絶対収束

まず項が実数の場合を示す。$\sum|a_n|$ は収束するので、Cauchy列 の記事の系「級数の Cauchy判定法」により、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $N$ があり、$m>n\geq N$ なら $|a_{n+1}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon$ である。三角不等式により
$$ |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m|\leq|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon $$
なので、同じ判定法により $\sum a_n$ は収束する。
項が複素数 $a_n=x_n+iy_n$ の場合、$|x_n|\leq|a_n|$、$|y_n|\leq|a_n|$ なので、級数 の記事の定理「比較判定法」により $\sum|x_n|$ と $\sum|y_n|$ は収束する。実数の場合により $\sum x_n$ と $\sum y_n$ は収束し、したがって $\sum a_n$ は収束する（級数 の記事の定義のあとの注意：実部と虚部の級数がともに収束することと同値）。
不等式は、部分和について三角不等式から $\left|\sum_{n=1}^Na_n\right|\leq\sum_{n=1}^N|a_n|\leq\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ が成り立つので、$N\to\infty$ とすれば得られる（絶対値は極限と交換でき、$\leq$ は極限で保たれる。数列の極限 の記事の命題「絶対値と極限」「極限は大小関係を保つ」）。

1. $\sum|a_n|$ が収束すれば、$0\leq a_n^\pm\leq|a_n|$ なので、比較判定法（級数 の記事の定理「比較判定法」）により $\sum a_n^+$、$\sum a_n^-$ は収束する。逆に両方が収束すれば、$|a_n|=a_n^++a_n^-$ と線形性（級数 の記事の命題「級数の線形性」）により $\sum|a_n|$ は収束する。等式も $a_n=a_n^+-a_n^-$ と線形性による。
2. $\sum a_n$ が収束し、$\sum a_n^+$ が収束すると仮定する。$a_n^-=a_n^+-a_n$ なので線形性により $\sum a_n^-$ も収束し、1. により $\sum a_n$ は絶対収束することになって、条件収束の仮定に反する。$\sum a_n^-$ が収束すると仮定しても同様である。項が $0$ 以上の級数は収束しなければ $+\infty$ に発散する（級数 の記事の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）ので、結論を得る。

1. 正の項の級数 $\sum|a_n|$ に 級数 の記事の定理「比判定法」を使えば、$\sum|a_n|$ は収束する。
2. 十分大きい $N$ について、$n\geq N$ で $|a_{n+1}|>|a_n|$ なので $|a_n|\geq|a_N|>0$ となり、$a_n$ は $0$ に収束しない。級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」により $\sum a_n$ は発散する。

$s_n:=\sup_{k\geq n}\sqrt[k]{|a_k|}$ とおくと $(s_n)$ は単調減少で、$L=\lim s_n=\inf_ns_n$ である（上極限と下極限 の記事の定義）。

1. $L< r<1$ となる $r$ をとる。$\inf_ns_n< r$ なので、ある $N$ で $s_N< r$、すなわち $k\geq N$ のすべての $k$ で $\sqrt[k]{|a_k|}< r$、$|a_k|< r^k$ である。$\sum r^k$ は収束する等比級数なので、比較判定法により $\sum|a_k|$ は収束する。
2. すべての $n$ で $s_n\geq L>1$ なので、どの $n$ についても $\sqrt[k]{|a_k|}>1$、すなわち $|a_k|>1$ となる $k\geq n$ が存在する。したがって $|a_k|>1$ となる $k$ は無限個あり、$a_k$ は $0$ に収束しないので、級数は発散する。

$\varepsilon>0$ をとる。$\sum|a_n|$ が収束するので、尾部が $0$ に近づくこと（級数 の記事の命題「有限個の項と尾部」）により、ある $M$ で
$$ \left|\sum_{n=1}^{M}a_n-S\right|<\frac\varepsilon2,\qquad\sum_{n=M+1}^{\infty}|a_n|<\frac\varepsilon2 $$
となる。$\sigma$ は全射なので、$1,\dots,M$ のそれぞれは $\sigma(k)$ の形に書け、そのような $k$ の最大値を $K$ とすると $\{1,\dots,M\}\subset\{\sigma(1),\dots,\sigma(K)\}$ である。$N\geq K$ について、$\sigma$ は単射なので $\sigma(1),\dots,\sigma(N)$ は相異なり、そのうち $M$ 以下のものはちょうど $1,\dots,M$ である。したがって
$$ \sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-\sum_{n=1}^{M}a_n=\sum_{\substack{k\leq N\\ \sigma(k)>M}}a_{\sigma(k)} $$
であり、右辺は $M$ より大きい相異なる添字の項の有限和なので、絶対値は $\sum_{n=M+1}^\infty|a_n|<\varepsilon/2$ 以下である。よって $N\geq K$ で
$$ \left|\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-S\right|\leq\left|\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-\sum_{n=1}^{M}a_n\right|+\left|\sum_{n=1}^{M}a_n-S\right|<\varepsilon $$
となり、$\sum a_{\sigma(k)}=S$ である。絶対収束については、$\sum_{k=1}^N|a_{\sigma(k)}|$ は相異なる添字の $|a_n|$ の有限和なので $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ 以下であり、正項級数の部分和が上に有界なので収束する。

