エタール代数
概要
エタール代数（étale algebra）とは、有限表示な $A$ 代数 $B$ で、任意の $A$ 代数 $C$、冪零イデアル $N\subset C$ と $A$ 代数写像 $B\to C/N$ に対し、それを持ち上げる $B\to C$ がただ一つ存在するものである。$P=A[X_1,\ldots,X_n]$ の商 $B=P/I$ では、余法線写像 $I/I^2\to B^n$ が同型であることと同値で、各素イデアルの近傍で Jacobi 行列式が可逆な正方形の表示を持つ。任意の可換環上でエタール代数は平坦で、$\Omega_{B/A}=0$ となる。一元の局所化や有限分離体拡大が例であり、純非分離拡大はエタールでない。
エタール代数は、有限個の生成元と有限個の関係で記述され、冪零の誤差を持つ環への写像がただ一つ持ち上がる代数である。多項式の単根を添加する操作が基本例となる。関係式の微分が可逆であれば、平方零誤差を一次補正で完全に消せる。この計算は基礎環が体であることや Noether であることを必要としない。
「有限表示」と「有限」は異なる。局所化 $A[1/a]$ は有限表示のエタール代数であるが、一般に有限 $A$ 加群ではない。一方、形式的エタール性は有限表示を仮定しない持上げ条件であり、無限分離代数拡大にも成立する。この二つを区別することが、エタール代数の定義を理解する上で重要である。本記事は有限表示を伴う離散環の代数を扱い、全ての環は可換単位環、写像は単位元を保つものとする。MatCRT §28。
定義と有限表示
$A$ 代数 $B$ が有限表示であるとは、有限個の変数と有限個の多項式により
$$B\cong A[X_1,\ldots,X_n]/(f_1,\ldots,f_m)$$
と表されることである。$B$ が有限 $A$ 加群であるとは別の条件である。
$A$ 代数 $B$ がエタールであるとは、有限表示であり、任意の $A$ 代数 $C$、冪零イデアル $N\subset C$、$A$ 代数写像 $u:B\to C/N$ に対して、$u$ を持ち上げる $A$ 代数写像 $B\to C$ がちょうど一つ存在することである。有限表示を要求せず後半だけを要求する性質が形式的エタール性である。
これは有限表示の形式的エタール性による定義である。本記事では持上げと局所 Jacobi 表示の同値を証明し、さらに thm-etale-flat-and-omega で平坦性と相対微分の消滅を証明する。平坦性と不分岐性からの一般逆方向や、幾何的正則性との一般比較は別の定理である。
冪零とは、各元が冪零というだけでなく、ある共通の有限整数 $r$ で $N^r=0$ となることである。試験環 $C$ や $N$ に Noether 性や有限生成性は課さない。零代数 $B=0$ もエタールである。有限表示は $A/(1)$ で与えられ、$C/N=0$ なら $1\in N$ と冪零性から $C=0$ となって唯一の持上げが存在する。
冪零持上げの存在と一意性は平方零イデアルだけを試験すればよい。また冪零商で単元となる元は元の環でも単元である。
$N^r=0$ とすると $C/N^{i+1}\to C/N^i$ の核 $N^i/N^{i+1}$ の二乗は零である。$2i\ge i+1$ だからである。平方零の場合の唯一の持上げを $i=1,\ldots,r-1$ について有限回続けると $C$ への持上げが得られる。二つの持上げが最初の商で一致すれば、同じ有限帰納により各段で一致する。
$c$ の商での逆元を $d$ に持ち上げると $cd=1+z$、$z\in N$ である。有限和 $\sum_{i=0}^{r-1}(-z)^i$ は $1+z$ の逆元で、$d\sum_i(-z)^i$ が $c$ の逆元となる。
標準表示の直接計算
$P=A[X_1,\ldots,X_n]$、$f_1,\ldots,f_n\in P$ とし、$h\in P$ に対し
$$B=P_h/(f_1,\ldots,f_n)$$
とする。行列 $J=(\partial f_i/\partial X_j)$ の行列式が $B$ で単元なら、$B$ はエタール $A$ 代数である。
