ベクトル束の安定域
概要
ベクトル束の安定域（stable range of vector bundles）とは、底空間の次元に比べて階数が大きいとき、自明な直線束を足す安定化 $\xi\mapsto\xi\oplus\varepsilon^1$ が同型類の集合の間の全単射になる範囲である。$d$ 次元 CW 複体の上で、階数 $k$ から $k+1$ への安定化は $d\le c(k+1)-1$ なら全射、$d\le c(k+1)-2$ なら単射である（実なら $c=1$、複素なら $c=2$）。同じ胞体ごとの議論から、有限次元の Grassmann 多様体 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^{k+m})$ への写像による分類が $d\le c(m+1)-2$ で成り立ち、補束の存在と打ち消しが従う。
前提知識: ベクトル束, ベクトル束の分類定理, CW複体, Stiefel多様体
ベクトル束 $\xi$ に自明な直線束 $\varepsilon^1$ を足して $\xi\oplus\varepsilon^1$ を作る操作を安定化という。安定化は一般には情報を失う。2 次元球面の接束 $TS^2$ は $TS^2\oplus\varepsilon^1\cong\varepsilon^3$ を満たすが、$TS^2$ 自身は自明でない。逆に、階数 $2$ の束 $TS^2$ は「直線束 $\oplus\,\varepsilon^1$」の形に書けない。ところが底空間が CW 複体で、その次元に比べて階数が十分大きければ、安定化は同型類の集合の間の全単射になる。この範囲をベクトル束の安定域（stable range of vector bundles）という。
安定域は障害理論の最も簡単な形から従う。束の $0$ でない切断を胞体ごとに作るとき、$m$ 胞体の上で問題になるのはファイバーから原点を除いた空間の $(m-1)$ 次のホモトピー群で、階数が大きければそれは消える。同じ議論から、有限次元の Grassmann 多様体でベクトル束を分類できる範囲もわかる。この記事では次のことを示す。
| 問い | 答え（$X$ は $d$ 次元 CW 複体、$c=\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{K}$） |
|---|---|
| 階数 $k+1$ の束から $\varepsilon^1$ を分けられるか | $d\le c(k+1)-1$ なら分けられる（thm-srv-main の 1） |
| 階数 $k$ の束について $\xi\oplus\varepsilon^1\cong\xi'\oplus\varepsilon^1$ から $\xi\cong\xi'$ が従うか | $d\le c(k+1)-2$ なら従う（同 2） |
| $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^{k+m})$ への写像で分類できるか | $d\le c(m+1)-1$ なら全射、$d\le c(m+1)-2$ なら全単射（thm-srv-grassmann） |
| 範囲の境目で何が起こるか | $S^2$ の接束が両方の不等式の境目の例（ex-srv-sphere） |
記号と規約は ベクトル束の分類定理 にそろえる。$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、$c:=\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{K}$（$1$ または $2$）とおく。ベクトル束は位相空間の上の連続な $\mathbb{K}$ ベクトル束で、階数は一定とする。$\varepsilon^n:=X\times\mathbb{K}^n$ を自明束、$\operatorname{Vect}^k(X)$ を $X$ 上の階数 $k$ の束の同型類の集合、$[X,Y]$ を連続写像のホモトピー類の集合と書く。$d$ 次元 CW 複体とは、$d$ 次元以下の胞体だけからなる CW 複体（$X=X^d$）のことで、胞体の個数は有限でなくてよい。$N\ge k$ について $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ は Grassmann多様体 の記事の位相をもつ $\mathbb{K}^N$ の $k$ 次元部分空間の空間、$\gamma_{k,N}:=\{(W,v)\mid v\in W\}$ はその上のトートロジー束（同記事の命題「トートロジー束」）である。
定義
$X$ を位相空間、$k\ge0$ とする。
$$
\sigma_k\colon\operatorname{Vect}^k(X)\to\operatorname{Vect}^{k+1}(X),\qquad[\xi]\mapsto[\xi\oplus\varepsilon^1]
$$
を安定化写像という。$X$ 上の束 $\xi,\eta$（階数は違ってよい）は、ある $a,b\ge0$ について $\xi\oplus\varepsilon^a\cong\eta\oplus\varepsilon^b$ となるとき安定同型であるという。どの $d$ 次元 CW 複体の上でも $\sigma_k$ が全単射になる $(d,k)$ の範囲を、ベクトル束の安定域という。
