曲率(曲線)
概要
曲率(曲線)（curvature of a curve）とは、Euclid 空間の正則曲線を弧長 $s$ で表したときの単位接ベクトル $T$ の変化の速さ $\kappa=|dT/ds|$ のことで、直線では $0$、半径 $r$ の円では $1/r$ になる。一般の径数では $\kappa=|\gamma'\times\gamma''|/|\gamma'|^3$ などの式で計算でき、平面曲線では左右の曲がり方を区別する符号つき曲率が、曲線を回転と平行移動を除いてただ 1 つに決める。空間曲線では曲率に捩率を加えた Frenet–Serret の公式が成り立ち、曲率が正なら曲率と捩率の組が曲線を合同を除いて決める。曲面の主曲率や測地曲率、Riemann 多様体の曲率へ続く出発点である。
曲線が点ごとにどれだけ曲がっているかを 1 つの数で表したものが 曲率 である。直線では $0$、半径 $r$ の円では $1/r$ になり、一般の曲線では「長さ $1$ だけ進むあいだに、進む向きがどれだけ変わるか」を測る。平面曲線 $y=f(x)$ や媒介変数表示の平面曲線の曲率を、高校数学の微分で扱い、曲率円との関係を調べる記事は 曲率（高校数学） である。この記事では、$n$ 次元の Euclid空間 $\mathbb R^n$ の曲線について弧長を使って曲率を定め、次の問いに答える。
- 曲率は、曲線の表し方（媒介変数のとり方）によらずに決まるか。→ prop-cc-arclength、prop-cc-formula
- 曲率が $0$ の曲線は何か。→ prop-cc-line
- 平面曲線は、符号つき曲率で合同を除いて決まるか。→ thm-cc-plane
- 空間曲線を決めるには、曲率のほかに何が要るか。→ Frenet–Serretの公式以下、$\langle\ ,\ \rangle$ は $\mathbb R^n$ の標準内積、$|\cdot|$ はそのノルムである。区間は内点をもつものとし、微分は区間の端では片側微分とする。
曲線のある空間 曲がり方を測る量 曲線を合同を除いて決めるもの 平面 $\mathbb R^2$ 符号つき曲率 $\kappa_s$（左へ曲がると正） $\kappa_s$（thm-cc-plane） 空間 $\mathbb R^3$ 曲率 $\kappa\ge0$ と捩率 $\tau$ $\kappa>0$ のとき $\kappa$ と $\tau$ の組（Frenet–Serretの公式 の定理「空間曲線の基本定理」） 一般の $\mathbb R^n$ 曲率 $\kappa\ge0$ $\kappa$ だけでは決まらない（ex-cc-helix）
正則曲線と弧長
定義
$I\subset\mathbb R$ を区間、$k\ge1$ を整数とする。$C^k$ 級の写像 $\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ で、すべての $t\in I$ で $\gamma'(t)\neq0$ となるものを $C^k$ 級の 正則曲線 という。$|\gamma'(t)|$ を $t$ での 速さ という。$t_0\in I$ を決めて
$$
s(t)=\int_{t_0}^{t}|\gamma'(u)|\,du
$$
を $\gamma(t_0)$ から測った 弧長 という。すべての $t$ で $|\gamma'(t)|=1$ となる曲線を、弧長で径数付けられた 曲線（単位速さの曲線）という。
$t>t_0$ のとき、$s(t)$ は $\gamma(t_0)$ から $\gamma(t)$ までの曲線の長さである（媒介変数表示と曲線の長さ の定理「曲線の長さの公式」）。
$\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ を $C^k$ 級の正則曲線、$s$ をその弧長とし、$J=s(I)$ とおく。
- $s\colon I\to J$ は $C^k$ 級の全単射で、逆写像 $s^{-1}\colon J\to I$ も $C^k$ 級である。
- $\sigma=\gamma\circ s^{-1}\colon J\to\mathbb R^n$ は弧長で径数付けられた $C^k$ 級の曲線で、$\gamma(t)=\sigma\bigl(s(t)\bigr)$ を満たす。
- 区間 $J'$ から $I$ への $C^1$ 級の全単射 $\varphi$ で $\varphi'$ が $0$ にならないものについて、$\gamma\circ\varphi$ も弧長で径数付けられているなら、定数 $c$ と $\varepsilon\in\{1,-1\}$ があって、すべての $\tilde s\in J'$ で $s\bigl(\varphi(\tilde s)\bigr)=\varepsilon\tilde s+c$ となる。
