単連結多様体の閉超曲面の分離

$B'^\pm$ は $B\setminus M=B^+\sqcup B^-$ の連結な部分集合で、$B^+$、$B^-$ は交わらない開集合なので、それぞれ一方に含まれる。$m'\in B\cap M$ なので $\varphi(m')=(u,0)$ と書ける。$B'$ は $m'$ の開近傍なので、十分小さい $s>0$ について $\varphi^{-1}(u,s)$ と $\varphi^{-1}(u,-s)$ はともに $B'$ に入り、$M$ には入らない。前者は $B^+$、後者は $B^-$ の点である。よって $B'\setminus M=B'^+\cup B'^-$ は $B^+$ とも $B^-$ とも交わり、$B'^+$ と $B'^-$ が同じ半分に含まれることはない。$\square$

1：$B'$ を $m'\in M\cap U$ における座標球とし、定義の座標球 $B\subset U$（$m'$ における、$f(B^+)\ne f(B^-)$）をとる。$B$ の中の小さな座標球 $B''$ を $B''\subset B'$ となるようにとる（$B'$ は $m'$ の開近傍である）。lem-sep-halves を $B''\subset B$ に使うと $B''^\pm$ は $B$ の異なる半分に入るので、$f(B''^+)\neq f(B''^-)$ である。同じ補題を $B''\subset B'$ に使うと $B''^\pm$ は $B'$ の異なる半分に入るので、$f(B'^+)$ と $f(B'^-)$ は $f(B''^+)$ と $f(B''^-)$ を順序を除いて並べたものであり、異なる。後半は、$m\in M\cap V$ における座標球 $B\subset U$ の中の小さな座標球を $V$ に入るようにとれば、前半により値が異なる。

2：定義の条件は各点 $m$ の近くだけで決まる（$m\in U_\lambda$ なら $U_\lambda$ に含まれる座標球が条件を満たす）。局所定数性も局所的な条件である。

3：$f\in\mathcal{J}(B)$ は $B\setminus M=B^+\sqcup B^-$ の上で局所定数なので各半分で定数であり、1 により $f(B^+)\neq f(B^-)$ である。逆に $f_B$ は局所定数で、$m'\in B\cap M$ では $B$ の中の小さな座標球の半分が $B^+$ と $B^-$ に入るので条件を満たす。$W$ については、$W\cap M=\emptyset$ なので跳び関数は連結な $W$ 上の局所定数関数、すなわち定数である。

4：$h:=f+g$ とおく。$m\in M\cap U$ と $U$ に含まれる座標球 $B$ について、1 により $f$ と $g$ はどちらも $B^+$ と $B^-$ で値が入れ替わるので、$h(B^+)=h(B^-)$ である。この共通の値を $h(m)$ と定めると、$m$ における 2 つの座標球は共通の小さな座標球を含むので、$h(m)$ は座標球によらない。$B\cap M$ の各点 $m'$ では、$B$ の中の小さな座標球の半分が $B^\pm$ に入るので $h(m')$ は同じ値である。よって延長した $h$ は各座標球の上で定数であり、$U$ 上で局所定数である。$\square$

$M$ に沿う座標球と、$N\setminus M$ に含まれる連結な開集合を基本の開集合と呼ぶ。基本の開集合は $N$ の位相の基をなし、点 $x$ を含む 2 つの基本の開集合の共通部分は $x$ を含む基本の開集合を含む（$x\in M$ なら小さな座標球、$x\notin M$ なら $N\setminus M$ の中の座標近傍の小さな球）。lem-sep-jump-local の 3 により、基本の開集合 $U$ について $\mathcal{J}(U)$ はちょうど 2 元で、2 元は空でないどの開集合の上でも値が異なる。したがって基本の開集合 $U'\subset U$ について制限 $\mathcal{J}(U)\to\mathcal{J}(U')$（lem-sep-jump-local の 1）は単射、よって全単射である。

点 $x$ について、$x$ を含む基本の開集合 $U$ と $f\in\mathcal{J}(U)$ の組を、$x$ を含むある基本の開集合の上で一致するとき同値とし、同値類を $f$ の $x$ での芽 $[f]_x$、芽の全体を $\mathcal{J}_x$ とする。上のことから、$x$ を含むどの基本の開集合 $U$ についても $\mathcal{J}(U)\to\mathcal{J}_x$ は全単射で、$\mathcal{J}_x$ は 2 元である。$\widetilde N:=\bigsqcup_{x\in N}\mathcal{J}_x$、$p([f]_x):=x$ とし、基本の開集合 $U$ と $f\in\mathcal{J}(U)$ について $\langle U,f\rangle:=\{[f]_x\mid x\in U\}$ とおく。$[f]_x=[g]_x$ が $\langle U,f\rangle\cap\langle U',g\rangle$ の点なら、$x$ を含む基本の開集合 $U''\subset U\cap U'$ の上で $f=g$ であり、$\langle U'',f|_{U''}\rangle$ はその点を含み共通部分に含まれる。よって $\langle U,f\rangle$ の全体は $\widetilde N$ の位相の基をなす。

