環（Noether で次元 $0$）なら、$\mathfrak m$ は冪零なので $A$ 上のすべての加群は $\mathfrak m$ 冪捩れであり、thm-socle-essential が使える。とくに $A\ne0$ なら $\operatorname{Soc}A\ne0$ で、$A$ の零でないイデアルはすべてソクルと交わる。
Artin 局所環 $A$ について、$A$ がGorensteinであること（自己入射的であること）は $\dim_k\operatorname{Soc}A=1$ と同値である（Gorenstein環 の定理「Artin局所環のソクル判定」、Mat89 定理 18.1 の条件 (4′)）。cor-socle-injective-hull からは、$A$ の入射包が $E^{\oplus r}$（$r=\dim_k\operatorname{Soc}A$）であることが分かり、$r=1$ のとき長さの比較で $A\cong E$ となる。
$d$ 次元 Cohen–Macaulay 局所環 $R$ では、パラメータ系 $\mathbf x=x_1,\dots,x_d$ は正則列である。正則元で割るたびに $\operatorname{Ext}$ の次数が $1$ 下がる（Mat89 §18 の補題 2 (i)、p. 140）ので、これを $d$ 回使うと
$$\operatorname{Soc}(R/(\mathbf x))=\operatorname{Hom}_R(k,R/(\mathbf x))\cong\operatorname{Ext}^d_R(k,R)$$
となり、$\dim_k\operatorname{Soc}(R/(\mathbf x))$ はパラメータ系の選び方によらない。この数を $R$ の型（Cohen–Macaulay 型）といい、$R$ がGorensteinであることは型が $1$ であることと同値である（Gorenstein環 の定理「CM環のソクル判定」）。

例

応用：2次元正規局所整域の深さ

これは Mat89 演習 17.3 の主張であり、Serre の正規性判定法の条件 $(S_2)$ の $2$ 次元の場合にあたる（Serre条件）。整閉性は外せない（下の反例の表の 4 行目）。

反例と注意

1 行目：$k[\![x]\!]$ は整域なので、$xf=0$ なら $f=0$ である。
2 行目：$V=\bigcup_{n\ge1}k[\![t^{1/n!}]\!]$ とする。各 $k[\![t^{1/n!}]\!]$ は離散付値環で増大列をなすので、その和集合 $V$ は商体 $\bigcup_nk(\!(t^{1/n!})\!)$ の付値環で、付値 $v$ の値群は $\mathbb Q$ である。$M=V/tV$ は巡回加群（有限生成）である。$y\in\mathfrak m$、$v(y)=a>0$ をとる。$a\ge1$ なら $y\cdot1\in tV$ で $1\notin tV$、$0< a<1$ なら $z=t/y$ は $0< v(z)<1$ をみたし $yz=t$ なので、どちらでも $y$ は $M$ の零因子である。一方 $\mathfrak mz\subset tV$ なら、すべての正の有理数 $\varepsilon$ で $\varepsilon+v(z)\ge1$（$t^\varepsilon z\in tV$）なので $v(z)\ge1$、すなわち $z\in tV$ であり、$\operatorname{Soc}M=0$ である。
3 行目：Gorenstein局所環は Cohen–Macaulay である（Gorenstein環）が、ex-socle-embedded の $A$ は深さ $0$、次元 $1$ で Cohen–Macaulay でない。
4 行目：$R$ は、指数 $(a,b)$ が $(4,0),(3,1),(1,3),(0,4)$ の生成する半群に入る単項式 $s^at^b$ だけからなる冪級数の全体で、$k[\![s,t]\!]$ の部分環だから整域である。$k[\![s,t]\!]$ は $k[\![s^4,t^4]\!]\subset R$ 上の有限加群（$s^at^b$、$a,b<4$ で生成される）なので、$R$ も $k[\![s^4,t^4]\!]$ 上有限で Noether 局所環であり、$\dim R=2$ である。極大イデアルは $4$ つの生成元で生成される。$x=s^4$、$b=s^6t^2=(s^3t)^2$ とおく。$b/x=s^2t^2$ の指数 $(2,2)$ は半群に入らないので $b\notin xR$ である。一方 $s^4b=x\cdot s^6t^2$、$s^3t\cdot b=x\cdot s^5t^3$、$st^3\cdot b=x\cdot s^3t^5$、$t^4b=x\cdot s^2t^6$ で、$(5,3),(3,5),(2,6)$ は半群に入る。よって $b$ の像は $R/xR$ のソクルの零でない元であり、$\operatorname{depth}R/xR=0$、$\operatorname{depth}R=1$ である。$u=b/x=s^2t^2$ は $u^2=s^4\cdot t^4\in R$ をみたすので $R$ 上整だが $R$ に入らず、$R$ は整閉でない。証明の $u$ がそのまま現れている。

関連項目

• 前提: 局所環, 随伴素イデアル, 入射包絡, 素イデアル回避
• 比較: 深さ, Matlis双対, 局所コホモロジー
• 直後に読む: Gorenstein環, Cohen–Macaulay環, Grothendieckの非消滅定理
• 発展: Serre条件, 双対化加群, 局所双対定理(Grothendieck)