商層

同義語：quotient sheaf

概要

前提知識: 層, 層化, 茎, アーベル圏, 完全列

アーベル群 $G$ とその部分群 $H$ からは商群 $G/H$ が作れる。位相空間 $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal F$ とその部分層 $\mathcal F'$ についても、各開集合 $U$ で $\mathcal F(U)/\mathcal F'(U)$ をとれば前層ができるが、これは一般に層にならない。局所的には $\mathcal F$ の切断で代表できるのに、全体では 1 つの切断で代表できない「剰余類」があるからである。そこでこの前層を層化したものを商層 $\mathcal F/\mathcal F'$ と定める。
商層の茎は茎の商 $\mathcal F_x/\mathcal F'_x$ であり、射影 $\mathcal F\to\mathcal F/\mathcal F'$ は核が $\mathcal F'$ の全射になる（thm-qs-basic）。商層を使うと層の射の像と余核が定まり、アーベル群の層の圏はアーベル圏になって、列の完全性は茎で判定できる（thm-qs-abelian）。一方、商層の大域切断は大域切断の商と一致するとは限らない（ex-qs-circle）。このずれを測るのが層コホモロジーである。
この記事では $X$ を位相空間とし、層はアーベル群の層、層の射はアーベル群の層の射とする。$X$ 上のアーベル群の層の圏を $\mathrm{Ab}(X)$ と書く。開集合 $V\subset U$ への切断 $s\in\mathcal F(U)$ の制限を $s|_V$、点 $x$ における芽を $s_x\in\mathcal F_x$ と書く。

定義

層 $\mathcal F$ の部分層とは、層 $\mathcal F'$ で、各開集合 $U$ について $\mathcal F'(U)$ が $\mathcal F(U)$ の部分群であり、制限写像が $\mathcal F$ のものの制限であるものをいう。このとき茎 $\mathcal F'_x$ は $\mathcal F_x$ の部分群とみなせる（$t\in\mathcal F'(V)$ の芽が $\mathcal F_x$ で $0$ なら、ある開近傍 $W$ で $t|_W=0$ となり、$\mathcal F'_x$ でも $t_x=0$ だから）。

商層

$\mathcal F$ をアーベル群の層、$\mathcal F'$ をその部分層とする。開集合 $U$ に剰余群 $\mathcal F(U)/\mathcal F'(U)$ を対応させ、$\mathcal F$ の制限写像が誘導する写像を制限写像とする前層を $\mathcal P$ と書き、商前層という（$\mathcal F'(U)$ の元の制限は $\mathcal F'(V)$ に入るので、制限写像は代表の取り方によらない）。商前層の層化
$$ \mathcal F/\mathcal F':=\mathcal P^+ $$
を $\mathcal F$ の $\mathcal F'$ による商層（quotient sheaf）という。各開集合での射影 $q_U\colon\mathcal F(U)\to\mathcal P(U)$ と層化の標準射 $\theta\colon\mathcal P\to\mathcal P^+$ の合成を $\pi\colon\mathcal F\to\mathcal F/\mathcal F'$ と書き、射影という。

層化 $\mathcal P^+$ の構成と性質は層の定理「層化の構成と普遍性」と層化にある。この記事で使うのは、$\mathcal P^+$ が層であること、$\theta$ が各茎で全単射であること（層化の定理「層化は茎を保つ」）、層への射が $\theta$ を通って一意に延びること（同じ記事の定理「芽による層化は普遍的である」）の 3 つである。

層の射の像と余核

$\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal G$ を層の射とする。開集合 $U$ に $\ker\varphi_U$、$\varphi_U(\mathcal F(U))$、$\mathcal G(U)/\varphi_U(\mathcal F(U))$ を対応させる前層を、それぞれ核前層・像前層・余核前層という。核前層を $\ker\varphi$、像前層の層化を $\varphi$ の像 $\operatorname{im}\varphi$、余核前層の層化を $\varphi$ の余核 $\operatorname{coker}\varphi$ という。