同型な束に同じ束を足したものは同型なので（ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「標準同型」）、$\sigma_k$ は矛盾なく定まる。$X$ が空でなく $\xi,\eta$ の階数が等しければ、安定同型の定義の $a,b$ は階数を比べて $a=b$ である。
$E,F$ を $X$ 上の束とする。束写像 $\varphi\colon E\to F$（ベクトル束 の定義「束写像・同型・切断」の意味で、底空間の恒等写像を覆うもの）は、各点 $b$ で $\varphi_b\colon E_b\to F_b$ が単射であるとき、ファイバーごとに単射であるという。
$F$ の至るところ $0$ でない切断 $s$ は、ファイバーごとに単射な束写像 $\varepsilon^1\to F$、$(b,a)\mapsto a\,s(b)$ と同じものである。ファイバーごとに単射な束写像 $E\to\varepsilon^N$ は、第 2 成分をとると、ベクトル束の分類定理 の定義「ファイバーごとに単射な写像とGauss写像」の写像 $E\to\mathbb{K}^N\subset\mathbb{K}^\infty$ と同じものである。
胞体ごとの延長
安定域の定理も有限次元の Grassmann 多様体による分類も、次の補題 1 つから従う。行列の言葉では、$\mathbb{K}^k$ から $\mathbb{K}^n$ への単射な線形写像の空間は、列が線形独立な $n\times k$ 行列の空間 $\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ である。Stiefel多様体 の記事の定義のあとの段落により、Gram–Schmidt の直交化で $\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ は Stiefel 多様体 $V_k(\mathbb{K}^n)$ に変形レトラクトするので、同記事の定理「低い次数のホモトピー群の消滅」により、$1\le k\le n$ のとき
$$
\pi_i(\widetilde V_k(\mathbb{K}^n))=0\qquad(0\le i\le c(n-k+1)-2)
$$
である。$k=1$ では $\widetilde V_1(\mathbb{K}^n)=\mathbb{K}^n\setminus\{0\}$ で、これは球面 $S^{cn-1}$ が $(cn-2)$ 連結であることにあたる。
$Y$ を CW 複体、$A$ をその部分複体（空でもよい）とし、$E,F$ を $Y$ 上の階数 $k,n$ の束とする（$1\le k\le n$）。$A$ に含まれない $Y$ の胞体の次元がすべて $c(n-k+1)-1$ 以下ならば、ファイバーごとに単射な束写像 $\varphi_A\colon E|_A\to F|_A$ は、ファイバーごとに単射な束写像 $\varphi\colon E\to F$ に延びる。
要点：束写像を準同型束 $\operatorname{Hom}(E,F)$ の切断とみて、骨格の次元の順に胞体ごとに延ばす。$m$ 胞体の上では束が自明になり、境界の上の切断は $S^{m-1}\to\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ という写像になる。$m-1\le c(n-k+1)-2$ なのでこれは定値写像にホモトピックで、円板の上へ延びる。
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束写像を準同型束 $H:=\operatorname{Hom}(E,F)$ の切断とみる（ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「準同型束の切断と束写像」）。ファイバーごとに単射な束写像は、各点で単射な準同型を値にもつ連続な切断にあたる。$\ell:=c(n-k+1)-1$ とおき、$A\cup Y^m$（$Y^m$ は $m$ 骨格）の上の、単射な値をもつ連続な切断 $s_m$ で $A$ の上で $\varphi_A$ にあたるものを、$m=-1,0,1,\dots,\ell$ の順に作る（$Y^{-1}:=\emptyset$、$s_{-1}$ は $\varphi_A$ にあたる切断）。仮定により $Y=A\cup Y^\ell$ なので、$s_\ell$ が求めるものである。
$s_{m-1}$ ができたとする。$A$ に含まれない $m$ 胞体 $e$ とその特性写像 $\Phi\colon D^m\to Y$ をとる。$D^m$ は可縮なコンパクト Hausdorff 空間なので、引き戻し $\Phi^*E$、$\Phi^*F$ は自明である（ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」）。自明化を 1 つずつ固定すると、$\Phi^*H\cong\operatorname{Hom}(\Phi^*E,\Phi^*F)$ は $D^m\times M_{n\times k}(\mathbb{K})$ と同一視され（ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「引き戻しとの両立性」と定理「ファイバーごとの構成の局所自明性」）、単射な準同型は $\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ の行列にあたる。$\Phi(\partial D^m)\subset A\cup Y^{m-1}$ なので、$s_{m-1}\circ\Phi$ は $\partial D^m=S^{m-1}$ から $\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ への連続写像 $a$ を与える。
