絶対収束

同義語：absolute convergence

概要

前提知識: 級数, 数列の極限, Cauchy列, 全単射

絶対収束とは、級数の各項の絶対値をとった級数が収束することである。絶対収束する級数は収束し、項の順序を並べ替えても和が変わらないので、有限個の数の和と同じ感覚で扱える。たとえば $1-\frac14+\frac19-\frac1{16}+\cdots$ は、絶対値の級数 $\sum 1/n^2$ が収束するので絶対収束する。

定義

交代調和級数
$$ 1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots=\log2=0.6931\ldots $$
は収束する（調和級数の記事の系「交代調和級数の和」）。同じ項を、正の項 1 つのあとに負の項 2 つ、という順に並べ替えて
$$ 1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots $$
とすると、どの項も 1 回ずつ現れるのに、和は $\frac12\log2=0.3465\ldots$ になる（ex-abs-half-log2）。有限個の数の和は足す順序によらないが、無限個の和では順序を変えると値が変わりうる。
この現象が起きるのは、項の絶対値の和 $1+\frac12+\frac13+\cdots$ が発散する（調和級数）からである。正の項だけの和も負の項だけの和も無限大であり、「正の項をどれだけ先に使うか」で途中の和をどちらにも寄せられる。これに対し、$1-\frac14+\frac19-\frac1{16}+\cdots$ のように絶対値の和 $\sum1/n^2$ が有限な級数では、どう並べ替えても和は変わらない（thm-abs-rearrangement）。絶対値の和が収束するという条件が、有限和と同じ感覚で級数を扱ってよいことの目印になる。

絶対収束と条件収束

実数または複素数を項とする級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ について、項の絶対値の級数 $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ が収束するとき、$\sum a_n$ は絶対収束する（converge absolutely）という。$\sum a_n$ は収束するが絶対収束しないとき、$\sum a_n$ は条件収束する（converge conditionally）という（条件収束）。

$\sum|a_n|$ は項が $0$ 以上の級数なので、絶対収束することは部分和 $\sum_{n=1}^N|a_n|$ が上に有界であることと同値である（級数の記事の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）。項がすべて $0$ 以上の級数では、収束と絶対収束は同じことである。絶対収束する級数が収束することは定理として示す（thm-abs-implies-convergence）。

直感

級数の和は、部分和の列の極限、すなわち「与えられた順序で足していった結果」として定義されている（級数）。絶対収束は、この順序への依存が消える条件である。項の絶対値の和が有限なら、十分先の項をすべて集めても合計の大きさは小さい。したがって、どの順序で足しても、有限個の「大きな項」を足し終えた時点で和はほぼ決まり、残りはどう並べても小さい誤差にしかならない。
条件収束する級数では、正の項の和と負の項の和がどちらも無限大で、その打ち消し合いのバランスで和が決まっている（prop-abs-positive-negative-parts）。並べ替えはこのバランスを自由に変えられるので、和は任意の値にできる（thm-abs-riemann）。

例と反例

絶対収束する級数

$|z|<1$ を満たす複素数 $z$ について、等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$ は絶対収束する。$\sum|z|^n$ が $0\leq|z|<1$ の等比級数だからである（級数の記事の定理「等比級数の和」）。
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ は、$\sum\frac1{n^2}$ が収束する（級数の記事の例「平方数の逆数の級数」）ので絶対収束する。
任意の複素数 $z$ について $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ は絶対収束する。$z\ne0$ なら $\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^n/n!}\right|=\frac{|z|}{n+1}\to0$ なので、thm-abs-ratio による（$z=0$ なら明らか）。この級数の和が指数関数 $e^z$ である（ex-abs-exponential）。
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}$ は、$\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\leq\frac1{n^2}$ なので比較判定法(級数) の定理「比較判定法」により絶対収束する。項の符号は不規則に変わるが、絶対収束は符号の並びに関係なく判定できる。

