Eilenberg–Moore圏

1：$\bigvee\{x\}=x$ は単位律である。$\mathcal S\in\mathcal P\mathcal P(L)$ について $a(\mathcal P(a)(\mathcal S))=\bigvee\{\bigvee S\mid S\in\mathcal S\}$ と $a(\bigcup\mathcal S)=\bigvee\bigcup\mathcal S$ はともに $\bigcup\mathcal S$ の上限なので、結合律が成り立つ。
2：結合律を $\mathcal S=\{S\}\cup\{\{t\}\mid t\in T\}$（$S,T\subset A$）に当てると、$\bigcup\mathcal S=S\cup T$、$\mathcal P(a)(\mathcal S)=\{a(S)\}\cup T$（単位律 $a(\{t\})=t$）なので
$$ a(S\cup T)=a(\{a(S)\}\cup T)\qquad(\ast) $$
を得る。反射律は $a(\{x\})=x$、反対称律は $a(\{x,y\})$ が $x$ にも $y$ にも等しいことから従う。推移律：$a(\{x,y\})=y$、$a(\{y,z\})=z$ なら、$(\ast)$ を二度使って $a(\{x,z\})=a(\{x\}\cup\{y,z\})=a(\{x,y,z\})=a(\{a(\{x,y\}),z\})=a(\{y,z\})=z$ である。
$s=a(S)$ が $S$ の上限であることを示す。$x\in S$ なら $(\ast)$ で $a(\{x,s\})=a(\{x\}\cup S)=a(S)=s$ なので $x\le s$ である。$u$ が $S$ の上界なら、結合律を $\mathcal S=\{\{x,u\}\mid x\in S\}\cup\{\{u\}\}$ に当てると $\bigcup\mathcal S=S\cup\{u\}$、$\mathcal P(a)(\mathcal S)=\{u\}$ なので $a(S\cup\{u\})=u$ であり、$(\ast)$ から $a(\{s,u\})=a(S\cup\{u\})=u$、すなわち $s\le u$ である。任意の部分集合が上限をもつので $(A,\le)$ は完備束である（完備束 の定義の後の注意）。
3：完備束では $\bigvee\{x,y\}=y$ と $x\le y$ が同値なので、1 から 2 で順序が戻り、2 で $a=\bigvee$ だから 2 から 1 で構造射が戻る。準同型の条件 $b\circ\mathcal P(h)=h\circ a$ は $\bigvee h(S)=h(\bigvee S)$（すべての $S\subset A$）のことである。$\blacksquare$

存在：$(GY,G\varepsilon_Y)$ の単位律 $G\varepsilon_Y\circ\eta_{GY}=\operatorname{id}$ は三角恒等式、結合律 $G\varepsilon_Y\circ GFG(\varepsilon_Y)=G\varepsilon_Y\circ G\varepsilon_{FGY}$ は $\varepsilon$ の自然性 $\varepsilon_Y\circ FG(\varepsilon_Y)=\varepsilon_Y\circ\varepsilon_{FGY}$ を $G$ で送ったもので、$\mu_{GY}=G\varepsilon_{FGY}$ である。$f\colon Y\to Y'$ について、$\varepsilon$ の自然性 $\varepsilon_{Y'}\circ FG(f)=f\circ\varepsilon_Y$ を $G$ で送ると $G(f)$ は準同型である。$K$ は関手で $U^TK=G$ を満たし、$KFX=(GFX,G\varepsilon_{FX})=(TX,\mu_X)=F^TX$、$KF(k)=GF(k)=T(k)=F^T(k)$ である。
一意性：$K'$ が二条件を満たすとする。$U^TK'=G$ から $K'Y=(GY,h_Y)$、$K'(f)=G(f)$ の形である。$K'F=F^T$ から $h_{FX}=\mu_X$ である。$Y\in\mathcal D$ について、余単位 $\varepsilon_Y\colon FGY\to Y$ を $K'$ で送った $G(\varepsilon_Y)$ は、$K'(FGY)=F^T(GY)=(TGY,\mu_{GY})$ から $(GY,h_Y)$ への準同型なので
$$ h_Y\circ T(G\varepsilon_Y)=G\varepsilon_Y\circ\mu_{GY} $$
である。両辺に右から $T(\eta_{GY})$ を合成すると、左辺は三角恒等式 $G\varepsilon_Y\circ\eta_{GY}=\operatorname{id}$ により $h_Y$、右辺はモナドの単位律 $\mu_{GY}\circ T(\eta_{GY})=\operatorname{id}$ により $G\varepsilon_Y$ になる。よって $h_Y=G\varepsilon_Y$ で、$K'=K$ である。$\blacksquare$

