ホモトピーファイバー

$F_f(y_0)$ は直積 $X\times Y^I$ の部分空間なので、$G$ の連続性は 2 つの成分 $g\colon Z\to X$、$\Gamma\colon Z\to Y^I$ の連続性と同値である（直積位相）。$I$ は局所コンパクト Hausdorff なので、コンパクト開位相 の定理「指数法則」により、$\Gamma$ の連続性は $\check\Gamma$ の連続性と同値である。$\square$

ホモトピーはすべて基点付きで、連続性は lem-hofib-maps と ループ空間 の補題「ループ空間への写像の連続性」で確かめる。
$[A,X]_*$ での完全性． $K((x,\gamma),s):=\gamma(1-s)$ は $f\circ\pi$ から定値写像への $F_f$ 上のホモトピーである（$s=0$ で $\gamma(1)=f(x)$、$s=1$ で $\gamma(0)=y_0$、基点では $c_{y_0}(1-s)=y_0$）。よって $f_*\circ\pi_*$ は基点への写像である。逆に $g\colon A\to X$ について $f\circ g$ が定値写像とホモトピックなら、定値写像から $f\circ g$ へのホモトピー $H\colon A\times I\to Y$（$H(a,0)=y_0$、$H(a,1)=f(g(a))$、$H(a_0,s)=y_0$）がとれる。$\tilde g(a):=(g(a),H(a,\cdot))$ は基点付き写像 $A\to F_f$ で $\pi\circ\tilde g=g$ だから、$[g]=\pi_*[\tilde g]$ である。
$[A,F_f]_*$ での完全性． $\pi\circ j$ は定値写像である。逆に $G=(g,\Gamma)\colon A\to F_f$ について、$g$ から定値写像へのホモトピー $K\colon A\times I\to X$（$K(a,0)=g(a)$、$K(a,1)=x_0$、$K(a_0,s)=x_0$）があるとする。道 $\Gamma(a)$ のあとに道 $u\mapsto f(K(a,u))$（$0\le u\le s$）をつないで $I$ に縮め、
$$ \Gamma_s(a)(t):=\begin{cases}\Gamma(a)\bigl((1+s)t\bigr)&\bigl(t\le\tfrac1{1+s}\bigr)\\ f\bigl(K(a,(1+s)t-1)\bigr)&\bigl(t\ge\tfrac1{1+s}\bigr)\end{cases} $$
とおく。境目では両式とも $\Gamma(a)(1)=f(g(a))=f(K(a,0))$ となり、2 つの閉集合の上の連続写像が貼り合うので $(a,s,t)\mapsto\Gamma_s(a)(t)$ は連続である。$\Gamma_s(a)(0)=y_0$、$\Gamma_s(a)(1)=f(K(a,s))$ だから $G_s(a):=(K(a,s),\Gamma_s(a))$ はホモトピー $A\times I\to F_f$ を定め、$G_0=G$ である。$s=1$ では $K(a,1)=x_0$ なので $\omega(a):=\Gamma_1(a)$ は $y_0$ でのループで、$G_1=j\circ\omega$ である。基点では $\Gamma(a_0)=c_{y_0}$、$K(a_0,u)=x_0$ だから $G_s(a_0)$ はつねに基点である。よって $[G]=j_*[\omega]$ である。
$[A,\Omega Y]_*$ での完全性． ループ $\lambda\in\Omega X$ に対し $L(\lambda,s):=\bigl(\lambda(s),\ t\mapsto f(\lambda(st))\bigr)$ とおく。第 2 成分は $y_0$ から $f(\lambda(s))$ への道なので $L$ は $\Omega X\times I\to F_f$ を定め、$L(\lambda,0)$ は基点、$L(\lambda,1)=(x_0,f\circ\lambda)=j(\Omega f(\lambda))$、$L(c_{x_0},s)$ は基点である。よって $j\circ\Omega f$ は定値写像とホモトピックで、$j_*\circ(\Omega f)_*$ は基点への写像である。
逆に $\omega\colon A\to\Omega Y$ について、$j\circ\omega$ から定値写像へのホモトピー $G=(K,\Gamma)\colon A\times I\to F_f$ があるとする。$K(a,0)=K(a,1)=x_0$ である。$Q_a(s,t):=\Gamma(a,s)(t)$ とおくと、正方形 $I\times I$ の辺の上の値は
$$ Q_a(0,t)=\omega(a)(t),\qquad Q_a(1,t)=y_0,\qquad Q_a(s,0)=y_0,\qquad Q_a(s,1)=f(K(a,s)) $$
である。辺 $\{0\}\times I$ をたどる道 $\beta_0(t):=(0,t)$ と、残りの 3 辺をたどる道
$$ \beta_1(t):=\begin{cases}(3t,0)&(t\le\tfrac13)\\(1,3t-1)&(\tfrac13\le t\le\tfrac23)\\(3-3t,1)&(t\ge\tfrac23)\end{cases} $$
を線分で結ぶ $\beta_u:=(1-u)\beta_0+u\beta_1$ は、正方形が凸なので正方形の中の $(0,0)$ から $(0,1)$ への道である。$W(a,u):=Q_a\circ\beta_u$ の端点の値は $Q_a(0,0)=y_0$、$Q_a(0,1)=f(K(a,0))=y_0$ なので、$W$ は $\Omega Y$ の中のホモトピーで、$W(a,0)=\omega(a)$、$W(a,1)=f\circ\mu(a)$ である。ここで
$$ \mu(a)(t):=\begin{cases}x_0&(t\le\tfrac23)\\K(a,3-3t)&(t\ge\tfrac23)\end{cases} $$
は $x_0$ でのループで、$\mu\colon A\to\Omega X$ は連続である。基点では $G(a_0,s)$ が基点なので $W(a_0,u)=c_{y_0}$、$\mu(a_0)=c_{x_0}$ である。よって $[\omega]=(\Omega f)_*[\mu]$ である。$\square$