$a$ は $D^m$ 全体へ延びる。$m=0$ なら $S^{-1}=\emptyset$ で、単射な行列を 1 つ選べばよい（$k\le n$ なので存在する）。$m\ge1$ なら $m-1\le\ell-1=c(n-k+1)-2$ なので、上の消滅により $\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ は弧状連結で $\pi_{m-1}$ が自明である。$m=1$ なら $S^0$ の 2 点を道で結べばよい。$m\ge2$ なら $a$ は基点を止めて定値写像にホモトピックであり、そのホモトピー $S^{m-1}\times[0,1]\to\widetilde V_k(\mathbb{K}^n)$ は $S^{m-1}\times\{1\}$ を 1 点につぶした錐 $\cong D^m$ を経由するので、$a$ は $D^m$ へ延びる。
延長 $\bar a$ は $\Phi^*H$ の単射な値をもつ切断を定め、$\Phi^*H\to H$ と合成して連続写像 $t\colon D^m\to H$ で $t|_{S^{m-1}}=s_{m-1}\circ\Phi$ となるものを得る。$\Phi$ は開胞体 $e$ の上への全単射を $D^m$ の内部から与えるので、$s_m(\Phi(x)):=t(x)$（$x$ は内部の点）と定め、これを $A$ に含まれないすべての $m$ 胞体について行う。$A\cup Y^m$ は部分複体なのでそれ自身 CW 複体であり、その各胞体の特性写像と $s_m$ の合成は、$A$ の胞体では $s_{-1}$ の、次元 $m-1$ 以下の胞体では $s_{m-1}$ の、$m$ 胞体では $t$ の合成なので連続である。CW複体 の定理「胞体ごとの判定」により $s_m$ は連続である。$\square$
$k=0$ なら $E$ は零束で、補題は自明に成り立つ。
主定理：安定域の定理
$X$ を $d$ 次元 CW 複体、$k\ge0$ とする。
- $d\le c(k+1)-1$ ならば $\sigma_k$ は全射である。すなわち、階数 $k+1$ の束 $\eta$ は、ある階数 $k$ の束 $\xi$ について $\eta\cong\xi\oplus\varepsilon^1$ となる。
- $d\le c(k+1)-2$ ならば $\sigma_k$ は単射である。すなわち、階数 $k$ の束 $\xi_0,\xi_1$ について $\xi_0\oplus\varepsilon^1\cong\xi_1\oplus\varepsilon^1$ ならば $\xi_0\cong\xi_1$ である。
とくに $d\le c(k+1)-2$ なら $\sigma_k$ は全単射である。実の場合（$c=1$）は、$d\le k$ で全射、$d< k$ で単射である。
CW 複体はパラコンパクト Hausdorff 空間である（パラコンパクト空間 の定理「CW 複体のパラコンパクト性」）。
1：lem-srv-extension を $E=\varepsilon^1$、$F=\eta$（$n=k+1$）、$A=\emptyset$ に当てる。胞体の次元は $d\le c(k+1)-1=c(n-1+1)-1$ 以下なので、ファイバーごとに単射な $u\colon\varepsilon^1\to\eta$、すなわち至るところ $0$ でない切断がある。その像 $L$ は部分束で（部分束・商束・双対束 の定理「階数一定の束写像の核と像」）、商 $\xi:=\eta/L$ は階数 $k$ の束である（同記事の定理「商束の局所自明性と普遍性」）。短完全列 $0\to\varepsilon^1\to\eta\to\xi\to0$ は、底空間がパラコンパクト Hausdorff なので分裂し（同記事の系「短完全列の分裂」）、$\eta\cong\xi\oplus\varepsilon^1$ である。
2：$\eta:=\xi_0\oplus\varepsilon^1$ とおき、束同型 $\psi_0:=\mathrm{id}\colon\xi_0\oplus\varepsilon^1\to\eta$ と、仮定の束同型 $\psi_1\colon\xi_1\oplus\varepsilon^1\to\eta$ をとる。$u_i:=\psi_i|_{0\oplus\varepsilon^1}\colon\varepsilon^1\to\eta$ はファイバーごとに単射である。
射影 $p\colon X\times[0,1]\to X$ による引き戻し $\eta':=p^*\eta$ を考える。$X\times[0,1]$ は胞体 $e\times\{0\}$、$e\times\{1\}$、$e\times(0,1)$ からなる CW 複体で、直積位相は CW 複体の位相と一致する（$[0,1]$ はコンパクト。Hat02 Theorem A.6、p. 524）。$A:=X\times\{0,1\}$ は部分複体で、それ以外の胞体 $e\times(0,1)$ の次元は $d+1\le c(k+1)-1$ 以下である。$\eta'|_{X\times\{i\}}$ を $\eta$ と同一視して、$A$ の上の $\varepsilon^1\to\eta'$ を $X\times\{i\}$ では $u_i$ と定める。lem-srv-extension（$n=k+1$）により、これはファイバーごとに単射な $u\colon\varepsilon^1\to\eta'$ に延びる。