反例：条件収束する級数

交代調和級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n$ は Leibnizの判定法の定理「Leibnizの判定法」により収束するが、絶対値の級数 $\sum\frac1n$ は発散するので絶対収束しない。すなわち条件収束する。この級数は「収束する」を満たすが「絶対収束する」を満たさないので、「収束 $\Rightarrow$ 絶対収束」という含意は成り立たない。ほかの例は条件収束の例「条件収束する級数」にある。

性質

絶対収束する級数は収束する

絶対収束する級数の収束

絶対収束する級数 $\sum a_n$（項は実数または複素数）は収束し、
$$ \left|\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right|\leq\sum_{n=1}^{\infty}|a_n| $$
が成り立つ。

Cauchy判定と三角不等式

要点：実数の場合は、Cauchy 判定法と三角不等式 $|a_{n+1}+\cdots+a_m|\leq|a_{n+1}|+\cdots+|a_m|$ による。複素数の場合は実部と虚部に分ける。
まず項が実数の場合を示す。$\sum|a_n|$ は収束するので、Cauchy列の記事の系「級数の Cauchy判定法」により、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $N$ があり、$m>n\geq N$ なら $|a_{n+1}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon$ である。三角不等式により
$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m|\leq|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots+|a_m|<\varepsilon$$
なので、同じ判定法により $\sum a_n$ は収束する。
項が複素数 $a_n=x_n+iy_n$ の場合、$|x_n|\leq|a_n|$、$|y_n|\leq|a_n|$ なので、比較判定法(級数) の定理「比較判定法」により $\sum|x_n|$ と $\sum|y_n|$ は収束する。実数の場合により $\sum x_n$ と $\sum y_n$ は収束し、したがって $\sum a_n$ は収束する（級数の記事の定義のあとの注意：実部と虚部の級数がともに収束することと同値）。
不等式は、部分和について三角不等式から $\left|\sum_{n=1}^Na_n\right|\leq\sum_{n=1}^N|a_n|\leq\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ が成り立つので、$N\to\infty$ とすれば得られる（絶対値は極限と交換でき、$\leq$ は極限で保たれる。数列の極限の記事の命題「絶対値と極限」「極限は大小関係を保つ」）。

この定理は、実数の完備性（Cauchy列が収束すること。実数の連続性）を本質的に使っている。有理数の範囲では、$\sum|a_n|$ が有理数に収束しても $\sum a_n$ が有理数に収束するとは限らない。同じ議論は、実数・複素数の絶対値をノルムに替えた完備なノルム空間（Banach空間）でも通用し、そこでも $\sum\|v_n\|$ が収束すれば $\sum v_n$ は収束する（三角不等式の記事に証明の要点がある）。

正の部分と負の部分

実数 $a$ について $a^+:=\max\{a,0\}$、$a^-:=\max\{-a,0\}$ とおくと、$a^+,a^-\geq0$ であり
$$ a=a^+-a^-,\qquad|a|=a^++a^- $$
である。$a^+$ は $a$ が正のとき $a$ 自身、そうでなければ $0$ であり、級数 $\sum a_n^+$ は「$\sum a_n$ の正の項だけを足したもの」、$\sum a_n^-$ は「負の項の絶対値だけを足したもの」である。

正の部分と負の部分の級数

実数の級数 $\sum a_n$ について次が成り立つ。

$\sum a_n$ が絶対収束することと、$\sum a_n^+$ と $\sum a_n^-$ がともに収束することは同値であり、そのとき $\sum a_n=\sum a_n^+-\sum a_n^-$ である。
$\sum a_n$ が条件収束するならば、$\sum a_n^+=+\infty$ かつ $\sum a_n^-=+\infty$ である。