$\mathcal O_X$ を環の層とする環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ の上の $\mathcal O_X$ 加群の層についても、商層・像・余核は同じ構成で定まり、以下の結果はすべて同じ証明で成り立つ。これらの定義は Har77 II §1（pp. 64–65）と同じである。

直感

商前層の切断は「$U$ 上の $\mathcal F$ の切断 1 つを $\mathcal F'$ を法として見たもの」である。商層の切断はそれより多く、「各点の近くでは $\mathcal F$ の切断 $s_i$ で代表され、重なりでの代表どうしの差が $\mathcal F'$ に入るもの」である（thm-qs-basic の 3）。局所的な代表 $s_i$ を貼り合わせて $U$ 上の 1 つの切断にできるとは限らず、それができないことが商前層が層でない理由になる。たとえば円周上の関数 $z$ は、短い弧の上では $\exp(2\pi\sqrt{-1}f)=z$ となる連続関数 $f$（$z$ の対数を $2\pi\sqrt{-1}$ で割ったもの）をもち、そのような 2 つの $f$ の差は整数値だが、円周全体ではそのような $f$ をもたない。$z$ は「そのような $f$ の剰余類の族」として商層の切断になるが、1 つの連続関数の剰余類にはならない（ex-qs-circle）。

前層の段階で起こること

核前層・像前層・商前層の性質

$\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal G$ を層の射、$\mathcal F'$ を $\mathcal F$ の部分層とする。

核前層 $\ker\varphi$ は $\mathcal F$ の部分層であり、各点 $x$ で $(\ker\varphi)_x=\ker(\varphi_x)$ である。
像前層は $\mathcal G$ の部分前層で、局所性を満たす（分離前層である）。
商前層 $U\mapsto\mathcal F(U)/\mathcal F'(U)$ は局所性を満たす。
像前層と商前層は貼り合わせを満たすとは限らず、余核前層は局所性さえ満たすとは限らない。

部分層の貼り合わせに帰着する

1：$\ker\varphi_U$ は部分群で、$s\in\ker\varphi_U$ なら $\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V=0$ だから制限で閉じる。局所性は $\mathcal F$ から従う。開被覆 $U=\bigcup U_i$ と重なりで一致する $s_i\in\ker\varphi_{U_i}$ を $\mathcal F$ で貼り合わせた $s\in\mathcal F(U)$ は、$\varphi_U(s)|_{U_i}=\varphi_{U_i}(s_i)=0$ と $\mathcal G$ の局所性から $\varphi_U(s)=0$ をみたす。よって $\ker\varphi$ は層である。茎については、$(\ker\varphi)_x\subset\ker(\varphi_x)$ は明らかである。逆に $s\in\mathcal F(V)$ が $\varphi_x(s_x)=0$ をみたせば、ある開近傍 $W\subset V$ で $\varphi_W(s|_W)=0$ となり、$s_x$ は $(\ker\varphi)(W)$ の元の芽である。
2：部分前層の 2 つの切断が開被覆の各部分で一致すれば、$\mathcal G$ の局所性により一致する。
3：差をとれば、$s\in\mathcal F(U)$ の剰余類 $[s]$ が開被覆 $U=\bigcup U_i$ の各 $U_i$ で $0$ になるとき $[s]=0$ であることを示せばよい。仮定は $s|_{U_i}\in\mathcal F'(U_i)$ である。これらは同じ $s$ の制限なので重なりで一致し、層 $\mathcal F'$ で貼り合わさって $s'\in\mathcal F'(U)$ を与える。$s'$ と $s$ は各 $U_i$ への制限が一致するので、$\mathcal F$ の局所性から $s=s'\in\mathcal F'(U)$、すなわち $[s]=0$ である。
4：像前層と商前層の例は ex-qs-circle、余核前層の例は ex-qs-cokernel-presheaf である。$\square$