$Q:=\eta'/u(\varepsilon^1)$ は $X\times[0,1]$ 上の階数 $k$ の束である。$j_i\colon X\to X\times[0,1]$、$x\mapsto(x,i)$ とおくと、$j_i^*Q$ はファイバーごとに $\eta_x/u_i(\varepsilon^1_x)$ であり、$\eta/u_i(\varepsilon^1)$ と同型である（自然な束写像がファイバーごとに同型なので、ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」による）。さらに合成 $\xi_i\to\xi_i\oplus\varepsilon^1\xrightarrow{\psi_i}\eta\to\eta/u_i(\varepsilon^1)$ は、各ファイバーで $\eta_x=\psi_i(\xi_{i,x})\oplus u_i(\varepsilon^1_x)$ であることから同型であり、同じ補題により束同型である。$j_0$ と $j_1$ はホモトピックで $X$ はパラコンパクト Hausdorff なので、ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」により $j_0^*Q\cong j_1^*Q$ である。以上をつなぐと $\xi_0\cong\xi_1$ を得る。
実の場合は $c=1$ を代入すればよい。$\square$
単射性の不等式が全射性より $1$ だけ厳しいのは、2 つの「自明な直線の入れ方」を次元 $d+1$ の柱 $X\times[0,1]$ の上でつなぐからである。
繰り返し使うと、自明な部分をまとめて分けることと、自明束の打ち消しが得られる。$\lceil x\rceil$ を $x$ 以上の最小の整数とする。
$X$ を $d$ 次元 CW 複体とする。
- $m:=\lceil(d+1)/c\rceil-1$ とおく。階数 $r\ge m$ の束は、階数 $m$ のある束 $\eta$ について $\eta\oplus\varepsilon^{r-m}$ と同型である。
- 階数 $k$ の束 $\xi,\xi'$ について $d\le c(k+1)-2$ とする。ある $l\ge0$ で $\xi\oplus\varepsilon^l\cong\xi'\oplus\varepsilon^l$ なら $\xi\cong\xi'$ である。とくに、安定同型な階数 $k$ の束は同型である。
要点：1 は thm-srv-main の 1 を階数 $r,r-1,\dots,m+1$ に、2 は同 2 を階数 $k+l-1,\dots,k$ に順に当てる。
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1：$r>m$ なら $r\ge m+1=\lceil(d+1)/c\rceil$ なので $cr\ge d+1$、すなわち $d\le c\bigl((r-1)+1\bigr)-1$ である。thm-srv-main の 1 により階数 $r$ の束は（階数 $r-1$ の束）$\oplus\,\varepsilon^1$ と同型である。$r$ についての帰納法で主張を得る（$r=m$ なら $\eta$ 自身をとる）。
2：$j=l-1,l-2,\dots,0$ の順に、$\xi\oplus\varepsilon^{j}\oplus\varepsilon^1\cong\xi'\oplus\varepsilon^{j}\oplus\varepsilon^1$ から $\xi\oplus\varepsilon^{j}\cong\xi'\oplus\varepsilon^{j}$ を導く。階数 $k+j$ について $d\le c(k+1)-2\le c(k+j+1)-2$ なので、thm-srv-main の 2 が使える。最後の主張：階数が等しいので安定同型の定義で $a=b$ にとれる。$\square$
実の場合は $m=d$ である。$d$ 次元 CW 複体の上の階数 $r\ge d$ の実ベクトル束は $\eta\oplus\varepsilon^{r-d}$（$\eta$ は階数 $d$）と書け、階数が等しく $d$ より大きい 2 つの実ベクトル束は、安定同型なら同型である。
有限次元の Grassmann 多様体による分類
ベクトル束の分類定理 は $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^\infty)$ を使って任意のパラコンパクト Hausdorff 空間の上の束を分類する。底空間が有限次元の CW 複体なら、有限次元の $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ で足りる。まず、分類写像とファイバーごとに単射な束写像の対応を有限次元で述べておく。
$E$ を位相空間 $B$ 上の階数 $k$ の束とし、$N\ge k$ とする。
- $\varphi\colon E\to\varepsilon^N$ がファイバーごとに単射なら、$f_\varphi(b):=\mathrm{pr}_2\varphi(E_b)$ で定まる $f_\varphi\colon B\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ は連続であり、$e\mapsto(\pi(e),(f_\varphi(\pi(e)),\mathrm{pr}_2\varphi(e)))$ は束同型 $E\to f_\varphi^*\gamma_{k,N}$ である。