要点：両辺の点は、どちらも「$(s,t)\mapsto\Gamma_s(t)$ という正方形の写像と、ループ $\lambda$」の組で、境界の条件も一致する。

要点：prop-hofib-loop を繰り返し使うと、$\Omega^k$ を施した 3 項の部分が、$\Omega^kf$ に thm-hofib-exact を当てた列と同相写像で対応する。

cor-hofib-long を $A=S^0$ に当てる。$[S^0,Z]_*$ は弧状連結成分の集合 $\pi_0(Z)$ である（基点付き空間 の定義「基点付きホモトピー」のあとの説明）。ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」を繰り返すと $\pi_0(\Omega^nZ)\cong\pi_1(\Omega^{n-1}Z)\cong\cdots\cong\pi_n(Z)$ であり、この対応は式から基点付き写像 $Z\to Z'$ と可換である。よって $\Omega^n\pi$、$\Omega^nf$ は $\pi_*$、$f_*$ に、$\Omega^nj$ は $\partial$ にうつる。準同型であることは、$\pi_*$、$f_*$、$j_*$ が基点付き写像の誘導する写像であること（ホモトピー群 の命題「関手性とホモトピー不変性」）と、ずれの同型が $n\ge1$ で群の同型であることによる。$\square$

要点：道 $\gamma$ を終点の側から縮めるホモトピーを $E$ に持ち上げ、終点に $F$ の点を得る写像 $r$ を作る。同じ持ち上げが $\iota\circ r\simeq\mathrm{id}$ と $r\circ\iota\simeq\mathrm{id}$ を与える。

基点付き写像 $p\colon(E,e_0)\to(B,b_0)$ に cor-hofib-homotopy-groups を当てる。$\pi\circ\iota=i$ であり、$\iota$ は thm-hofib-fibration によりホモトピー同値なので、$\iota_*\colon\pi_n(F,e_0)\to\pi_n(F_p,(e_0,c_{b_0}))$ は同型（$n=0$ では弧状連結成分の全単射）である。列の $\pi_n(F_p)$ を $\iota_*$ で $\pi_n(F)$ に取り替え、$\partial$ を $\iota_*^{-1}\circ\partial$ に取り替えればよい。$\square$