有限表示は、逆元を表す一変数 $Y$ と関係 $hY-1$ を加えることで得られる。平方零 $N\subset C$ と $u:B\to C/N$ を取り、変数像の持上げを $c=(c_1,\ldots,c_n)$ とする。$f_i(c)\in N$ で、$h(c)$ と $\det J(c)$ は商で単元だから $C$ でも単元である。随伴行列の公式により $J(c)$ は可逆である。
$\nu=-J(c)^{-1}(f_i(c))_i\in N^n$ とおく。多項式の各単項式を展開すると、二つ以上の $\nu$ を含む項は $N^2=0$ により消え、
$$f_i(c+\nu)=f_i(c)+\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial X_j}(c)\nu_j=0$$
となる。$h(c+\nu)$ は同じ商で単元なので、$X_j\mapsto c_j+\nu_j$ は局所化した商 $B$ から $C$ への持上げを定める。
二つの持上げの像 $c',c''$ の差 $\mu\in N^n$ は $J(c')\mu=0$ を満たす。可逆性から $\mu=0$ で、変数像が一致する。局所化への写像は逆元像まで一意なので写像全体も一致する。一般の冪零試験は前補題で扱う。$n=0$ なら空行列式は1で、$B=A_h$ の主張となる。
一変数では $f'(X)$ が商で単元となる条件である。$f$ がモニックなら $A[X]/(f)$ は $1,X,\ldots,X^{d-1}$ を基底とする有限自由加群である。モニック除法により全多項式を次数 $d$ 未満に還元でき、次数 $d$ 未満の非零多項式はモニックな $f$ の倍数ではないから独立性も従う。ただしその局所化は有限加群とは限らない。例えば $f=X$、$h=2$、$A=\mathbf Z$ なら商の局所化は $\mathbf Z[1/2]$ である。有限個の有理数の整数線形結合には共通の有限分母があるが $1/2^n$ の全てを含められず、有限整数加群でない。
$A\to A$ は唯一の構造写像の持上げしか持たないのでエタールである。$A\to A[1/a]$ もエタールである。有限表示 $A[Y]/(aY-1)$ を持ち、商で可逆な $a$ は元の試験環でも可逆となるから、その逆元像を選ぶ写像はただ一つである。
体 $k$ に対し $f\in k[X]$ が重根を持たなければ、互除法で $uf+vf'=1$ と書け、商 $k[X]/(f)$ で $f'$ は単元となる。従ってこれは有限エタール代数である。特に有限分離単純拡大が例となる。
任意の有限表示から局所表示を作る
局所標準表示を、任意の代数が最初から一変数の単根添加であるという仮定と混同してはいけない。有限表示から余法線写像を取り、その同型性を使って各点近傍で正方形 Jacobi 行列を作る。
有限表示 $B=P/I$、$P=A[X_1,\ldots,X_n]$ について、写像
$$\delta:I/I^2\longrightarrow B^n,\qquad \bar f\longmapsto\left(\overline{\partial f/\partial X_j}\right)_j$$
が同型であることと、$B$ がエタール $A$ 代数であることは同値である。
$T=I/I^2$、$F=B^n$ とおく。$A$ 導分 $P\to M$ は $X_j$ の値を任意に指定することと同じで、$B$ 線形写像 $F\to M$ に対応する。積則による単項式の微分計算から、任意の導分は $D(f)=\sum_j(\partial f/\partial X_j)D(X_j)$ を満たす。$I$ を零にする条件は対応写像が $\delta(T)$ を零にすることなので、$\Omega_{B/A}$ は $F/\delta(T)$ に同型である。これが必要な余法線列の右完全性を直接与える。
エタールなら平方零商 $P/I^2\to B$ の恒等写像を持ち上げる切断 $s:B\to P/I^2$ がある。$D(p)=p\bmod I^2-s(\bar p)$ は $T$ に値を取る。積を展開すると $D(pq)=\bar pD(q)+\bar qD(p)$ なので導分であり、$f\in I$ に対して $D(f)=\bar f$ である。従って対応写像 $r:F\to T$ は $r\delta=1_T$ を満たし、$\delta$ は単射である。