3 と 4 の違いは、割る相手が層かどうかにある。余核前層は層でない像前層で割っているので局所性まで壊れるが、像前層を、局所的に $\varphi$ の像に入る切断のなす部分層 $\mathcal I$（cor-qs-image-cokernel で $\operatorname{im}\varphi$ と同型であることを示す）に取り替えれば、商前層 $\mathcal G(U)/\mathcal I(U)$ は 3 により局所性を満たす。

商層の茎と切断

次がこの記事の主定理である。

商層の基本性質

$\mathcal F'$ を層 $\mathcal F$ の部分層、$\pi\colon\mathcal F\to\mathcal F/\mathcal F'$ を射影とする。

各点 $x\in X$ で、$\pi_x$ は全射で核は $\mathcal F'_x$ であり、同型 $(\mathcal F/\mathcal F')_x\cong\mathcal F_x/\mathcal F'_x$ を誘導する。
$\pi$ の核前層は $\mathcal F'$ である。したがって $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\xrightarrow{\pi}\mathcal F/\mathcal F'\to0$ の各茎の列は短完全列である。
開集合 $U$ と $\sigma\in(\mathcal F/\mathcal F')(U)$ に対し、$U$ の開被覆 $U=\bigcup_iU_i$ と $s_i\in\mathcal F(U_i)$ で、$\pi_{U_i}(s_i)=\sigma|_{U_i}$ かつ $s_i-s_j\in\mathcal F'(U_i\cap U_j)$ となるものがある。逆に、開被覆と $s_i\in\mathcal F(U_i)$ の族で $s_i-s_j\in\mathcal F'(U_i\cap U_j)$ をみたすものは、$\pi_{U_i}(s_i)=\sigma|_{U_i}$ となる $\sigma$ をただ 1 つ定める。2 つの族 $(U_i,s_i)$、$(V_k,t_k)$ が同じ $\sigma$ を定めることと、すべての $i,k$ で $s_i-t_k\in\mathcal F'(U_i\cap V_k)$ であることは同値である。
（普遍性）層の射 $\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal G$ がすべての開集合 $U$ で $\varphi_U(\mathcal F'(U))=0$ をみたすなら、$\psi\circ\pi=\varphi$ となる層の射 $\psi\colon\mathcal F/\mathcal F'\to\mathcal G$ がただ 1 つある。
各開集合 $U$ で $0\to\mathcal F'(U)\to\mathcal F(U)\xrightarrow{\pi_U}(\mathcal F/\mathcal F')(U)$ は完全である。$\sigma$ が $\pi_U$ の像に入ることと、3 の開被覆として $\{U\}$ だけからなるものがとれることは同値である。