比較と線形性

$\sum|a_n|$ が収束すれば、$0\leq a_n^\pm\leq|a_n|$ なので、比較判定法（比較判定法(級数) の定理「比較判定法」）により $\sum a_n^+$、$\sum a_n^-$ は収束する。逆に両方が収束すれば、$|a_n|=a_n^++a_n^-$ と線形性（級数の記事の命題「級数の線形性」）により $\sum|a_n|$ は収束する。等式も $a_n=a_n^+-a_n^-$ と線形性による。
$\sum a_n$ が収束し、$\sum a_n^+$ が収束すると仮定する。$a_n^-=a_n^+-a_n$ なので線形性により $\sum a_n^-$ も収束し、1. により $\sum a_n$ は絶対収束することになって、条件収束の仮定に反する。$\sum a_n^-$ が収束すると仮定しても同様である。項が $0$ 以上の級数は収束しなければ $+\infty$ に発散する（級数の記事の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）ので、結論を得る。

交代調和級数では、$\sum a_n^+=1+\frac13+\frac15+\cdots$ と $\sum a_n^-=\frac12+\frac14+\frac16+\cdots$ がどちらも発散する。後者は調和級数の半分であり、前者は項ごとに後者以上である。
prop-abs-positive-negative-parts の 2 の逆向き（$\sum a_n$ が収束し、$\sum a_n^+=+\infty$ なら条件収束する）と、正の項の和と負の項の和の比が $1$ に近づくことは、条件収束の定理「条件収束の特徴づけ」にある。

絶対収束の判定法

絶対収束は項が $0$ 以上の級数 $\sum|a_n|$ の収束なので、級数の記事の正項級数の判定法がそのまま使える。特に比判定と根判定は、項の符号や複素数であることを気にせずに使える形になる。

比判定法（一般の項）

実数または複素数 $a_n$ がすべて $0$ でないとし、$r_n:=\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ とおく（上極限・下極限は $+\infty$ も許す。上極限と下極限）。

$\limsup_{n\to\infty}r_n<1$ ならば $\sum a_n$ は絶対収束する。
$\liminf_{n\to\infty}r_n>1$ ならば $\sum a_n$ は発散する。
特に $r_n$ が $L\in[0,+\infty]$ に収束するとき、$L<1$ ならば絶対収束し、$L>1$ ならば発散する。

等比数列で上下から押さえる

$\limsup r_n< q<1$ となる $q>0$ をとる。上極限の定義から、ある $N$ で $\sup_{n\geq N}r_n< q$、すなわち $n\geq N$ で $|a_{n+1}|\leq q|a_n|$ である。帰納法により $n\geq N$ で $|a_n|\leq|a_N|q^{n-N}$ であり、右辺の級数は公比 $q$ の等比級数なので収束する。比較判定法(級数) の定理「比較判定法」により $\sum|a_n|$ は収束する。
$1< q<\liminf r_n$ となる実数 $q$ をとる（$\liminf r_n=+\infty$ なら $q=2$ でよい）。下極限の定義から、ある $N$ で $n\geq N$ のとき $r_n\geq q>1$ なので、$|a_n|\geq|a_N|>0$ となり、$a_n$ は $0$ に収束しない。級数の記事の命題「収束する級数の項は0に近づく」により $\sum a_n$ は発散する。
$r_n\to L$ のときは $\limsup r_n=\liminf r_n=L$ なので、最後の主張は 1・2 から従う。$L=0$ は 1 に、$L=+\infty$ は 2 に含まれる。

$\liminf r_n\leq1\leq\limsup r_n$ のとき、thm-abs-ratio は何も結論しない。これは「その場合は収束する（発散する）」という意味ではなく、判定法が答えを出さないという意味であり、比が振動して判定できない級数には収束するものも発散するものもある。
もう一つの基本の判定法が Cauchyの根判定法である。$L:=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$（$+\infty$ も許す）とおくと、$L<1$ ならば $\sum a_n$ は絶対収束し、$L>1$ ならば発散する。$|a_n|$ を等比数列と比べる点は thm-abs-ratio と同じであり、$a_n$ がすべて $0$ でないとき、比 $r_n$ と $n$ 乗根のあいだには
$$ \liminf_{n\to\infty}r_n\leq\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty}r_n $$
が成り立つ。したがって比判定法で収束・発散がわかる級数は根判定法でもわかり、根判定法のほうが強い。証明と、比が振動して比判定法では決まらないが根判定法で決まる級数の例は、Cauchyの根判定法の定理「Cauchyの根判定法」と命題「比と $n$ 乗根の上極限・下極限」、例「比判定法では決まらないが根判定法で決まる級数」にある。
$\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=1$ のときはどちらの判定法も結論を出さない（$\sum1/n$ と $\sum1/n^2$。級数の記事の例「反例：比が1に近づく場合は判定できない」）。根判定法を冪級数 $\sum c_nz^n$ に適用すると、Cauchy–Hadamardの公式が得られる。