一意性は $\Omega_{B/A}=0$ を意味する。実際、任意の $B$ 加群 $M$ に平方零環 $B\oplus M$ を積 $(b,x)(c,y)=(bc,by+cx)$ で入れる。導分 $d:B\to M$ は $b\mapsto(b,d(b))$ という恒等写像の持上げを与え、零導分と同じ商写像を持つので一意性から $d=0$ となる。普遍導分を $M=\Omega_{B/A}$ に取ると全生成元 $db$ が零となり、微分加群は零である。よって $\delta$ は全射でもある。
逆に $\delta$ が同型とする。平方零試験 $u:B\to C/N$ に対し、変数像を選んで持ち上げた $v:P\to C$ を取る。$v(I)\subset N$、$v(I^2)=0$ なので、$v$ は $B$ 線形写像 $q:T\to N$ を定める。$N$ の $B$ 作用は $u$ を通じて定義される。$q\delta^{-1}:F\to N$ に対応する導分 $D:P\to N$ を取り、$v'=v-D$ とする。$N^2=0$ と積則より $v'$ は $A$ 代数写像であり、$f\in I$ について $D(f)=q(\bar f)=v(f)$ だから $v'(I)=0$。よって $B$ への写像に降り、持上げが存在する。
二つの持上げの差は同じ積の展開により $A$ 導分 $B\to N$ である。その導分は $F/\delta(T)=0$ を経由するので零、従って一意である。一般冪零試験は有限反復で扱う。
有限表示エタール代数 $B=P/I$ の各素イデアル $\mathfrak q$ に対し、$h\in P$ で $\bar h\notin\mathfrak q$ と、$f_1,\ldots,f_n\in I$ が存在して
$$B_{\bar h}=P_h/(f_1,\ldots,f_n)$$
となり、$\det(\partial f_i/\partial X_j)$ がその環で単元となる。逆に有限表示代数がこのような近傍を全点で持てばエタールである。
$\delta:T\to F$ は前定理で同型である。$\mathfrak p\subset P$ を $\mathfrak q$ の逆像とする。$T_{\mathfrak q}\cong B_{\mathfrak q}^n$ の基底を $f_i$ の剰余で選べる。局所化した基底を選んだ場合も分母を単元倍して $I$ の実際の元で表せる。従って Jacobi 行列式 $\Delta$ は $\mathfrak q$ に入らない。
基底の生成性より、$P_{\mathfrak p}$ で $I_{\mathfrak p}=(f_1,\ldots,f_n)+I_{\mathfrak p}^2$ である。有限生成加群 $Q=I_{\mathfrak p}/(f_1,\ldots,f_n)$ は $Q=I_{\mathfrak p}Q$ を満たす。$I_{\mathfrak p}$ は局所環の極大イデアルに含まれるので $Q=0$ である。必要な Nakayama 計算は次の通りである。有限生成元 $z_i$ の関係 $z_i=\sum_j a_{ij}z_j$、$a_{ij}$ が極大イデアルに入るとき、随伴行列を掛ければ $\det(1-(a_{ij}))$ が全生成元を殺す。行列式は極大イデアルを法として1なので単元であり、全生成元は零となる。
$Q_0=I/(f_1,\ldots,f_n)$ も有限生成である。$\mathfrak p$ で各生成元が零になるため、それぞれを殺す $s_i\notin\mathfrak p$ を選び、その積 $s$ を取ると $(Q_0)_s=0$ となる。$\Delta$ の多項式代表 $d\notin\mathfrak p$ を取り $h=sd$ とすれば、必要な表示と行列式の可逆性が同時に得られる。
逆方向を確認する。余法線写像 $\delta$ を同じ有限表示から作る。各近傍 $B_b$ が形式的エタールなら、平方零商 $(P/I^2)_g\to B_b$（$g$ は $b$ の代表）は唯一の切断を持ち、先の導分計算から $\delta_b$ は分裂単射となる。局所化した多項式環の導分は変数像で決まり、逆元では $D(g^{-1})=-g^{-2}D(g)$ と計算する。従って自由加群はやはり $B_b^n$ である。一意性からその微分商も零なので $\delta_b$ は同型である。