要点：$s'=|\gamma'|>0$ なので $s$ は狭義単調増加で、逆関数の微分から $s^{-1}$ も $C^k$ 級になる。3 は、径数の取りかえ $\psi=s\circ\varphi$ が $|\psi'|=1$ を満たすことから従う。
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1. $s'(t)=|\gamma'(t)|=\sqrt{\langle\gamma'(t),\gamma'(t)\rangle}$ である。$\gamma'$ は $C^{k-1}$ 級で $0$ にならないので、$s'$ は正の値をとる $C^{k-1}$ 級の関数であり、$s$ は $C^k$ 級で狭義単調増加である。よって $s$ は $I$ から区間 $J$ への全単射である。1 変数の逆関数の微分により $s^{-1}$ は微分可能で $(s^{-1})'(u)=1/s'\bigl(s^{-1}(u)\bigr)$ であり、右辺が $C^{j}$ 級なら $s^{-1}$ は $C^{j+1}$ 級なので、$j=0,1,\dots,k-1$ と順に上げて $s^{-1}$ は $C^k$ 級である。
2. 連鎖律により、$u\in J$、$t=s^{-1}(u)$ について $\sigma'(u)=\gamma'(t)\,(s^{-1})'(u)=\gamma'(t)/|\gamma'(t)|$ で、長さは $1$ である。
3. $\psi=s\circ\varphi\colon J'\to J$ とおくと $\gamma\circ\varphi=\sigma\circ\psi$ である。両辺を微分すると $(\gamma\circ\varphi)'(\tilde s)=\sigma'\bigl(\psi(\tilde s)\bigr)\psi'(\tilde s)$ で、両辺の長さを比べて $|\psi'(\tilde s)|=1$ を得る。$\psi'=s'(\varphi)\varphi'$ は連続で $0$ にならないので、区間 $J'$ の上で符号が一定である。よって $\psi'$ は $1$ か $-1$ の定数 $\varepsilon$ で、$\psi(\tilde s)=\varepsilon\tilde s+c$ である。$\square$
弧長で径数付けられた曲線どうしは、向きを逆にすることと出発点を変えることを除いて同じものである（prop-cc-arclength の 3）。曲率はこの径数を使って定める。
曲率
$\sigma\colon J\to\mathbb R^n$ を弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線とする。$T(s)=\sigma'(s)$ を 単位接ベクトル といい、
$$
\kappa(s)=|T'(s)|=|\sigma''(s)|
$$
を点 $\sigma(s)$ での 曲率 という。$C^2$ 級の正則曲線 $\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ の $t$ での曲率は、prop-cc-arclength の $\sigma$ を使って $\kappa\bigl(s(t)\bigr)$ と定める。$\kappa\neq0$ のとき $1/\kappa$ を 曲率半径 という。
別の弧長の径数 $\sigma(\varepsilon\tilde s+c)$ を使っても、2 回微分すると $\varepsilon^2\sigma''=\sigma''$ なので、曲率は変わらない。また、$\mathbb R^n$ の合同変換 $x\mapsto Ax+b$（$A$ は直交行列）で曲線を動かすと $\sigma''$ は $A\sigma''$ になり、長さは変わらないので、曲率も変わらない。
$|T|=1$ を微分すると $2\langle T',T\rangle=0$ なので、$T'(s)$ はいつも $T(s)$ に垂直である。曲率は、進む向き $T$ が単位の弧長あたりに変わる速さである。
$\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ を $C^2$ 級の正則曲線とする。曲率は
$$
\kappa=\frac{\sqrt{|\gamma'|^2|\gamma''|^2-\langle\gamma',\gamma''\rangle^2}}{|\gamma'|^3}
$$
で与えられる。とくに $n=3$ では $\kappa=\dfrac{|\gamma'\times\gamma''|}{|\gamma'|^3}$（$\times$ はベクトルの外積）、$n=2$ で $\gamma=(x,y)$ なら $\kappa=\dfrac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ である。