$a_n\geq0$ となる添字を小さい順に $p_1< p_2<\cdots$、$a_n<0$ となる添字を小さい順に $q_1< q_2<\cdots$ とする。prop-abs-positive-negative-parts により $\sum_na_n^+=+\infty$、$\sum_na_n^-=+\infty$ なので、どちらの添字も無限個あり、どの番号から先の $a_{p_i}$ の和も $+\infty$、$a_{q_i}$ の和も $-\infty$ に発散する（有限個の項を除いても発散は変わらない）。また $\sum a_n$ は収束するので $a_n\to0$ である（級数 の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」）。
$T_0:=0$ とし、$k=1,2,\dots$ について順に、$T_{k-1}\leq L$ ならば $p_1,p_2,\dots$ のうちまだ使っていない最小のものを $\sigma(k)$ とし、$T_{k-1}>L$ ならば $q_1,q_2,\dots$ のうちまだ使っていない最小のものを $\sigma(k)$ として、$T_k:=T_{k-1}+a_{\sigma(k)}$ とおく。
ある番号から先で $p$ の側だけが選ばれ続けると、その先ずっと $T_{k-1}\leq L$ だが、$T_k$ には $a_{p_i}$ の残りがすべて足されて $+\infty$ に発散するので矛盾する。$q$ の側だけが選ばれ続ける場合も同様である。したがって両方の側が無限回選ばれ、各側の添字は小さい順にすべて使われるので、$\sigma$ は全単射である。
$T_{k-1}\leq L< T_k$ または $T_{k-1}>L\geq T_k$ となる $k$ を「またぐ番号」と呼ぶ。側が切り替わるのは目標 $L$ をまたいだ直後だけで、切り替わりは無限回起こるので、またぐ番号は無限個ある。またぐ番号 $k$ では $|T_k-L|\leq|a_{\sigma(k)}|$ である。$k$ で上にまたいだ（$T_k>L$）とすると、次にまたぐまでは負の項が足されて $T$ は減り続け、$L$ より大きいままなので $L< T_m\leq T_k$ である。下にまたいだ場合も同様に $T_k\leq T_m\leq L$ である。したがって、最初にまたぐ番号より後の各 $m$ について、$m$ 以前の最後のまたぐ番号を $c(m)$ とすると
$$ |T_m-L|\leq|a_{\sigma(c(m))}| $$
である。$m\to\infty$ で $c(m)$ は無限に大きくなり、$\sigma$ は単射なので $\sigma(c(m))$ も無限に大きくなる（与えられた $M$ に対して $\sigma(c)\leq M$ となる $c$ は有限個）。$a_n\to0$ なので右辺は $0$ に収束し、$T_m\to L$ である。

1 ⇒ 2 は thm-abs-rearrangement である。2 を仮定する。$\sigma$ を恒等写像にとれば $\sum a_n$ 自身が収束し、和を $S$ とする。項が実数の場合、$\sum a_n$ が絶対収束しなければ条件収束し、thm-abs-riemann により和が $S+1$ の並べ替えがあって 2 に反する。項が複素数 $a_n=x_n+iy_n$ の場合、$|a_n|\leq|x_n|+|y_n|$ なので、$\sum a_n$ が絶対収束しなければ $\sum x_n$ か $\sum y_n$ の一方、たとえば $\sum x_n$ が絶対収束しない。$\sum x_n=\operatorname{Re}S$ は収束するので条件収束し、thm-abs-riemann により $\sum_kx_{\sigma(k)}=\operatorname{Re}S+1$ となる $\sigma$ がある。仮定より $\sum a_{\sigma(k)}=S$ なので、実部をとると $\sum x_{\sigma(k)}=\operatorname{Re}S$ となって矛盾する。

$\alpha:=\sum|a_i|$、$\beta:=\sum|b_j|$ とおく。$K$ を固定し、$I:=\max_{k\leq K}i_k$、$J:=\max_{k\leq K}j_k$ とすると、$(i_0,j_0),\dots,(i_K,j_K)$ は相異なるので
$$ \sum_{k=0}^{K}|a_{i_k}b_{j_k}|\leq\sum_{i=0}^{I}\sum_{j=0}^{J}|a_i||b_j|=\Bigl(\sum_{i=0}^{I}|a_i|\Bigr)\Bigl(\sum_{j=0}^{J}|b_j|\Bigr)\leq\alpha\beta $$
である。正項級数の部分和が上に有界なので、$\sum_k|a_{i_k}b_{j_k}|$ は収束する。
2 つの全単射 $\varphi,\psi$ から得られる級数は、互いに $\varphi^{-1}\circ\psi$ による並べ替えになっているので、thm-abs-rearrangement により和は等しい。そこで、$\psi$ として $\max\{i,j\}=0,1,2,\dots$ の組を順に（同じ $\max$ の組どうしは任意の順で）並べるものをとる。$\max\{i,j\}\leq n$ となる組 $(n+1)^2$ 個を並べ終えた時点の部分和は
$$ \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}a_ib_j=\Bigl(\sum_{i=0}^{n}a_i\Bigr)\Bigl(\sum_{j=0}^{n}b_j\Bigr) $$
であり、$n\to\infty$ で $AB$ に収束する（数列の極限 の記事の命題「極限の四則演算」）。収束する級数の部分和の列の部分列なので、級数の和は $AB$ である。

組 $(i,j)$ を $i+j=0,1,2,\dots$ の順に、同じ $i+j$ の中では $i$ の小さい順に並べる全単射をとると、thm-abs-product によりその級数は絶対収束して和は $AB$ である。$i+j=n$ の $n+1$ 項を括弧でまとめたものが $c_n$ なので、収束する級数を括弧でまとめても和は変わらないこと（級数 の記事の命題「項をまとめても和は変わらない」）により $\sum c_n=AB$ である。また $|c_n|\leq\sum_{i+j=n}|a_i||b_j|$ であり、右辺の級数は同じ理由で $\alpha\beta$ に収束するので、比較判定法により $\sum c_n$ は絶対収束する。