近傍は全素点を覆うので $\ker\delta$ と $\operatorname{coker}\delta$ は全極大イデアルで局所化すると零になる。局所化は完全である。分数 $x/s$ の像が零ならある分母外の元が分子像を殺すため、単射と像・核が保たれることから分かる。また非零加群の元 $x$ は、真イデアル $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大イデアルで非零に残る。従って全局所化が零なら加群は零である。これを核・余核に適用すると $\delta$ は大域でも同型となり、前定理から $B$ はエタールである。零代数では素点はなく、$T=F=0$ なので同じ結論となる。
平坦性と相対微分の消滅
任意の可換環 $A$ に対し、エタール $A$ 代数 $B$ は $A$ 上平坦であり、$\Omega_{B/A}=0$ である。基礎環の Noether 性、$B$ の有限 $A$ 加群性、体の完全性は仮定しない。
$B=0$ ならテンソル積も相対微分も零であり、結論は成立する。以下 $B\ne0$ とする。thm-etale-local-square-presentation により各素点近傍 $B_b$ は可逆な正方形 Jacobi 行列を持つ標準表示である。各 $B_b$ は局所化を許した標準 Jacobi 表示（関係式の個数と変数の個数が等しい場合）なので、標準滑らかな代数 の命題「局所化を許した表示」により $A$ 上標準滑らかであり、標準滑らかな代数 の定理「標準滑らかな代数は平坦」により $A$ 上平坦である。
任意の $A$ 加群単射 $U\to V$ を取り、$U\otimes_AB\to V\otimes_AB$ の核を $K$ とする。局所化の完全性とテンソル結合の両写像から、各近傍で $K_b$ は $U\otimes_AB_b\to V\otimes_AB_b$ の核であり零である。非零 $z\in K$ があれば、真イデアル $\operatorname{Ann}_B(z)$ を含む極大イデアルで $z$ は非零に残る。その点を含む上の近傍でも非零に残るので矛盾する。従って $K=0$ で、全任意加群の単射を保つことから $B$ は平坦である。核 $K$ の有限生成性は使っていない。
相対微分の消滅は、平方零環 $B\oplus\Omega_{B/A}$ への持上げ $b\mapsto(b,db)$ と $b\mapsto(b,0)$ の一意性から全 $db=0$ としても直接得られる。微分加群はこれらの元で生成されるので $\Omega_{B/A}=0$。
平方零持上げの一意性から相対微分が零になる計算は thm-etale-conormal-isomorphism の証明にも含まれている。上の定理の有限表示の仮定は、次の例が示すように、有限型に弱めることはできない。
有限表示の仮定を有限型や有限生成加群性だけへ弱めることはできない。
体 $k$ に対し $V_n=k[\![t^{1/n!}]\!]$ と置き、$V_n\to V_{n+1}$ を $t^{1/n!}\mapsto(t^{1/(n+1)!})^{n+1}$ で定める。この写像は異なる指数の係数を異なる指数へ送るので単射である。これらを包含と見て $V=\bigcup_{n\ge1}V_n$ とする。有限個の元は共通の一段に入り、そこで和と積を計算できるので $V$ は整域である。
非零元の最低指数を $v(f)\in\mathbf Q_{\ge0}$ とすると、$v(fg)=v(f)+v(g)$、$v(f+g)\ge\min(v(f),v(g))$（和が非零の場合）である。定数項が非零なら同じ一段で級数逆元を持つ。一方定数項零の元は逆元を持たない。従って定数項零の元のイデアル $\mathfrak m$ は唯一の極大イデアルで、$V/\mathfrak m\cong k$ である。
$f\in\mathfrak m$、$q=v(f)>0$ とする。十分大きい段では $q/2$ が許される指数なので
$$f=t^{q/2}(t^{-q/2}f)$$