- 逆に、連続写像 $f\colon B\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ と束同型 $\Theta\colon E\to f^*\gamma_{k,N}$ があれば、$\Theta(e)=(\pi(e),(f(\pi(e)),g(e)))$ で定まる $\varphi(e):=(\pi(e),g(e))$ はファイバーごとに単射で、$f_\varphi=f$ である。
要点：ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3・4 と同じ議論を、$\mathbb{K}^N$ の段の商写像で行う。
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ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3・4 の証明で、線形独立な組に張る部分空間を対応させる商写像 $q$ を、その $\mathbb{K}^N$ の段 $q_N\colon\widetilde V_k(\mathbb{K}^N)\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$（Grassmann多様体 の記事の位相を定める商写像）に替えればよい。局所枠 $t_1,\dots,t_k$ の像 $(\mathrm{pr}_2\varphi t_1,\dots,\mathrm{pr}_2\varphi t_k)$ は $\widetilde V_k(\mathbb{K}^N)$ への連続写像で、$q_N$ との合成が $f_\varphi$ の局所的な表示である。主張の写像はファイバーごとに同型な束写像なので束同型である。2 は $g$ が $\Theta$ の成分であることから従う。$\square$
$X$ を $d$ 次元 CW 複体、$k,m\ge0$、$N:=k+m$ とする。写像
$$
\Phi_X\colon[X,\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)]\to\operatorname{Vect}^k(X),\qquad[f]\mapsto[f^*\gamma_{k,N}]
$$
は矛盾なく定まり、次が成り立つ。
- $d\le c(m+1)-1$ ならば $\Phi_X$ は全射である。
- $d\le c(m+1)-2$ ならば $\Phi_X$ は全単射である。
実の場合は、$N\ge k+d$ なら全射、$N>k+d$ なら全単射である。
矛盾なく定まること：$X$ はパラコンパクト Hausdorff なので、ホモトピックな写像による引き戻しは同型である（ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」）。$k=0$ なら両辺は 1 点なので、$k\ge1$ とする。このとき $1\le k\le N$ である。
1：階数 $k$ の束 $\xi$ に lem-srv-extension を $E=\xi$、$F=\varepsilon^N$、$A=\emptyset$ で当てる。胞体の次元は $d\le c(m+1)-1=c(N-k+1)-1$ 以下なので、ファイバーごとに単射な $\varphi\colon\xi\to\varepsilon^N$ がある。lem-srv-gauss の 1 により $\xi\cong f_\varphi^*\gamma_{k,N}$ である。
2：$f_0^*\gamma_{k,N}\cong f_1^*\gamma_{k,N}$ とし、$E:=f_0^*\gamma_{k,N}$ と束同型 $\Theta_0:=\mathrm{id}$、$\Theta_1\colon E\to f_1^*\gamma_{k,N}$ をとる。lem-srv-gauss の 2 により、ファイバーごとに単射な $\varphi_i\colon E\to\varepsilon^N$ で $f_{\varphi_i}=f_i$ となるものがある。射影 $p\colon X\times[0,1]\to X$ について、$X\times[0,1]$ の部分複体 $A:=X\times\{0,1\}$ の上で $p^*E\to\varepsilon^N$ を $X\times\{i\}$ では $\varphi_i$ と定める。$A$ 以外の胞体の次元は $d+1\le c(m+1)-1=c(N-k+1)-1$ 以下なので、lem-srv-extension によりファイバーごとに単射な $\Psi\colon p^*E\to\varepsilon^N$ に延びる。lem-srv-gauss の 1 の $f_\Psi\colon X\times[0,1]\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ は連続で、$f_\Psi(x,i)=f_i(x)$ を満たすので、$f_0$ と $f_1$ を結ぶホモトピーである。
実の場合は $c=1$、$m=N-k$ を代入すればよい。$\square$
$X$ を $d$ 次元 CW 複体とする。
- $\xi$ を階数 $k$ の束とし、$d\le c(m+1)-1$ とする。階数 $m$ の束 $\eta$ で $\xi\oplus\eta\cong\varepsilon^{k+m}$ となるものがある。実の場合は $m=d$ にとれる。