並べ替え

並べ替えとは、全単射 $\sigma\colon\{1,2,3,\dots\}\to\{1,2,3,\dots\}$ によって級数 $\sum_na_n$ から新しい級数 $\sum_ka_{\sigma(k)}$ を作ることである。$\sigma$ が全単射なので、もとの級数のどの項も、新しい級数にちょうど 1 回ずつ現れる。

絶対収束する級数の並べ替え

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が絶対収束し、和が $S$ であるとする。任意の全単射 $\sigma\colon\{1,2,\dots\}\to\{1,2,\dots\}$ について、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma(k)}$ も絶対収束し、和は $S$ である。

大きな項を先に使い切る

要点：和をよく近似する最初の $M$ 項と、絶対値の和が小さい尾部に分ける。並べ替えた級数も十分先まで足せば最初の $M$ 項をすべて含み、残りは尾部の項の有限和なので小さい。

詳しい証明を開く

$\varepsilon>0$ をとる。$\sum|a_n|$ が収束するので、尾部が $0$ に近づくこと（級数の記事の命題「有限個の項と尾部」）により、ある $M$ で

$$\left|\sum_{n=1}^{M}a_n-S\right|<\frac\varepsilon2,\qquad\sum_{n=M+1}^{\infty}|a_n|<\frac\varepsilon2$$

となる。$\sigma$ は全射なので、$1,\dots,M$ のそれぞれは $\sigma(k)$ の形に書け、そのような $k$ の最大値を $K$ とすると $\{1,\dots,M\}\subset\{\sigma(1),\dots,\sigma(K)\}$ である。$N\geq K$ について、$\sigma$ は単射なので $\sigma(1),\dots,\sigma(N)$ は相異なり、そのうち $M$ 以下のものはちょうど $1,\dots,M$ である。したがって

$$\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-\sum_{n=1}^{M}a_n=\sum_{\substack{k\leq N\\ \sigma(k)>M}}a_{\sigma(k)}$$

であり、右辺は $M$ より大きい相異なる添字の項の有限和なので、絶対値は $\sum_{n=M+1}^\infty|a_n|<\varepsilon/2$ 以下である。よって $N\geq K$ で

$$\left|\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-S\right|\leq\left|\sum_{k=1}^{N}a_{\sigma(k)}-\sum_{n=1}^{M}a_n\right|+\left|\sum_{n=1}^{M}a_n-S\right|<\varepsilon$$

となり、$\sum a_{\sigma(k)}=S$ である。絶対収束については、$\sum_{k=1}^N|a_{\sigma(k)}|$ は相異なる添字の $|a_n|$ の有限和なので $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ 以下であり、正項級数の部分和が上に有界なので収束する。

並べ替えると和が半分になる級数

冒頭の並べ替え
$$ 1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\cdots+\frac1{2j-1}-\frac1{4j-2}-\frac1{4j}+\cdots $$
の和が $\frac12\log2$ であることを示す。奇数 $2j-1$ はちょうど 1 回、偶数は $4j-2$ か $4j$ の形でちょうど 1 回現れるので、これは交代調和級数 $\sum(-1)^{n+1}/n$ の並べ替えである。第 $N$ 部分和を $T_N$、交代調和級数の第 $N$ 部分和を $S_N$ とする。3 項ずつまとめると
$$ \frac1{2j-1}-\frac1{4j-2}-\frac1{4j}=\frac1{4j-2}-\frac1{4j}=\frac12\Bigl(\frac1{2j-1}-\frac1{2j}\Bigr) $$
なので $T_{3k}=\frac12S_{2k}$ である。$S_{2k}\to\log2$（調和級数の記事の系「交代調和級数の和」）なので $T_{3k}\to\frac12\log2$ であり、$T_{3k+1}=T_{3k}+\frac1{2k+1}$、$T_{3k+2}=T_{3k+1}-\frac1{4k+2}$ も同じ極限に収束する。よって和は $\frac12\log2=0.3465\ldots$ である。たとえば $T_6=1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18=\frac7{24}=0.2916\ldots=\frac12S_4$ である。交代調和級数は絶対収束しないので、thm-abs-rearrangement の結論が破れている。