と書け、両因子とも最低指数 $q/2>0$ だから $\mathfrak m$ に入る。零元は自明であり、従って $\mathfrak m=\mathfrak m^2$、さらに全 $r\ge1$ で $\mathfrak m=\mathfrak m^r$。有限個の非零生成候補の最低指数の最小を $\delta>0$ とすると、その $V$ 線型結合の最低指数は $\delta$ 以上である。しかし $t^{\delta/2}\in\mathfrak m$ はそのイデアルに入らない。従って $\mathfrak m$ は有限生成でない。
任意の $V$ 代数 $C$、$N^r=0$ を満たすイデアル $N$、$V$ 代数射 $k\to C/N$ を取る。この射の存在から $\mathfrak mC\subset N$ であり、$\mathfrak m=\mathfrak m^r$ により
$$\mathfrak mC=(\mathfrak mC)^r\subset N^r=0.$$
従って $C$ の構造射は $k=V/\mathfrak m$ を経由する。この経由写像は唯一で、与えられた商への射へ還元するので、$V\to k$ は形式的エタールである。
非零 $t$ による $V\xrightarrow{t}V$ は単射だが、$k$ をテンソルすると非零 $k$ 上の零写像となる。従って $k$ は $V$ 上平坦でない。$k$ は $V$ 加群として1で生成され、$V$ 代数としては生成元零個の有限型である。
もし $k\cong V[X_1,\ldots,X_s]/(f_1,\ldots,f_l)$ という有限表示があれば、各 $X_i$ の $k$ 像を $a_i\in V$ で持ち上げ、評価 $\operatorname{ev}:X_i\mapsto a_i$ を取る。各 $\operatorname{ev}(f_j)$ は $\mathfrak m$ に入る。任意 $a\in\mathfrak m$ はこの表示の核に入り $a=\sum h_jf_j$ と書けるので、評価後に $a=\sum\operatorname{ev}(h_j)\operatorname{ev}(f_j)$。これは $\mathfrak m$ の有限生成性に矛盾する。従って有限表示ではない。
底変換・合成・局所化
エタール代数は任意の底変換と合成で保存される。また $B$ がエタール $A$ 代数なら、一つの元を反転した $B_b$ もエタールである。
$A\to A'$ に対する底変換 $B'=B\otimes_A A'$ は、有限表示の係数を $A'$ へ移した表示を持つ。$A'$ 代数の試験写像 $B'\to C/N$ は $A$ 代数写像 $B\to C/N$ に対応する。その唯一の持上げ $v$ から $b\otimes a'\mapsto v(b)a'$ を定めれば、釣合い関係により唯一の $A'$ 代数持上げが得られる。底変換に平坦性は要求しない。
合成 $A\to B\to D$ では、まず試験写像 $D\to C/N$ を $B$ に制限し持ち上げ、それを使って $C$ に $B$ 代数構造を入れる。この構造のもとで $D$ の写像をただ一つ持ち上げる。二つの候補は $B$ でまず一致し、その共通構造のもとで $D$ でも一致する。有限表示も合成で保存される。$B$ の有限生成元、$D$ の $B$ 上の有限生成元を一緒に変数とし、$D$ の有限関係の係数を $B$ の変数で表した多項式に置き換えて、$B$ の有限関係も加えればよい。
局所化について、商で単元となる $b$ の像は $C$ でも単元なので、$B$ の持上げはただ一つ $B_b$ に延長する。有限表示は逆元変数 $Y$ と関係 $bY-1$ を加えて得る。任意積閉集合による局所化は形式的エタールではあるが、有限表示とは限らないので、無条件にエタールと呼ぶことはできない。
$e^2=e\in A$ なら $A/(e)$ はエタール $A$ 代数である。
有限表示は一関係 $(e)$ で与えられる。試験写像 $A/(e)\to C/N$ があると、$e$ の $C$ での像は冪等かつ $N$ に属する。冪零イデアル内の冪等元は零である。$e=e^r$ を冪零指数以上まで反復すれば零となるからである。よって構造写像 $A\to C$ は $A/(e)$ をただ一つ経由し、これが必要な持上げである。