商前層の茎を計算し、層化で移す

$\mathcal P$ を商前層、$q\colon\mathcal F\to\mathcal P$ を各開集合での射影とし、$\pi=\theta\circ q$ と書く。
1：茎の写像 $q_x\colon\mathcal F_x\to\mathcal P_x$、$s_x\mapsto[s]_x$ を調べる。$\mathcal P_x$ の元は $[s]_x$（$s\in\mathcal F(V)$）と書けるので $q_x$ は全射である。$q_x(s_x)=0$ であることは、ある開近傍 $W$ で $[s|_W]=0$、すなわち $s|_W\in\mathcal F'(W)$ となることであり、これは $s_x\in\mathcal F'_x$ と同値である。よって $q_x$ は同型 $\mathcal F_x/\mathcal F'_x\cong\mathcal P_x$ を誘導する。$\theta_x$ は全単射なので、$\pi_x=\theta_x\circ q_x$ についても同じことが成り立つ。
2：$\mathcal F'\subset\ker\pi$ は明らかである。$s\in\mathcal F(U)$ が $\pi_U(s)=0$ をみたすとすると、各 $x\in U$ で $\pi_x(s_x)=0$ だから、1 により $s_x\in\mathcal F'_x$ である。したがって各 $x$ に開近傍 $W_x\subset U$ があって $s|_{W_x}\in\mathcal F'(W_x)$ となる。prop-qs-presheaf の 3 の証明と同じく、これらは $\mathcal F'$ で貼り合わさって $s\in\mathcal F'(U)$ を得る。茎の列が完全であることは 1 と、部分層の茎が $\mathcal F_x$ の部分群であることから従う。
3：1 により $\pi$ は各茎で全射なので、茎の命題「茎による射の判定」の 2（局所全射性）により、開被覆 $U=\bigcup U_i$ と $s_i\in\mathcal F(U_i)$ で $\pi_{U_i}(s_i)=\sigma|_{U_i}$ となるものがある。$U_i\cap U_j$ 上で $\pi(s_i-s_j)=0$ だから、2 により $s_i-s_j\in\mathcal F'(U_i\cap U_j)$ である。逆に、そのような族があれば $\pi_{U_i}(s_i)$ は重なりで一致するので、層 $\mathcal F/\mathcal F'$ の貼り合わせにより $\sigma$ が存在し、局所性により一意である。最後の主張は、$\sigma$ と $\tau$ が一致することが開被覆 $\{U_i\cap V_k\}$ の各部分で一致することと同値であり、$U_i\cap V_k$ 上で $\pi(s_i)=\pi(t_k)$ が 2 により $s_i-t_k\in\mathcal F'(U_i\cap V_k)$ と同値であることから従う。
4：仮定から $\varphi_U$ は $\mathcal F(U)/\mathcal F'(U)$ を経由し、前層の射 $\bar\varphi\colon\mathcal P\to\mathcal G$ で $\bar\varphi\circ q=\varphi$ となるものが得られる。層化の普遍性により $\psi\circ\theta=\bar\varphi$ となる層の射 $\psi$ がただ 1 つあり、$\psi\circ\pi=\psi\circ\theta\circ q=\varphi$ である。$\psi'\circ\pi=\varphi$ となる $\psi'$ があれば、$\psi'\circ\theta\circ q=\bar\varphi\circ q$ で、各 $q_U$ は全射だから $\psi'\circ\theta=\bar\varphi$ となり、普遍性の一意性から $\psi'=\psi$ である。
5：左の写像は包含で単射であり、$\mathcal F(U)$ での完全性は 2 そのものである。$\sigma=\pi_U(s)$ なら $\{U\}$ と $s$ が 3 の族であり、逆も 3 の一意性から従う。$\square$

像と余核

像と余核も商層で書ける。

像と余核の記述

$\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal G$ を層の射とし、$\mathcal G$ の部分層 $\mathcal I$ を
$$ \mathcal I(U):=\{t\in\mathcal G(U)\mid\text{各 }x\in U\text{ に開近傍 }W\subset U\text{ と }s\in\mathcal F(W)\text{ があって }t|_W=\varphi_W(s)\} $$
で定める（局所的に $\varphi$ の像に入る切断の全体）。

像 $\operatorname{im}\varphi$ は $\mathcal I$ と同型であり、$\mathcal I_x=\varphi_x(\mathcal F_x)$ である。
$\operatorname{coker}\varphi\cong\mathcal G/\mathcal I$ であり、$(\operatorname{coker}\varphi)_x\cong\mathcal G_x/\varphi_x(\mathcal F_x)$ である。
各茎で $\varphi_x$ が全射であることと、$\mathcal I=\mathcal G$ であることと、$\operatorname{coker}\varphi=0$ であることは同値である。
$\varphi$ は同型 $\mathcal F/\ker\varphi\cong\mathcal I$ を誘導する。

茎で同型を確かめる

要点：どの主張も、比べる 2 つの層の間に射を作り、各茎で全単射であることを確かめて茎の命題「茎による射の判定」の 3 を使う。

詳しい証明を開く

まず、層 $\mathcal G$ の 2 つの部分層 $\mathcal A,\mathcal B$ について、すべての $x$ で $\mathcal A_x\subset\mathcal B_x$（$\mathcal G_x$ の中で）なら $\mathcal A\subset\mathcal B$ である。実際 $t\in\mathcal A(U)$ の各芽は $\mathcal B_x$ に入るので、各点の開近傍で $t$ は $\mathcal B$ の切断に一致し、それらは $\mathcal B$ で貼り合わさって $t\in\mathcal B(U)$ となる。