要点：弧長の径数 $\sigma$ を使うと $\gamma'=vT$、$\gamma''=v'T+v^2T'$（$v=|\gamma'|$）で、$T\perp T'$ から分子の根号の中が $v^6\kappa^2$ になる。
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$v=|\gamma'|=s'$ とおき、$\sigma$ を prop-cc-arclength の弧長の径数とする。$\gamma(t)=\sigma\bigl(s(t)\bigr)$ を微分すると、連鎖律により$$\gamma'=v\,T,\qquad \gamma''=v'\,T+v^2\,T'$$である（$T$、$T'$ は $s(t)$ での値）。$|T|=1$、$\langle T,T'\rangle=0$、$|T'|=\kappa$ なので$$|\gamma''|^2=v'^2+v^4\kappa^2,\qquad \langle\gamma',\gamma''\rangle=vv'$$であり、$|\gamma'|^2|\gamma''|^2-\langle\gamma',\gamma''\rangle^2=v^2\bigl(v'^2+v^4\kappa^2\bigr)-v^2v'^2=v^6\kappa^2$ となる。両辺の平方根をとって $v^3$ で割ればよい。$n=3$ では Lagrange の恒等式 $|a\times b|^2=|a|^2|b|^2-\langle a,b\rangle^2$ を、$n=2$ では $(x'^2+y'^2)(x''^2+y''^2)-(x'x''+y'y'')^2=(x'y''-x''y')^2$ を使う。$\square$
$n=2$ の式から絶対値を外したものが、曲率（高校数学） の定義「符号つきの曲率」の式である（下の def-cc-signed で、符号の意味を弧長の言葉で述べる）。
- 半径 $r>0$ の円 $\gamma(t)=(r\cos t,\ r\sin t)$ では $|\gamma'|=r$、$x'y''-x''y'=r^2$ なので $\kappa=r^2/r^3=1/r$ である。
- $a>0$、$b\in\mathbb R$ とし、常螺旋 $\gamma(t)=(a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ を考える。
$$ \gamma'=(-a\sin t,\ a\cos t,\ b),\qquad \gamma''=(-a\cos t,\ -a\sin t,\ 0),\qquad \gamma'\times\gamma''=(ab\sin t,\ -ab\cos t,\ a^2) $$
なので $|\gamma'|=\sqrt{a^2+b^2}$、$|\gamma'\times\gamma''|=a\sqrt{a^2+b^2}$ で、
$$ \kappa=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}}=\frac{a}{a^2+b^2} $$
である。曲率はどの点でも同じ値である。$b=0$ では半径 $a$ の円になり $\kappa=1/a$、$|b|$ を大きくすると螺旋は引き伸ばされて $\kappa\to0$ となる。$a=2$、$b=0$ の円（半径 $2$）と、$a=1$、$b=1$ の常螺旋は、どちらも曲率がいつも $\dfrac12$（$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{1+1}$）だが、一方は平面に含まれ、他方は含まれない（Frenet–Serretの公式 の命題「捩率が 0 の曲線」）。空間の曲線は曲率だけでは決まらない。
$\gamma\colon I\to\mathbb R^n$ を $C^2$ 級の正則曲線とする。$I$ のすべての点で $\kappa=0$ であることと、点 $p$、単位ベクトル $e$、$\varphi'$ が $0$ にならない $C^2$ 級関数 $\varphi\colon I\to\mathbb R$ によって $\gamma(t)=p+\varphi(t)e$ と書けることは同値である。とくにこのとき、$\gamma$ の像は 1 本の直線に含まれる。
要点：弧長の径数で $\kappa\equiv0$ は $\sigma''\equiv0$ のことなので、$\sigma$ は 1 次式である。
