広義一様収束

$K\subset X$ をコンパクトとする。各 $x\in K$ について、$f_n\to f$ が一様になる $x$ の近傍 $U_x$ と、$x\in V_x\subset U_x$ となる開集合 $V_x$ をとる。$\{V_x\}_{x\in K}$ は $K$ を覆うので、有限個の点 $x_1,\dots,x_m$ で $K\subset V_{x_1}\cup\dots\cup V_{x_m}$ となるものがある。$\varepsilon>0$ に対し、各 $i$ について $n\ge N_i$ ならば $\sup_{U_{x_i}}d(f_n,f)<\varepsilon$ となる $N_i$ をとり、$N:=\max_iN_i$ とすると、$n\ge N$ で $\sup_Kd(f_n,f)<\varepsilon$ である。$K=\emptyset$ なら主張は自明である。$\square$

局所一様収束から広義一様収束が従うことは prop-luc-local-compact である。逆に広義一様収束するとし、$x\in X$ のコンパクトな近傍 $C$ をとると、仮定により $f_n$ は $C$ 上で $f$ に一様収束するので、$C$ が局所一様収束の定義の近傍になる。$\mathbb R^n$ の開集合 $\Omega$ の点 $x$ については、$B(x,2r)\subset\Omega$ となる $r>0$ をとれば閉球 $\{y\mid|y-x|\le r\}$ がコンパクトな近傍であり、閉集合 $F$ の点については $F\cap\{y\mid|y-x|\le1\}$ がそうである。$\square$

$x\in X$ とし、$f_n\to f$ が一様になる $x$ の近傍 $U$ と、$x\in V\subset U$ となる開集合 $V$ をとる。$V$ 上でも一様収束し、$f_n|_V$ は部分空間 $V$ 上の連続写像なので、一様極限 $f|_V$ は $V$ 上で連続である（距離空間の位相の基本的性質 の記事の命題「連続写像の一様極限は連続」）。$V$ は $X$ の開集合なので、$Y$ の開集合 $W$ について $f^{-1}(W)\cap V=(f|_V)^{-1}(W)$ は $V$ で開、したがって $X$ で開であり、$f$ は $x$ の近くで連続である。$x$ は任意なので $f$ は連続である。後半は thm-luc-equivalence による。$\square$

一点集合 $\{x\}$ に仮定を使うと $(f_n(x))$ は Cauchy 列なので、$Y$ の完備性から極限 $f(x)$ がある。コンパクト集合 $K$ と $\varepsilon>0$ に対して仮定の $N$ をとり、$x\in K$、$n\ge N$ を固定して $d(f_m(x),f_n(x))<\varepsilon$ で $m\to\infty$ とすると、$d(f(x),f_n(x))\le\varepsilon$ である。これがすべての $x\in K$ で成り立つので、$n\ge N$ で $\sup_Kd(f,f_n)\le\varepsilon$ である。$\square$

$\Omega\ne\mathbb R^n$ のとき、$\delta(x):=\operatorname{dist}(x,\mathbb R^n\setminus\Omega)$ は定数 $1$ の Lipschitz 関数で、$\Omega$ の点では正、補集合の点では $0$ である（$\Omega=\mathbb R^n$ のときは $\delta$ に関する条件を読み飛ばせばよい）。
1：$\delta(x)\ge1/j$ なら $x\in\Omega$ なので、$K_j=\{x\in\mathbb R^n\mid|x|\le j,\ \delta(x)\ge1/j\}$ は $\mathbb R^n$ の有界閉集合であり、コンパクトである。$x\in K_j$ なら、開集合 $\{y\mid|y|< j+1,\ \delta(y)>1/(j+1)\}$ は $x$ を含み $K_{j+1}$ に含まれる。$K\subset\Omega$ がコンパクトなら、$|x|$ と $\delta$ は $K$ 上で最大値 $R$ と最小値 $\mu>0$ をとるので（$K=\emptyset$ なら自明）、$j\ge R$ かつ $1/j\le\mu$ となる $j$ で $K\subset K_j$ である。
2：$f,g$ は $K_j$ 上で連続なので $\sup_{K_j}|f-g|$ は有限で、$0\le\rho\le1$ である。$\min\{1,a+b\}\le\min\{1,a\}+\min\{1,b\}$（$a,b\ge0$）と $\sup_{K_j}|f-h|\le\sup_{K_j}|f-g|+\sup_{K_j}|g-h|$ から三角不等式が従う。各点 $x$ は 1 によりある $K_j$ に含まれるので、$\rho(f,g)=0$ なら $f=g$ である。$\rho(f_n,f)\to0$ なら、各 $j$ で $\min\{1,\sup_{K_j}|f_n-f|\}\le2^j\rho(f_n,f)\to0$ なので $K_j$ 上で一様収束し、1 によりどのコンパクト集合上でも一様収束する。逆に広義一様収束するとし、$\varepsilon>0$ に対して $2^{-J}<\varepsilon/2$ となる $J$ をとる。$j>J$ の項の和は $2^{-J}$ 以下であり、$j\le J$ の有限個の項は $K_j$ 上の一様収束によりある番号から先で和が $\varepsilon/2$ 未満になる。よって $\rho(f_n,f)<\varepsilon$ となる。
3：$(f_n)$ が $\rho$ について Cauchy 列なら、2 と同じ評価で各 $K_j$ 上で一様 Cauchy 条件を満たし、1 によりどのコンパクト集合上でも満たす。prop-luc-cauchy により極限 $f$ に広義一様収束し、thm-luc-continuity により $f\in C(\Omega)$、2 により $\rho(f_n,f)\to0$ である。$\square$

$G$ の各点は閉円板を近傍にもつので、thm-luc-equivalence により $f_n\to f$ は局所一様収束である。よって $f$ は正則である（Riemannゼータ関数 の記事の補題「正則関数の一様極限」。Cauchy の積分定理で $\int_\gamma f_n=0$ とし、極限をとって Morera の定理を使う）。
$K\subset G$ をコンパクト集合とする（空なら自明）。$K$ と $\mathbb C\setminus G$ の距離は正なので（$G=\mathbb C$ なら $r=1$ とする）、それより小さい $r>0$ をとると、$K_r:=\{z\mid\operatorname{dist}(z,K)\le r\}$ は $G$ に含まれる有界閉集合で、コンパクトである。$a\in K$ なら円周 $|z-a|=r$ は $K_r$ に含まれる。正則関数 $f_n-f$ に Cauchyの積分公式 の記事の命題「Cauchy の評価式」（$n=1$）を使うと
$$ |f_n'(a)-f'(a)|\le\frac1r\sup_{K_r}|f_n-f| $$
である。右辺は $a\in K$ によらず、$K_r$ 上の一様収束により $0$ に近づくので、$f_n'\to f'$ は $K$ 上で一様である。$\square$