1：$\mathcal I(U)$ は部分群で制限で閉じ、局所性は $\mathcal G$ から、貼り合わせは条件が各点の近傍の条件であることから従うので、$\mathcal I$ は部分層である。像前層 $\mathcal J$ は $\mathcal I$ の部分前層であり、包含 $j\colon\mathcal J\to\mathcal I$ の茎の写像は、どちらも $\mathcal G_x$ の部分群としてみると $\varphi_x(\mathcal F_x)$ に一致するので全単射である。層化の普遍性で得られる $\mathcal J^+\to\mathcal I$ は各茎で全単射だから同型である。

2：余核前層 $U\mapsto\mathcal G(U)/\mathcal J(U)$ から商前層 $U\mapsto\mathcal G(U)/\mathcal I(U)$ への自然な射は、thm-qs-basic の 1 の証明と同じ計算により、各茎で $\mathcal G_x/\varphi_x(\mathcal F_x)$ の恒等写像になる。層化した射も各茎で全単射なので同型である。

3：$\mathcal I_x=\varphi_x(\mathcal F_x)$ と、最初に示した部分層の比較から、$\varphi_x$ がすべて全射であることは $\mathcal I=\mathcal G$ と同値である。2 により $(\operatorname{coker}\varphi)_x=0$ がすべての $x$ で成り立つこととも同値であり、すべての茎が $0$ の層は切断が芽で決まるので $0$ である。

4：$\varphi_U(\mathcal F(U))\subset\mathcal I(U)$ なので $\varphi$ は $\varphi'\colon\mathcal F\to\mathcal I$ を与え、$\ker\varphi'=\ker\varphi$ である。thm-qs-basic の 4 により $\psi\colon\mathcal F/\ker\varphi\to\mathcal I$ が得られ、その茎の写像は prop-qs-presheaf の 1 により $\mathcal F_x/\ker(\varphi_x)\to\varphi_x(\mathcal F_x)$ で、全単射である。$\square$

アーベル圏であること

アーベル群の層の圏のアーベル性

$\mathrm{Ab}(X)$ はアーベル圏である。層の射 $\varphi\colon\mathcal F\to\mathcal G$ の圏論的な核は包含 $\ker\varphi\to\mathcal F$、余核は射影 $\mathcal G\to\mathcal G/\mathcal I\cong\operatorname{coker}\varphi$ である。$\varphi$ がモノ射であることは各 $\varphi_U$ が単射であることと、エピ射であることは各茎 $\varphi_x$ が全射であることと同値である。さらに、層の列 $\mathcal F'\xrightarrow{\varphi}\mathcal F\xrightarrow{\psi}\mathcal F''$ が $\mathcal F$ で完全であることと、すべての $x\in X$ で茎の列 $\mathcal F'_x\to\mathcal F_x\to\mathcal F''_x$ が $\mathcal F_x$ で完全であることは同値である。

核・余核を作り、正規性を茎で確かめる

アーベル圏の定義はアーベル圏の定義「アーベル圏」（核と余核の存在、モノ射は余核の核、エピ射は核の余核）を使う。加法圏であること（各開集合での和と、$U\mapsto\mathcal F(U)\oplus\mathcal G(U)$ による双積）と、包含 $\iota\colon\ker\varphi\to\mathcal F$ が核であることは各開集合で確かめられる。

加法圏であることと核を開く

加法圏であること：$\operatorname{Hom}(\mathcal F,\mathcal G)$ は各開集合での和でアーベル群になり、合成は双線形である。零層が零対象で、$U\mapsto\mathcal F(U)\oplus\mathcal G(U)$ は（層の条件を成分ごとに確かめて）層であり、各開集合での包含と射影により $\mathcal F$ と $\mathcal G$ の双積になる。

