Tateコホモロジー

1. 群コホモロジー の記事の系「射影分解による計算」の証明で、反変関手 $\operatorname{Hom}_G(-,M)$ を共変加法関手 $P\mapsto(P\otimes M)_G$ に替えれば同じ議論が通る（導来関手 の記事の命題「比較定理」とその直後の議論）。
2. 各 $X_n$ は自由なので、上に述べたとおり $0\to C_n(G,A)\to C_n(G,B)\to C_n(G,C)\to0$ は完全で、境界写像と可換である。長完全列 の記事の定理「複体の短完全列の長完全列」を（次数の向きを逆にして）使えばよい。$\square$

次の図式を考える。上の行は prop-tate-homology の 2 の右端、下の行は 群コホモロジー の記事の定理「群コホモロジーの長完全列」の左端で、どちらも完全である。
$$ \xymatrix{ H_1(G,C) \ar[r]^{\partial} & A_G \ar[r]^{i_*} \ar[d]_{N_G^*} & B_G \ar[r]^{j_*} \ar[d]_{N_G^*} & C_G \ar[r] \ar[d]^{N_G^*} & 0\\ 0 \ar[r] & A^G \ar[r]^{i_*} & B^G \ar[r]^{j_*} & C^G \ar[r]^{\delta^0} & H^1(G,A) } $$
四角形は可換である：$i(N_Ga)=N_Gi(a)$、$j(N_Gb)=N_Gj(b)$ だからである。上の行の $A_G\to B_G\to C_G\to0$ と下の行の $0\to A^G\to B^G\to C^G$ は完全なので、一般形の蛇の補題（Sta010H Lemma 12.5.17。上下の行が短完全列の場合は 蛇の補題 の記事の定理「蛇の補題」）により
$$ \ker N_{G,A}^*\to\ker N_{G,B}^*\to\ker N_{G,C}^*\xrightarrow{\ \delta\ }\operatorname{coker}N_{G,A}^*\to\operatorname{coker}N_{G,B}^*\to\operatorname{coker}N_{G,C}^* $$
は完全である。これは $\hat H^{-1}(A)\to\hat H^{-1}(B)\to\hat H^{-1}(C)\to\hat H^0(A)\to\hat H^0(B)\to\hat H^0(C)$ であり、$\delta$ は蛇の補題の接続準同型の構成どおり主張の記述になる。
残るのは両端のつなぎ目である。
左端：$x\in H_1(G,C)$ について、$N_G^*\partial x$ は $i_*$ で $N_G^*i_*\partial x=0$ に移り、$i_*\colon A^G\to B^G$ は単射なので $N_G^*\partial x=0$ である。よって $\partial$ は $\hat H^{-1}(G,A)=\ker N_{G,A}^*$ に値をとる。$\hat H^{-1}(A)\subset A_G$ なので、$H_1(G,C)\to\hat H^{-1}(G,A)$ の核は $\partial$ の核に等しく、それは $H_1(G,B)$ の像である（$H_1(G,C)$ での完全性）。$\hat H^{-1}(A)\to\hat H^{-1}(B)$ の核は $\ker i_*\cap\ker N_G^*=\operatorname{im}\partial\cap\ker N_G^*=\operatorname{im}\partial$ である（$\hat H^{-1}(G,A)$ での完全性）。
右端：$\delta^0\circ N_{G,C}^*$ は、$C_G$ の元を $B_G$ に持ち上げれば $\delta^0\circ j_*\circ N_{G,B}^*=0$ に等しいので $0$ であり、$\delta^0$ は $\hat H^0(G,C)=C^G/N_GC$ から $H^1(G,A)$ への写像を誘導する。その核は $\ker\delta^0/N_GC=\operatorname{im}(B^G\to C^G)/N_GC$、すなわち $\hat H^0(G,B)$ の像である（$\hat H^0(G,C)$ での完全性）。像は $\delta^0$ の像 $=\ker(H^1(G,A)\to H^1(G,B))$ に等しい（$H^1(G,A)$ での完全性）。$n\ge1$ と $n\le-2$ の部分の完全性は、それぞれの長完全列そのものである。$\square$

$\mathbb{Z}[G]$ は可換環なので、掛け算は $\mathbb{Z}[G]$ 線形である。$x=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\sigma^k$ について次の 3 つを使う。