基本の開集合 $U$ について、$p^{-1}(U)=\langle U,f_U\rangle\sqcup\langle U,f_U+1\rangle$（$\mathcal{J}(U)=\{f_U,f_U+1\}$）であり、$p$ は各 $\langle U,f\rangle$ から $U$ への全単射である。この全単射は、基の開集合 $\langle U'',f|_{U''}\rangle$ を開集合 $U''$ に写し、$U$ の基本の開集合 $U''$ の逆像は $\langle U'',f|_{U''}\rangle$ なので、同相写像である。よって $p$ は 2 重被覆である。

$f\in\mathcal{J}(N)$ に対し $s_f(x):=[f|_U]_x$（$U$ は $x$ を含む基本の開集合）は連続な切断である（$s_f^{-1}\langle U,g\rangle$ は $f|_U=g$ となる部分であり開集合）。逆に連続な切断 $s$ があれば、$x\notin M$ について $s(x)$ は $x$ の近くの局所定数関数の芽なので、その $x$ での値 $f(x)$ が決まる。各点 $x$ で $s(x)\in\langle U,g\rangle$ となる基本の開集合 $U$ と $g$ をとり、$x$ を含む基本の開集合 $U''\subset U\cap s^{-1}\langle U,g\rangle$ をとると、$U''\setminus M$ の上で $f=g$ である。よって $f$ の各 $U''$ への制限は跳び関数で、lem-sep-jump-local の 2 により $f\in\mathcal{J}(N)$ である。2 つの対応は互いに逆である。$\square$

1：$N$ は連結な多様体なので弧状連結である。普遍係数定理 の定理「コホモロジーの普遍係数定理」を特異鎖複体に $n=1$ で使うと、$H_0(N;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ は自由なので $\operatorname{Ext}(H_0(N),\mathbb{Z}/2)=0$ であり（同記事の命題「Ext の計算」）、$H^1(N;\mathbb{Z}/2)\cong\operatorname{Hom}(H_1(N;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}/2)$ である。Hurewiczの定理 の定理「1 次元の Hurewicz の定理」により $H_1(N;\mathbb{Z})$ は $\pi_1(N)$ の可換化なので、これは $\operatorname{Hom}(\pi_1(N),\mathbb{Z}/2)$ に等しい。$\pi_1(N)$ に指数 $2$ の部分群 $H$ があれば、$H$ は正規部分群で、商写像 $\pi_1(N)\to\pi_1(N)/H\cong\mathbb{Z}/2$ は $0$ でない準同型になる。よって $H^1(N;\mathbb{Z}/2)=0$ なら指数 $2$ の部分群はない。

2：$E$ は $N$ と局所的に同相なので局所弧状連結であり、連結なら弧状連結である。$E$ が連結なら、被覆空間 の定理「基本群との関係」の 2 により $p_*\pi_1(E)$ は $\pi_1(N)$ の指数 $2$ の部分群になり、1 に反する。よって $E$ は交わらない空でない開集合 $A$、$A'$ の和である。$x\in N$ に $k(x):=\lvert p^{-1}(x)\cap A\rvert\in\{0,1,2\}$ を対応させる。$x$ の連結な均一被覆近傍 $V$ の上では、2 枚のシートはそれぞれ $V$ と同相で連結なので $A$ か $A'$ の一方に含まれ、$k$ は $V$ 上で定数である。$N$ は連結なので $k$ は定数で、$A$、$A'$ が空でないから $k\equiv1$ である。$s(x):=(p^{-1}(x)\cap A\text{ の唯一の点})$ は、各 $V$ の上で $A$ に含まれるシートへの $p$ の逆写像に一致するので、連続な切断である。$\square$