核：$\iota\colon\ker\varphi\to\mathcal F$ は $\varphi\circ\iota=0$ をみたす。$\alpha\colon\mathcal H\to\mathcal F$ が $\varphi\circ\alpha=0$ をみたせば、各 $\alpha_U$ の値は $\ker\varphi_U$ に入り、$\iota_U$ は単射だから $\alpha$ は $\iota$ をただ 1 通りに経由する。

余核：$p\colon\mathcal G\to\mathcal G/\mathcal I$ を射影とする。$\varphi_U(\mathcal F(U))\subset\mathcal I(U)=\ker p_U$（thm-qs-basic の 2）なので $p\circ\varphi=0$ である。$\beta\colon\mathcal G\to\mathcal H$ が $\beta\circ\varphi=0$ をみたせば、$t\in\mathcal I(U)$ は各点の近くで $\varphi$ の像に入るので $\beta_U(t)$ は各点の近くで $0$ になり、$\mathcal H$ の局所性から $\beta_U(t)=0$ である。よって thm-qs-basic の 4 により $\beta$ は $p$ をただ 1 通りに経由する。
モノ射とエピ射：各 $\varphi_U$ が単射であることとモノ射であること、各茎で全射であることとエピ射であることは、核 $\iota$ と余核 $p$ を使って確かめられる。

モノ射・エピ射の判定を開く

モノ射とエピ射：各 $\varphi_U$ が単射なら $\varphi$ はモノ射である。逆に $\varphi$ がモノ射なら、$\varphi\circ\iota=0=\varphi\circ0$ から $\iota=0$、すなわち $\ker\varphi=0$ である。各茎で $\varphi_x$ が全射なら $\mathcal I=\mathcal G$（cor-qs-image-cokernel の 3）なので、$\beta\circ\varphi=0$ ならば上の議論で $\beta=0$ となり、$\varphi$ はエピ射である。逆に $\varphi$ がエピ射なら $p\circ\varphi=0$ から $p=0$ で、$p$ は各茎で全射だから $\mathcal G/\mathcal I=0$、すなわち $\operatorname{coker}\varphi=0$ であり、cor-qs-image-cokernel の 3 により各 $\varphi_x$ は全射である。

正規性：$\varphi$ がモノ射なら、$\varphi$ が与える $\mathcal F\to\mathcal I$ は各茎で単射かつ全射（$\mathcal I_x=\varphi_x(\mathcal F_x)$）なので、茎の命題「茎による射の判定」により同型であり、$\mathcal I$ は $p$ の核である（thm-qs-basic の 2）。よって $\varphi$ は自身の余核の核である。余正規性：$\varphi$ がエピ射なら $\mathcal I=\mathcal G$ で、cor-qs-image-cokernel の 4 により $\varphi$ は同型 $\mathcal F/\ker\varphi\cong\mathcal G$ を誘導する。$\iota$ の余核は $\mathcal F\to\mathcal F/\ker\varphi$ だから（$\iota$ の局所的な像は $\ker\varphi$ 自身）、$\varphi$ は自身の核の余核である。
完全性：アーベル圏での $\varphi$ の像は余核の核 $\mathcal I$ である。したがって $\mathcal F$ での完全性は、部分層として $\mathcal I=\ker\psi$ となることである。cor-qs-image-cokernel の証明の最初の段落により、2 つの部分層が一致することは、すべての茎が一致することと同値である。$\mathcal I_x=\varphi_x(\mathcal F'_x)$、$(\ker\psi)_x=\ker(\psi_x)$（prop-qs-presheaf の 1）なので、これは茎の列の完全性にほかならない。$\square$

とくに、層の列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ が完全であることと、すべての茎で短完全列であることは同値である。このとき cor-qs-image-cokernel の 4 により $\mathcal F''\cong\mathcal F/\mathcal F'$（$\mathcal F'$ をその像の部分層と同一視して）であり、すべての短完全列は商層の列と同型である。