条件収束する級数の並べ替え

実数の級数 $\sum a_n$ が条件収束するならば、任意の実数 $L$ に対して、和が $L$ となる並べ替え $\sum a_{\sigma(k)}$ が存在する。

目標の上下を交互に行き来する

要点：部分和が目標 $L$ 以下なら正の項を、$L$ より大きければ負の項を、まだ使っていない最小の添字から足していく。prop-abs-positive-negative-parts により正の部分と負の部分の和はともに無限大なので、両側の項がすべて使われる。目標を越えたときの行き過ぎは最後にまたいだ項の大きさ以下で、項は $0$ に近づくので、部分和は $L$ に収束する。詳しい証明は、Riemannの再配列定理の定理「上極限と下極限を指定する並べ替え」で上極限と下極限をどちらも $L$ にした場合である（同じ記事の系「和・発散・振動の実現」の 1）。

この構成は、Leb Example 2.6.4 が交代調和級数について示している（目標 $1.2$ の場合の並べ方も載せている）。一般の条件収束級数については Exercise 2.6.3 としている。
$+\infty$ や $-\infty$ に発散させること、部分和の上極限・下極限を好きな値にすること、正の項だけを並べ替えて和を変えること、項の順序を保ったまま符号だけを選び直すことも Riemannの再配列定理の記事で扱う。複素数やベクトルの級数を並べ替えて得られる和の全体については Lévy–Steinitzの定理の記事で扱う。

並べ替えによらない和と絶対収束

実数または複素数の級数 $\sum a_n$ について、次の 2 条件は同値である。

$\sum a_n$ は絶対収束する。
すべての並べ替え $\sum a_{\sigma(k)}$ が収束し、その和がすべて等しい。

再配列定理の対偶

1 ⇒ 2 は thm-abs-rearrangement である。2 を仮定する。$\sigma$ を恒等写像にとれば $\sum a_n$ 自身が収束し、和を $S$ とする。項が実数の場合、$\sum a_n$ が絶対収束しなければ条件収束し、thm-abs-riemann により和が $S+1$ の並べ替えがあって 2 に反する。項が複素数 $a_n=x_n+iy_n$ の場合、$|a_n|\leq|x_n|+|y_n|$ なので、$\sum a_n$ が絶対収束しなければ $\sum x_n$ か $\sum y_n$ の一方、たとえば $\sum x_n$ が絶対収束しない。$\sum x_n=\operatorname{Re}S$ は収束するので条件収束し、thm-abs-riemann により $\sum_kx_{\sigma(k)}=\operatorname{Re}S+1$ となる $\sigma$ がある。仮定より $\sum a_{\sigma(k)}=S$ なので、実部をとると $\sum x_{\sigma(k)}=\operatorname{Re}S$ となって矛盾する。

並べ替えによらずに収束することを無条件収束という。この系は、実数・複素数の級数では無条件収束と絶対収束が一致することを示している。無条件収束の概念は、有限部分集合にわたる部分和のネットの収束（総和可能性）という形で一般の位相線形空間に拡張され、Banach 空間では並べ替えによる無条件収束と一致する。
和を変える並べ替えは、項を遠くまで動かさなければならない。どの項も動かす幅が一定の値以下の並べ替えでは、収束する級数の和は変わらない（条件収束の命題「動かす幅が有界な並べ替え」）。