- 階数 $k$ の束 $\xi,\xi'$ について $d\le c(k+1)-2$ とする。任意の束 $\zeta$ について、$\xi\oplus\zeta\cong\xi'\oplus\zeta$ ならば $\xi\cong\xi'$ である。
要点：1 は単射な $\xi\to\varepsilon^{k+m}$ の像の補束をとる。2 は 1 で $\zeta$ の補束を足して自明束の打ち消しに帰着させる。
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1：thm-srv-grassmann の 1 の証明のとおり、ファイバーごとに単射な $\varphi\colon\xi\to\varepsilon^{k+m}$ がある（$k=0$ なら $\eta:=\varepsilon^m$）。その像は $\xi$ と同型な部分束で、商を $\eta$ とすると、短完全列 $0\to\xi\to\varepsilon^{k+m}\to\eta\to0$ が分裂して（部分束・商束・双対束 の系「短完全列の分裂」）$\xi\oplus\eta\cong\varepsilon^{k+m}$ である。
2：1 により $\zeta\oplus\zeta'\cong\varepsilon^M$ となる $\zeta'$ と $M$ がある。$\xi\oplus\varepsilon^M\cong\xi\oplus\zeta\oplus\zeta'\cong\xi'\oplus\zeta\oplus\zeta'\cong\xi'\oplus\varepsilon^M$ なので、cor-srv-cancel の 2 により $\xi\cong\xi'$ である。$\square$
安定化写像は、Grassmann 多様体の側では「自明な方向を 1 つ足す」包含にあたる。
$\iota\colon\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)\to\mathrm{Gr}_{k+1}(\mathbb{K}^{N+1})$、$W\mapsto W\oplus\mathbb{K}e_{N+1}$ は連続であり、$\iota^*\gamma_{k+1,N+1}\cong\gamma_{k,N}\oplus\varepsilon^1$ である。したがって任意の空間 $X$ と $f\colon X\to\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)$ について $\Phi_X([\iota\circ f])=\sigma_k(\Phi_X([f]))$ である。とくに $X$ が $d$ 次元 CW 複体で $d\le c(N-k+1)-2$ かつ $d\le c(k+1)-2$ なら、$\iota_*\colon[X,\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^N)]\to[X,\mathrm{Gr}_{k+1}(\mathbb{K}^{N+1})]$ は全単射である。
要点：行列で書けば $\iota$ は連続で、トートロジー束どうしの写像 $(v,a)\mapsto v+ae_{N+1}$ がファイバーごとに同型である。
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$\iota$ は、列が線形独立な $N\times k$ 行列 $M$ に、右下に $1$ を加えたブロック対角行列 $\mathrm{diag}(M,1)$ を対応させる連続写像 $\widetilde V_k(\mathbb{K}^N)\to\widetilde V_{k+1}(\mathbb{K}^{N+1})$ から商写像 $q_N$ を通して誘導されるので連続である。$\gamma_{k,N}\oplus\varepsilon^1\to\iota^*\gamma_{k+1,N+1}$、$((W,v),a)\mapsto(W,(W\oplus\mathbb{K}e_{N+1},v+ae_{N+1}))$ は連続な束写像で、$W\oplus\mathbb{K}e_{N+1}$ の直和分解により各ファイバーで線形同型なので、ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」により束同型である。引き戻しを $f$ で取り直すと $(\iota\circ f)^*\gamma_{k+1,N+1}\cong f^*\gamma_{k,N}\oplus\varepsilon^1$ を得る。最後の主張：$\mathrm{Gr}_{k+1}(\mathbb{K}^{N+1})$ の側の $m$ も $N-k$ のままなので、$\Phi_X$ は両側で全単射であり（thm-srv-grassmann の 2）、$\sigma_k$ も全単射である（thm-srv-main）。可換性から $\iota_*$ は全単射である。$\square$
底空間が CW 複体そのものでなくても、ホモトピー型で同じ結論が得られる。
$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間とし、ある $d$ 次元 CW 複体 $Y$ とホモトピー同値であるとする。このとき thm-srv-main、cor-srv-cancel、thm-srv-grassmann の結論は $X$ についても成り立つ。