大域切断の商との違い

thm-qs-basic の 5 を $U=X$ に適用すると、短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ から完全列
$$ 0\longrightarrow\mathcal F'(X)\longrightarrow\mathcal F(X)\longrightarrow\mathcal F''(X) $$
が得られる（層コホモロジーの命題「大域切断関手の左完全性」）。右端の写像は全射とは限らず、$\mathcal F(X)/\mathcal F'(X)$ は $(\mathcal F/\mathcal F')(X)$ の部分群にすぎない。その差は $\mathcal F'$ の 1 次の層コホモロジーへの連結準同型で測られる（層コホモロジーの定理「層コホモロジーの長完全列」。この記事では証明しない）。

例

円周上の連続関数を整数値関数で割る

$X=S^1=\{z\in\mathbb C\mid|z|=1\}$ とし、$\mathcal C$ を連続な複素数値関数の層、$\mathcal Z\subset\mathcal C$ を整数値の連続関数（局所定数関数）の部分層、$\mathcal C^\times$ を零にならない連続関数の乗法群の層とする。$e_U(f):=\exp(2\pi\sqrt{-1}f)$ で層の射 $e\colon\mathcal C\to\mathcal C^\times$ を定めると、次が成り立つ。

$\ker e=\mathcal Z$ であり、$e$ は各茎で全射である。したがって $e$ は同型 $\mathcal C/\mathcal Z\cong\mathcal C^\times$ を誘導する（cor-qs-image-cokernel の 3・4）。
恒等関数 $u(z)=z$ は $e_X$ の像に入らない。よって $(\mathcal C/\mathcal Z)(X)\cong\mathcal C^\times(X)$ の元 $u$ は $\mathcal C(X)/\mathcal Z(X)$ から来ず、$\pi_X$ は全射でない。
$U_1=X\setminus\{1\}$、$U_2=X\setminus\{-1\}$ 上の連続関数 $f_1,f_2$ で $e_{U_i}(f_i)$ が $u$ の $U_i$ への制限に等しいものの剰余類は、商前層の切断として $U_1\cap U_2$ 上で一致するが、$X$ 上の 1 つの剰余類に貼り合わさらない。$u|_{U_i}$ は像前層の切断だが $u$ はそうでないので、像前層も貼り合わせを満たさない。
確かめを開く
1：$\exp(2\pi\sqrt{-1}f)=1$ は $f$ の値がすべて整数であることと同値で、連続な整数値関数は局所定数である。全射性：$h\in\mathcal C^\times(V)$ と $z_0\in V$ をとり、$|h(z)/h(z_0)-1|< 1$ となる $z_0$ の開近傍 $W\subset V$ をとる。$h/h(z_0)$ の値は実部が正の半平面に入るので、主値の対数 $\operatorname{Log}$ が連続に使える。$\exp(2\pi\sqrt{-1}c)=h(z_0)$ となる $c$ をとれば、$f:=c+\operatorname{Log}(h/h(z_0))/(2\pi\sqrt{-1})$ は $W$ 上連続で $e_W(f)=h|_W$ である。
2：$e_X(f)=u$ とし、$F(t):=f(e^{2\pi\sqrt{-1}t})$（$0\le t\le1$）とおく。$\exp(2\pi\sqrt{-1}F(t))=e^{2\pi\sqrt{-1}t}$ だから $F(t)-t$ は連結な $[0,1]$ 上の連続な整数値関数で定数である。よって $F(1)-F(0)=1$ だが、$F(1)=f(1)=F(0)$ に矛盾する。
3：$t\mapsto e^{2\pi\sqrt{-1}t}$ は $(0,1)$ から $U_1$ への、$(-1/2,1/2)$ から $U_2$ への同相写像なので、その逆写像 $f_1,f_2$ は $e(f_i)=u|_{U_i}$ をみたす連続関数である。$U_1\cap U_2$ は上半円と下半円の 2 つの弧からなり、$f_1-f_2$ は上半円で $0$、下半円で $1$ をとる局所定数関数だから $\mathcal Z(U_1\cap U_2)$ に入る。$f\in\mathcal C(X)$ の剰余類が $[f_1]$、$[f_2]$ に制限されるなら、$f-f_i\in\mathcal Z(U_i)$ から $e_X(f)$ は各 $U_i$ で $u$ に一致し、$e_X(f)=u$ となって 2 に反する。