級数の積

以下、添字を $0$ から始めるが、前節までの結果は添字をずらして同じように使える。2 つの級数 $\sum_{i\geq0}a_i$ と $\sum_{j\geq0}b_j$ の積を展開すると、すべての組 $(i,j)$ についての $a_ib_j$ の「和」が現れる。この和を 1 列に並べる方法は無数にあり、絶対収束していれば並べ方によらず積に等しい。

絶対収束する級数の積

$\sum_{i=0}^{\infty}a_i=A$、$\sum_{j=0}^{\infty}b_j=B$ がともに絶対収束するとする（項は実数または複素数）。$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ の元を 1 列に並べる任意の全単射 $\varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ について、$\varphi(k)=(i_k,j_k)$ とおくと、級数 $\sum_{k=0}^{\infty}a_{i_k}b_{j_k}$ は絶対収束し、その和は $AB$ である。

正方形の順に並べる

要点：積の項を並べた級数の部分和は $\sum|a_i|\cdot\sum|b_j|$ で押さえられるので絶対収束し、和は並べ方によらない。正方形 $\max\{i,j\}\leq n$ の順に並べると、部分和は 2 つの部分和の積になる。

詳しい証明を開く

$\alpha:=\sum|a_i|$、$\beta:=\sum|b_j|$ とおく。$K$ を固定し、$I:=\max_{k\leq K}i_k$、$J:=\max_{k\leq K}j_k$ とすると、$(i_0,j_0),\dots,(i_K,j_K)$ は相異なるので

$$\sum_{k=0}^{K}|a_{i_k}b_{j_k}|\leq\sum_{i=0}^{I}\sum_{j=0}^{J}|a_i||b_j|=\Bigl(\sum_{i=0}^{I}|a_i|\Bigr)\Bigl(\sum_{j=0}^{J}|b_j|\Bigr)\leq\alpha\beta$$

である。正項級数の部分和が上に有界なので、$\sum_k|a_{i_k}b_{j_k}|$ は収束する。

2 つの全単射 $\varphi,\psi$ から得られる級数は、互いに $\varphi^{-1}\circ\psi$ による並べ替えになっているので、thm-abs-rearrangement により和は等しい。そこで、$\psi$ として $\max\{i,j\}=0,1,2,\dots$ の組を順に（同じ $\max$ の組どうしは任意の順で）並べるものをとる。$\max\{i,j\}\leq n$ となる組 $(n+1)^2$ 個を並べ終えた時点の部分和は

$$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}a_ib_j=\Bigl(\sum_{i=0}^{n}a_i\Bigr)\Bigl(\sum_{j=0}^{n}b_j\Bigr)$$

であり、$n\to\infty$ で $AB$ に収束する（数列の極限の記事の命題「極限の四則演算」）。収束する級数の部分和の列の部分列なので、級数の和は $AB$ である。

Cauchy積の和

$\sum_{i\geq0}a_i=A$、$\sum_{j\geq0}b_j=B$ がともに絶対収束するならば、
$$ c_n:=\sum_{i=0}^{n}a_ib_{n-i}=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0 $$
で定まる級数 $\sum_{n=0}^{\infty}c_n$（Cauchy 積）は絶対収束し、和は $AB$ である。

対角線ごとにまとめる

組 $(i,j)$ を $i+j=0,1,2,\dots$ の順に、同じ $i+j$ の中では $i$ の小さい順に並べる全単射をとると、thm-abs-product によりその級数は絶対収束して和は $AB$ である。$i+j=n$ の $n+1$ 項を括弧でまとめたものが $c_n$ なので、収束する級数を括弧でまとめても和は変わらないこと（級数の記事の命題「項をまとめても和は変わらない」）により $\sum c_n=AB$ である。また $|c_n|\leq\sum_{i+j=n}|a_i||b_j|$ であり、右辺の級数は同じ理由で $\alpha\beta$ に収束するので、比較判定法により $\sum c_n$ は絶対収束する。