• $(\sigma-1)x=0$ は $a_{k-1}=a_k$（添字は $\bmod n$）がすべての $k$ で成り立つこと、すなわち $x\in\mathbb{Z}N_G$ と同値である。一方 $N_G\sigma^k=N_G$ なので $N_G\mathbb{Z}[G]=\mathbb{Z}N_G$ である。よって $\ker(\sigma-1)=\operatorname{im}N_G$。
• $N_Gx=\varepsilon(x)N_G$ なので $\ker N_G=\ker\varepsilon$ である。
• $\ker\varepsilon$ は添加イデアルで、$\tau-1$（$\tau\in G$）で生成される（群環 の記事の命題「添加イデアルの基底」）。$\sigma^k-1=(\sigma-1)(1+\dots+\sigma^{k-1})$ なので $\ker\varepsilon=(\sigma-1)\mathbb{Z}[G]$。よって $\ker\varepsilon=\ker N_G=\operatorname{im}(\sigma-1)$。
  $\varepsilon$ は全射なので、列はすべての位置で完全である。$\square$

$P_\bullet$ を lem-tate-cyclic-resolution の分解とする（$P_m=\mathbb{Z}[G]$、$P_m\to P_{m-1}$ は $m$ が奇数なら $\sigma-1$ 倍、偶数なら $N_G$ 倍）。
コホモロジー（次数 $\ge1$）：同型 $\operatorname{Hom}_G(\mathbb{Z}[G],M)\cong M$、$F\mapsto F(1)$ のもとで、$x$ 倍写像との合成は $m\mapsto xm$ になる（$F(x)=xF(1)$）。よって $\operatorname{Hom}_G(P_\bullet,M)$ は
$$ M\xrightarrow{\ \sigma-1\ }M\xrightarrow{\ N_G\ }M\xrightarrow{\ \sigma-1\ }M\xrightarrow{\ N_G\ }\cdots $$
（左端が次数 $0$）であり、群コホモロジー の記事の系「射影分解による計算」により、$k\ge1$ で
$$ H^{2k}(G,M)\cong\ker(\sigma-1)/N_GM=M^G/N_GM,\qquad H^{2k-1}(G,M)\cong\ker N_G/(\sigma-1)M $$
である。
ホモロジー（次数 $\ge1$）：同型 $(\mathbb{Z}[G]\otimes M)_G\cong M$、$g\otimes m\mapsto g^{-1}m$ のもとで、右から $x=\sum a_\tau\tau$ を掛ける写像は $m\mapsto\bar xm$（$\bar x:=\sum a_\tau\tau^{-1}$）になる（$1\otimes m\mapsto x\otimes m\mapsto\sum a_\tau\tau^{-1}m$）。$\overline{N_G}=N_G$、$\overline{\sigma-1}=\sigma^{-1}-1=-\sigma^{-1}(\sigma-1)$ であり、$\sigma^{-1}$ は $M$ の自己同型で $\sigma-1$ と可換なので、$\sigma^{-1}-1$ と $\sigma-1$ の核と像は等しい。よって $(P_\bullet\otimes M)_G$ は
$$ M\xleftarrow{\ \sigma^{-1}-1\ }M\xleftarrow{\ N_G\ }M\xleftarrow{\ \sigma^{-1}-1\ }M\xleftarrow{\ N_G\ }\cdots $$
（左端が次数 $0$）であり、prop-tate-homology の 1 により、$k\ge1$ で
$$ H_{2k-1}(G,M)\cong\ker(\sigma-1)/N_GM=M^G/N_GM,\qquad H_{2k}(G,M)\cong\ker N_G/(\sigma-1)M $$
である。
$\hat H^{-2k}=H_{2k-1}$、$\hat H^{-2k-1}=H_{2k}$（$k\ge1$）と、定義による $\hat H^0=M^G/N_GM$、$\hat H^{-1}=\ker N_G/I_GM=\ker N_G/(\sigma-1)M$ をあわせると主張が得られる。どの同型も $M$ について関手的な複体の同一視から来るので、自然である。$\square$

$n\ge1$ は 群コホモロジー の記事の命題「有限群のコホモロジーは位数で消える」である。$n=0$：$m\in M^G$ なら $|G|m=N_Gm\in N_GM$。$n=-1$：$N_Gm=0$ なら $|G|m=|G|m-N_Gm=\sum_{\sigma}(m-\sigma m)\in I_GM$。$\square$

要点：$n\ge1$ は群コホモロジーの記事で示した。$n=0,-1$ は $1$ に台をもつ関数への書き換えで、$n\le-2$ は $X_\bullet$ の $\mathbb{Z}$ 線形な縮約ホモトピーで示す。