体上の例と失敗
有限分離体拡大 $L/k$ はエタール $k$ 代数である。
有限個の元 $a_1,\ldots,a_r$ で生成し、$k_i=k(a_1,\ldots,a_i)$ の塔を取る。各段の最小多項式 $f_i$ は、基礎体上の分離的最小多項式を割るので分離的である。互除法による $u_if_i+v_if_i'=1$ を商で評価すると $f_i'(a_i)$ は単元となる。各 $k_i=k_{i-1}[X]/(f_i)$ は前の正方形判定の一変数の場合でエタールである。合成の保存則から結論となる。原始元を一つ選ぶこともできるが、この証明には原始元定理を前提としない。
素数 $p$、$k=\mathbf F_p(s)$、$L=k(a)$、$a^p=s$ とする。$s$ が $k$ の $p$ 乗でないことは、有理関数の分子・分母の $s$ の指数を比較すると左辺の指数1に対し $p$ の倍数となって矛盾することから分かる。$X^p-s$ の既約性も確認する。代数閉包では $(X-a)^p$ なので、もし次数 $0< d< p$ のモニック約元が $k[X]$ にあれば $(X-a)^d$ となる。その $X^{d-1}$ の係数 $-da$ は $k$ に属し、$d$ が標数で非零なので $a\in k$ となって矛盾する。従って $L=k[X]/(X^p-s)$ である。
$C=L[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ の商 $C/(\varepsilon)=L$ への恒等写像は、$a\mapsto a$ と $a\mapsto a+\varepsilon$ による二つの異なる持上げを持つ。標数 $p$ で $(a+\varepsilon)^p=s$ だから両写像は関係を保つ。ゆえにこの有限表示の体代数はエタールでない。
$\mathbf Z\to\mathbf F_p$ への代数写像は、存在すれば構造写像から一意に決まるので一意性を満たす。しかし $C=\mathbf Z/p^2\mathbf Z$、$N=pC$ の商への恒等写像を持ち上げると、定義域で零である $p\cdot1$ の像が $C$ で非零となって矛盾する。従って有限表示と一意性だけでもエタール性は得られない。
$L=\overline{\mathbf F_p}$ を有限体の代数閉包とする。各元は有限体に入り、その体の全元を根とする $X^{p^r}-X$ の微分は $-1$ なので分離的である。$L$ は有限部分拡大の有向合併であり、任意の試験写像を各有限部分拡大に制限して唯一に持ち上げると、一意性により制限が互いに整合し、合併で $L$ の唯一の持上げを与える。したがって $L$ は形式的エタールである。
しかし $L$ は有限型ですらない。有限個の代数的生成元は、それぞれ有限次拡大を作り、その合成体も有限次なので有限体に入る。一方代数閉体は有限体でない。有限体 $F$ が代数閉なら $\prod_{a\in F}(X-a)-1$ が $F$ 内に根を持つはずだが、各 $a\in F$ で値は $-1$ であり矛盾する。従って $L$ は有限表示ではなく、エタール代数の定義の有限表示条件を落とせない。
一般論との関係
正方形の Jacobi 行列は、平方零誤差の未知数と方程式を同数にして一意に解く条件である。関係が変数より少ない標準滑らかな表示では、残りの変数の誤差を自由に選べるため、一般に一意性は失われる。また相対微分の消滅は差の導分を零にするが、関係式を解いて持ち上げる存在を単独では保証しない。この二つを同時に表すのが、有限表示における余法線写像の同型性である。
エタール代数の平坦性と相対微分の消滅は thm-etale-flat-and-omega で証明した。一方、有限エタール代数の一般的な分類、平坦性と不分岐性からの一般逆方向、一般下降、位相環の連続持上げ条件は別の理論である。体上の有限分離拡大の例や、モニック関係の有限自由性から、それら一般命題を仮定なしで推論してはいけない。局所化を伴う表示は有限表示であっても有限加群でない場合があることにも注意する必要がある。
関連項目
参考文献
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