一方の級数だけが絶対収束し、他方は収束するだけでも、Cauchy 積は $AB$ に収束する（Mertens の定理。Leb Theorem 2.6.5、pp. 104–106 に証明がある）。両方が絶対収束する場合の thm-abs-product は、Möbiusの反転公式の記事で $\sum\mu(d)/d^2$ と $\sum1/m^2$ の積を計算するときなど、数論の級数の計算でも使われる。

指数法則

複素数 $z$ について $E(z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$ とおく（ex-abs-examples の 3 により絶対収束する）。$E(z)$ と $E(w)$ の Cauchy 積の第 $n$ 項は、二項定理により
$$ c_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{z^i}{i!}\cdot\frac{w^{n-i}}{(n-i)!}=\frac1{n!}\sum_{i=0}^{n}\binom niz^iw^{n-i}=\frac{(z+w)^n}{n!} $$
なので、cor-abs-cauchy-product により $E(z)E(w)=E(z+w)$ である。これが指数関数の指数法則 $e^ze^w=e^{z+w}$ の級数による証明である。

反例：条件収束する級数どうしのCauchy積

$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$（$n\geq0$）とする。$\sum a_n$ は Leibniz の判定法により収束するが、$\sum\frac1{\sqrt{n+1}}$ は発散するので条件収束する。Cauchy 積の項は
$$ c_n=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{\sqrt{i+1}}\cdot\frac{(-1)^{n-i}}{\sqrt{n-i+1}}=(-1)^n\sum_{i=0}^{n}\frac1{\sqrt{(i+1)(n-i+1)}} $$
であり、$0\leq i\leq n$ で $(i+1)(n-i+1)\leq(n+1)^2$ なので、和の $n+1$ 個の項はどれも $\frac1{n+1}$ 以上で、$|c_n|\geq1$ である。項が $0$ に近づかないので $\sum c_n$ は発散する。したがって cor-abs-cauchy-product の「絶対収束」の仮定を「収束」に弱めると結論は破れる（Leb Example 2.6.6、p. 106）。数値では $|c_0|=1$、$|c_1|=1.414\ldots$、$|c_2|=1.654\ldots$、$|c_{10}|=2.293\ldots$ と、むしろ増えていく。

補足

絶対収束と冪級数

冪級数 $\sum c_n(z-a)^n$ は、収束半径 $R$ の内側 $|z-a|< R$ で絶対収束し、外側で発散する（収束半径の記事の定理「収束半径の存在と一意性」）。したがって収束円の内側では、冪級数どうしの積を Cauchy 積で計算してよく、項を並べ替えてもよい。収束円の周上では、絶対収束する場合、条件収束する場合、発散する場合のいずれも起こる（$\sum z^n/n^2$、$\sum z^n/n$ の $z=-1$、$\sum z^n$）。

積分との類似

絶対収束の考え方は広義積分にもある。$\int_1^\infty\frac{\sin x}x\,dx$ は収束するが $\int_1^\infty\left|\frac{\sin x}x\right|dx$ は発散し、条件収束する級数と同じ性格をもつ（Leb Example 5.5.12、pp. 220–222 は、$\frac{\sin x}x$ の広義積分を交代調和級数の、その絶対値の積分を調和級数の類似として説明している）。Lebesgue積分では、絶対値が可積分であることを可積分性の定義にするので、条件収束に当たるものは積分とみなさない。

出典

絶対収束と条件収束の定義は Leb Definition 2.5.14（p. 92）、絶対収束する級数の収束は Proposition 2.5.15（p. 92）、比判定は Proposition 2.5.19（p. 96）、根判定は Proposition 2.6.1（p. 100）、並べ替えは Proposition 2.6.3（pp. 102–103）、交代調和級数の並べ替えは Example 2.6.4（pp. 103–104）、Cauchy 積は Theorem 2.6.5（p. 104）と Exercise 2.6.2（p. 110、両方が絶対収束すれば Cauchy 積も絶対収束する）、一般の条件収束級数の再配列は Exercise 2.6.3（p. 110）にある。Ham は絶対収束判定を §13.8 の演習 4（p. 268）として挙げている。