$m\in M$ と $v\in T_mN\setminus T_mM$ をとる。$(B,\varphi)$、$(B',\varphi')$ を $m$ における座標球で $B^+\subset A_1$、$B'^+\subset A_1$ となるものとすると、$dy^{n+1}(v)$ と $dy'^{n+1}(v)$ は同じ符号である（$y=\varphi$、$y'=\varphi'$ の成分）。実際、$T_mM=\ker dy^{n+1}_m=\ker dy'^{n+1}_m$（部分多様体 の定理「部分多様体の局所的な特徴づけ」の最後の主張を、定義関数 $y^{n+1}$、$y'^{n+1}$ に使う）なので両方とも $0$ でない。$dy^{n+1}(v)>0$ で $dy'^{n+1}(v)<0$ だったとすると、曲線 $c(s):=\varphi^{-1}(s\,d\varphi_m(v))$ は小さい $s>0$ で $B^+\subset A_1$ に入るが、$y'^{n+1}(c(s))$ は $s=0$ で $0$、微分が負なので、小さい $s>0$ で $c(s)\in B'^-\subset A_2$ となり矛盾する。

$M$ を座標球 $(B_k,\varphi_k)$（$B_k^+\subset A_1$）で覆い、$M$ の開被覆 $(B_k\cap M)$ に従属する滑らかな 1 の分割 $(\rho_k)$ をとる（1の分割 の定理「滑らかな 1 の分割の存在」）。$\partial_k:=\partial/\partial y_k^{n+1}$ を $\varphi_k$ の座標ベクトル場とし、$X:=\sum_k\rho_k\,\partial_k|_M$ とおく。台が局所有限なので $X$ は滑らかである。$m\in M$ と $B^+\subset A_1$ となる座標球 $B$ をとると、$\rho_k(m)>0$ となる各 $k$ で、前段を $B$ と、$B_k$ の中の $m$ における小さな座標球（最後の座標は $y_k^{n+1}$ のままで、正の側の半分は $B_k^+\subset A_1$ に含まれる）に使えば、$dy^{n+1}(\partial_k(m))$ は $dy_k^{n+1}(\partial_k(m))=1$ と同じ符号、すなわち正なので、$dy^{n+1}(X(m))>0$ であり $X(m)\notin T_mM$ である。$X(m)$ の類 $[X(m)]\in\nu_m=T_mN/T_mM$ は $0$ にならない滑らかな切断で（滑らかさは 法束 の命題「法束はベクトル束」の局所自明化で確かめられる）、$M\times\mathbb{R}\to\nu_{M/N}$、$(m,c)\mapsto c[X(m)]$ は階数 $1$ のベクトル束の同型である。

存在． thm-sep-main の跳び関数 $f$ をとる。$M$ を含む閉球 $D$ をとると、$\mathbb{R}^{n+1}\setminus D$ は $n+1\ge2$ なので連結で、$\mathbb{R}^{n+1}\setminus M$ に含まれるから $f$ はそこで定数である。必要なら $f$ を $f+1$ に取り替えて、$D$ の外で $f=0$ とする。$W:=M\cup f^{-1}(1)$ とおく。補集合 $f^{-1}(0)$ は $\mathbb{R}^{n+1}\setminus M$ の開集合で、$\mathbb{R}^{n+1}\setminus M$ は開集合なので、$W$ は閉集合である。$W\subset D$ なので $W$ はコンパクトである。$W\setminus M=f^{-1}(1)$ は開集合で、座標球 $B$ では $f$ の値が $B^+$ と $B^-$ で異なるので、$W\cap B$ は一方の半分と $B\cap M$ の和である。

一意性． $W'$ を $M$ を境界とするコンパクトな領域とし、$g\colon\mathbb{R}^{n+1}\setminus M\to\mathbb{Z}/2$ を $W'\setminus M$ の上で $1$、外で $0$ とする。$W'\setminus M$ と $\mathbb{R}^{n+1}\setminus W'$ は開集合なので $g$ は局所定数で、定義の座標球では $g$ の値が 2 つの半分で異なるから、$g$ は跳び関数である。thm-sep-main の 1 により $g=f$ か $g=f+1$ である。$D\cup W'$ を含む閉球の外では $f=g=0$ なので $g=f$、すなわち $W'\setminus M=W\setminus M$ であり、$W'=W$ である。$\square$

$\mathbb{R}\setminus M$ の成分は $k+1$ 個の開区間で、跳び関数は $a_i$ を越えるたびに値が入れ替わる。$(-\infty,a_1)$ で $0$ となる跳び関数を $f$ とすると、$f$ は $(a_k,\infty)$ で $k$ を $2$ で割った余りに等しい。$W$ を $M$ を境界とするコンパクトな領域とし、prop-sep-euclidean の一意性の証明と同じ $g$ を作ると、$g$ は跳び関数で、$W$ は有界なので 2 つの非有界な区間で $0$ である。左端で一致するので $g=f$ であり、右端で $f=0$ から $k$ は偶数である。$k$ が偶数なら、上の閉区間の和は $f^{-1}(1)\cup M$ に等しく、条件を満たす。一意性は $g=f$ から従う。$\square$