要点：ホモトピー同値 $h\colon X\to Y$ と逆 $h'$ による引き戻しは、束の同型類の集合の間でも写像のホモトピー類の集合の間でも互いに逆の全単射を与え、どちらも $\sigma_k$ と $\Phi$ に可換である。
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$X,Y$ はともにパラコンパクト Hausdorff なので、$h'\circ h\simeq\mathrm{id}_X$、$h\circ h'\simeq\mathrm{id}_Y$ と ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」により、$h^*\colon\operatorname{Vect}^k(Y)\to\operatorname{Vect}^k(X)$ と $h'^*$ は互いに逆の全単射である。写像のホモトピー類についても、合成 $[Y,G]\to[X,G]$、$[f]\mapsto[f\circ h]$ と $h'$ による合成は互いに逆である。$h^*(\xi\oplus\varepsilon^1)\cong h^*\xi\oplus\varepsilon^1$（ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「引き戻しとの両立性」）と $(f\circ h)^*\gamma\cong h^*f^*\gamma$ により、これらの全単射は $\sigma_k$ と $\Phi$ に可換である。よって $Y$ についての全射性・単射性は $X$ に移る。$\square$
例
$S^2$ は $0$ 胞体 1 つと $2$ 胞体 1 つからなる $2$ 次元 CW 複体であり、実の場合（$c=1$）を考える。接束 $TS^2$ は階数 $2$ で、ベクトル束 の命題「球面の接束は安定的に自明」により $TS^2\oplus\varepsilon^1\cong\varepsilon^3=\varepsilon^2\oplus\varepsilon^1$ である。一方、毛玉の定理 により $TS^2$ は至るところ $0$ でない切断をもたない。
- $TS^2\not\cong\varepsilon^2$ なので、$\sigma_2\colon\operatorname{Vect}^2(S^2)\to\operatorname{Vect}^3(S^2)$ は単射でない。thm-srv-main の 2 の条件は $d=2\le c(2+1)-2=1$ で、ちょうど $1$ だけ外れている。
- $TS^2\cong\xi\oplus\varepsilon^1$ となる直線束 $\xi$ はない（あれば $\varepsilon^1$ の成分が至るところ $0$ でない切断を与える）ので、$\sigma_1\colon\operatorname{Vect}^1(S^2)\to\operatorname{Vect}^2(S^2)$ は全射でない。thm-srv-main の 1 の条件は $d=2\le c(1+1)-1=1$ で、これも $1$ だけ外れている。
一方 $\sigma_k$（$k\ge3$）は全単射で、$\sigma_2$ は全射である。したがって $S^2$ 上の階数 $3$ 以上の実ベクトル束はどれも、自明束と階数 $2$ の束の和である（cor-srv-cancel の 1、$m=2$）。
偶数次元の球面 $S^{n}$（$n\ge2$）の接束でも同じことが起こる（毛玉の定理 の系「偶数次元の球面の接束」）。$\sigma_n$ の単射性の条件 $n\le n-1$ はやはり $1$ だけ外れている。
$\mathbb{K}=\mathbb{C}$（$c=2$）とし、$X$ を $2$ 次元以下の CW 複体とする。$k\ge1$ なら $d\le2\le2k=c(k+1)-2$ なので $\sigma_k$ はすべて全単射であり、$X$ 上の階数 $r\ge1$ の複素ベクトル束は、同型を除いて一意な複素直線束 $L$ によって $L\oplus\varepsilon^{r-1}$ と書ける。CW 複体の上の複素直線束は $H^2(X;\mathbb{Z})$ の元と一対一に対応するので（ベクトル束の分類定理 の例「直線束と無限次元射影空間」が引用する結果。この記事では証明しない）、$\operatorname{Vect}^r_{\mathbb{C}}(X)$ は $r\ge1$ によらず $H^2(X;\mathbb{Z})$ と一対一に対応する。一方 $\sigma_0$ の全射性の条件 $d\le c-1=1$ は $S^2$ で外れ、$H^2(S^2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ の $0$ でない元にあたる直線束は $\sigma_0$ の像に入らない。
反例：条件を外すと
各行は thm-srv-main または thm-srv-grassmann の次元の条件を 1 つだけ外し、ほかの条件は満たしている。どの行も実の場合（$c=1$）である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $d\le c(k+1)-1$（thm-srv-main の 1） | $X=S^2$（$d=2$）、$k=1$、$\eta=TS^2$ | 階数 $k+1$ の束が（階数 $k$ の束）$\oplus\,\varepsilon^1$ と書けること |