$D(j)=(A_j,a_j)$ とし、$U^TD$ の極限錐 $(L,(\lambda_j)_j)$ をとる。$J$ の射 $u\colon j\to k$ について、$D(u)$ は準同型なので $D(u)\circ a_j\circ T(\lambda_j)=a_k\circ T(D(u)\circ\lambda_j)=a_k\circ T(\lambda_k)$ であり、$(TL,(a_j\circ T(\lambda_j))_j)$ は $U^TD$ 上の錐である。よって
$$ \lambda_j\circ l=a_j\circ T(\lambda_j)\quad(\text{すべての }j) $$
となる $l\colon TL\to L$ がただ一つある。この式は「各 $\lambda_j$ が準同型 $(L,l)\to(A_j,a_j)$ である」ことと同じなので、持ち上げの一意性はこれで分かる。
$(L,l)$ が $T$-代数であること：極限の普遍性から、二つの射 $L\to L$ や $TTL\to L$ が等しいことは各 $\lambda_j$ を合成して確かめればよい。$\lambda_j\circ l\circ\eta_L=a_j\circ T(\lambda_j)\circ\eta_L=a_j\circ\eta_{A_j}\circ\lambda_j=\lambda_j$ から $l\circ\eta_L=\operatorname{id}$ である。結合律は
$$ \lambda_j\circ l\circ T(l)=a_j\circ T(a_j)\circ TT(\lambda_j)=a_j\circ\mu_{A_j}\circ TT(\lambda_j)=a_j\circ T(\lambda_j)\circ\mu_L=\lambda_j\circ l\circ\mu_L $$
（$\mu$ の自然性）から従う。
極限であること：$T$-代数の錐 $((B,b),(\beta_j)_j)$ について、$\mathcal C$ で $\lambda_j\circ\beta=\beta_j$ となる $\beta\colon B\to L$ がただ一つある。$\lambda_j\circ l\circ T(\beta)=a_j\circ T(\beta_j)=\beta_j\circ b=\lambda_j\circ\beta\circ b$ から $l\circ T(\beta)=\beta\circ b$ で、$\beta$ は準同型である。$\blacksquare$

1：単位律 $\mu_X\circ T(\eta_X)=\operatorname{id}=\mu_X\circ\eta_{TX}$ で $\mu_X$ が同型だから、$T(\eta_X)$ と $\eta_{TX}$ はどちらも $\mu_X^{-1}$ に等しい。
2：$\eta$ の自然性を $a\colon TA\to A$ に使い、1 を用いると $\eta_A\circ a=T(a)\circ\eta_{TA}=T(a)\circ T(\eta_A)=T(a\circ\eta_A)=\operatorname{id}$ である。単位律 $a\circ\eta_A=\operatorname{id}$ と合わせて $a=\eta_A^{-1}$ である。逆に $\eta_A$ が同型なら、$a:=\eta_A^{-1}$ は単位律を満たし、1 より $T(a)=T(\eta_A)^{-1}=\eta_{TA}^{-1}=\mu_A$ なので結合律 $a\circ T(a)=a\circ\mu_A$ も成り立つ。構造射が $\eta_A^{-1}$ に限ることは前半による。
3：$U^T$ は忠実である。$(A,\eta_A^{-1})$、$(B,\eta_B^{-1})$ の間の任意の射 $h\colon A\to B$ について、準同型の条件 $\eta_B^{-1}\circ T(h)=h\circ\eta_A^{-1}$ は $\eta$ の自然性 $T(h)\circ\eta_A=\eta_B\circ h$ と同値なので、$U^T$ は充満である。2 から、$U^T$ は対象の上で単射で、像は $\mathcal C_{\mathrm{fix}}$ である。よって $U^T$ は $\mathcal C^T$ から $\mathcal C_{\mathrm{fix}}$ への圏の同型を与え、$F^T\dashv U^T$ をこの同型で移すと包含 $\mathcal C_{\mathrm{fix}}\to\mathcal C$ の左随伴 $X\mapsto TX$ が得られる（1 から $\eta_{TX}$ は同型で $TX\in\mathcal C_{\mathrm{fix}}$）。
4：反射部分圏 の命題「反射の冪等性」により、$T=iL$ の乗法は同型で、$\mathcal R$ が同型で閉じていることから $\mathcal R$ は $\eta_A$ が同型な対象の全体 $\mathcal C_{\mathrm{fix}}$ に等しい。比較関手 $K$ は $U^TK=i$ を満たし、3 から $U^T$ は $\mathcal C^T$ と $\mathcal C_{\mathrm{fix}}=\mathcal R$ の同型なので、$K$ は圏の同型である。$\blacksquare$