反例：余核前層が局所性を破る例

$X=\mathbb C\setminus\{0\}$、$\mathcal O^\times$ を零点をもたない正則関数の乗法群の層とし、$\varphi_U(g)=g^2$ で $\varphi\colon\mathcal O^\times\to\mathcal O^\times$ を定める。層の例「反例：前層の全射が層の全射と異なる例」により、$\varphi$ は各茎で全射だが、恒等関数 $z$ は $X$ 上で平方根をもたない。余核前層の切断 $[z]\in\mathcal O^\times(X)/\varphi_X(\mathcal O^\times(X))$ は $0$ でないが、各点を中心とし $X$ に含まれる開円板の上では $z$ が平方根をもつので、その開円板の族への制限はすべて $0$ である。よって余核前層は局所性を満たさない。cor-qs-image-cokernel の 3 により $\operatorname{coker}\varphi=0$ である。

一点での値と摩天楼層

$X=\mathbb C$、$\mathcal O$ を正則関数の層、$x\in X$ とし、$x\in U$ なら $\mathcal M(U):=\{f\in\mathcal O(U)\mid f(x)=0\}$、$x\notin U$ なら $\mathcal M(U):=\mathcal O(U)$ とおく。$x$ での値をとる写像 $\mathcal O(U)\to\mathbb C$（$x\in U$ のとき）と零写像（$x\notin U$ のとき）は、層の射 $\mathcal O\to i_{x*}\mathbb C$（摩天楼層）を与え、その核は $\mathcal M$ で、定数関数があるので各開集合で全射である。cor-qs-image-cokernel の 4 により $\mathcal O/\mathcal M\cong i_{x*}\mathbb C$ である。この例では商前層 $U\mapsto\mathcal O(U)/\mathcal M(U)$ がすでに層である。

Cartier因子の局所的な記述

スキーム $X$ 上の有理関数の層の可逆元の層 $\mathcal K_X^\times$ と、その部分層 $\mathcal O_X^\times$ について、商層 $\mathcal K_X^\times/\mathcal O_X^\times$ の大域切断が Cartier因子である。thm-qs-basic の 3（乗法的に書いたもの）により、Cartier 因子は開被覆 $\{U_i\}$ と $f_i\in\mathcal K_X^\times(U_i)$ で $f_i/f_j\in\mathcal O_X^\times(U_i\cap U_j)$ をみたす族として与えられ、2 つの族は $f_i/g_k$ がすべて $\mathcal O_X^\times$ に入るとき同じ因子を定める。

反例

prop-qs-presheaf・thm-qs-basic・thm-qs-abelian の前提を 1 つずつ外すと、次のことが成り立たなくなる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
商前層を層化すること	$S^1$ 上の $U\mapsto\mathcal C(U)/\mathcal Z(U)$（ex-qs-circle の 3）	貼り合わせ条件
割るものが部分層であること	$\mathbb C\setminus\{0\}$ 上の $\mathcal O^\times(U)/\varphi_U(\mathcal O^\times(U))$（ex-qs-cokernel-presheaf）	局所性（prop-qs-presheaf の 3）
代表をとる開集合を小さくしてよいこと	$U=S^1$ 上の $u\in(\mathcal C/\mathcal Z)(S^1)$（ex-qs-circle の 2）	$\pi_U$ の全射性
全射を各茎の全射で定めること（各開集合での全射に替える）	$S^1$ 上の $e\colon\mathcal C\to\mathcal C^\times$。エピ射だが $e_{S^1}$ は全射でない	エピ射であることと全射であることの同値（thm-qs-abelian）