| $d\le c(k+1)-2$（thm-srv-main の 2） | $X=S^2$、$k=2$、$\xi_0=TS^2$、$\xi_1=\varepsilon^2$ | $\xi_0\oplus\varepsilon^1\cong\xi_1\oplus\varepsilon^1$ から $\xi_0\cong\xi_1$ |
| $d\le c(m+1)-1$（thm-srv-grassmann の 1） | $X=S^1$（$d=1$）、$k=1$、$m=0$、Möbius 束 | $\Phi_X$ の全射性 |
| $d\le c(m+1)-2$（thm-srv-grassmann の 2） | $X=S^1$、$k=1$、$m=1$、定値写像と写像度 $2$ の写像 $S^1\to\mathrm{Gr}_1(\mathbb{R}^2)$ | $\Phi_X$ の単射性 |
1・2 行目：ex-srv-sphere のとおりである。2 行目では 1 の条件 $d=2\le c(2+1)-1=2$ は満たされている。
3・4 行目の確かめを開く
3 行目：$S^1$ は $0$ 胞体と $1$ 胞体 1 つずつの $1$ 次元 CW 複体である。$\mathrm{Gr}_1(\mathbb{R}^1)$ は 1 点なので、$\Phi_X$ の像は自明な直線束だけであり、Möbius 束（ベクトル束 の命題「Möbius 束は自明でない」）は像に入らない。条件は $d=1\le c(0+1)-1=0$ で外れている。
4 行目：全射性の条件 $d=1\le c(1+1)-1=1$ は満たされ、単射性の条件 $d=1\le c(1+1)-2=0$ が外れている。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ とし、$f_0$ を定値写像、$f_1(t):=\mathbb{R}(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ とすると、どちらも自明な直線束を引き戻すが、$\mathrm{Gr}_1(\mathbb{R}^2)\cong S^1$ を通して $f_1$ は写像度 $2$、$f_0$ は写像度 $0$ なのでホモトピックでない。詳しくは ベクトル束の分類定理 の例「表の 2 行目の確かめ」にある。$\mathrm{Gr}_1(\mathbb{R}^3)$ に移すと（$m=2$、条件 $1\le1$ が成り立つ）、2 つの写像はホモトピックになる。
補足
四元数の場合 四元数体 $\mathbb{H}$ の上のベクトル束（ファイバーが右 $\mathbb{H}$ 加群のもの）でも、$c=4$ として thm-srv-main と thm-srv-grassmann と同じ主張が成り立つ。Hus94 は $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ を同時に扱い、第 9 章 Proposition 1.1（p. 111）・Theorem 1.2・Proposition 1.4・Theorem 1.5（p. 112）で安定域を、第 8 章 Theorem 5.1（p. 95）で $\mathbb{H}$ を含む Stiefel 多様体の連結度を、Theorem 7.2（p. 96）で有限次元の Grassmann 多様体による分類を述べている。この記事では四元数の場合は証明しない。
多様体の場合と計量 Hir76 第 4 章 Theorem 3.4（p. 100）は $C^r$ 級（$0\le r\le\infty$）の $n$ 次元多様体の上の実ベクトル束について、$s\ge k+n$ で $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^s)$ への分類写像があり、$s>k+n$ でそのホモトピー類が同型類で決まることを示し、CW 複体とホモトピー型の版を pp. 101–102 で述べている。Hus94 第 8 章は分類を、計量を選んで作る正規直交枠の主束の普遍性として述べる（Theorem 6.1、p. 95）。この記事の証明は単射な束写像を直接作るので、計量を経由しない。
K 群との関係 コンパクト Hausdorff な連結空間の上では、複素ベクトル束の安定同型類が簡約 K 群 $\widetilde K(X)$ の元と一対一に対応する（位相的K理論 の系「安定同型」）。複素の場合、thm-srv-main と cor-srv-cancel により、$d\le c(k+1)-2$ なら階数 $k$ の束の同型類は安定同型類と一対一に対応するので、有限連結 CW 複体の $\widetilde K(X)$ は $\operatorname{Vect}^k(X)$ と一対一に対応し、thm-srv-grassmann により $[X,\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^{2k})]$ とも一対一に対応する。この対応から $\widetilde K(X)$ を空間 $\bigcup_n\mathrm{Gr}_n(\mathbb{K}^{2n})$ への写像で表すことは 安定ベクトル束の分類とK群の表現 で扱う。
関連項目
- 前提: ベクトル束, ベクトル束の分類定理, CW複体, Stiefel多様体
- 例: 毛玉の定理, 円周上のベクトル束の分類
- 比較: 部分束・商束・双対束, ベクトル束の計量, Grassmann多様体
- 直後に読む: 安定ベクトル束の分類とK群の表現, 位相的K理論
- 発展: 分類空間, 特性類
参考文献
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