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弧長の径数 $\sigma\colon J\to\mathbb R^n$ をとる。$\kappa\equiv0$ なら区間 $J$ 上で $\sigma''=0$ なので、$\sigma'$ は定数の単位ベクトル $e$ である。$\tilde s_0\in J$ を 1 つ決めて $p=\sigma(\tilde s_0)-\tilde s_0e$ とおくと、$\sigma(\tilde s)=p+\tilde se$ である。よって $\gamma(t)=\sigma\bigl(s(t)\bigr)=p+s(t)e$ で、$\varphi=s$ とすればよい。逆に $\gamma=p+\varphi e$ なら $\gamma'=\varphi'e$、$\gamma''=\varphi''e$ は平行なので、prop-cc-formula の分子は $|\varphi'|^2|\varphi''|^2-(\varphi'\varphi'')^2=0$ で、$\kappa=0$ である。$\square$
平面曲線：符号つき曲率と基本定理
平面では、曲線が左へ曲がるか右へ曲がるかを符号で区別できる。以下、$J_0(a,b)=(-b,a)$ を、平面のベクトルを反時計回りに直角だけ回す写像とする。$\langle w,J_0w\rangle=0$、$|J_0w|=|w|$ である。
$\sigma\colon J\to\mathbb R^2$ を弧長で径数付けられた $C^2$ 級の平面曲線とし、$N(s)=J_0T(s)$ を 単位法ベクトル とする（進む向きに対して左を向く）。$T'(s)$ は $T(s)$ に垂直なので、実数 $\kappa_s(s)$ によって
$$
T'(s)=\kappa_s(s)\,N(s)
$$
と書ける。$\kappa_s(s)$ を 符号つき曲率 という。$|\kappa_s|=\kappa$ である。一般の正則な平面曲線では、$t$ と同じ向きに増える弧長の径数を使って定める。
$\gamma=(x,y)$ を $C^2$ 級の正則な平面曲線とすると、prop-cc-formula の証明の式 $\gamma'=vT$、$\gamma''=v'T+v^2\kappa_sN$ から、$\gamma'$ と $\gamma''$ を並べた行列式は $\det(vT,\ v'T+v^2\kappa_sN)=v^3\kappa_s\det(T,N)=v^3\kappa_s$ である。よって
$$
\kappa_s=\frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}
$$
で、これは 曲率（高校数学） の定義「符号つきの曲率」と一致する。向きを逆にたどると $T$ と $N$ がともに符号を変えるので $\kappa_s$ も符号を変え、回転 $R\in SO(2)$ で動かすと、$R$ と $J_0$ は交換するので $\kappa_s$ は変わらない。
$\sigma\colon J\to\mathbb R^2$ を弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線、$s_0\in J$ とし、$T(s_0)=(\cos\theta_0,\ \sin\theta_0)$ とする。
$$
\theta(s)=\theta_0+\int_{s_0}^{s}\kappa_s(u)\,du
$$
とおくと、すべての $s\in J$ で $T(s)=\bigl(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s)\bigr)$ である。
$e(s)=\bigl(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s)\bigr)$ とおく。$\kappa_s$ は連続なので $\theta$ は $C^1$ 級で、$e'=\theta'\,(-\sin\theta,\ \cos\theta)=\kappa_s\,J_0e$ である。一方 $T'=\kappa_sJ_0T$ なので、$D=T-e$ は $D'=\kappa_sJ_0D$ を満たす。$f=|D|^2$ を微分すると $f'=2\langle D,\kappa_sJ_0D\rangle=0$ で、$f(s_0)=0$ だから $f\equiv0$、つまり $T=e$ である。$\square$
曲率（高校数学） の定理「曲率は接線の角の弧長による微分」は、接線の角を各点の近くでとって $\kappa_s=d\theta/ds$ を示していた。lem-cc-angle は、区間全体で 1 つの連続な接線の角がとれることも示している。
$J$ を区間、$k\colon J\to\mathbb R$ を連続関数とする。
- （存在と一意性）$s_0\in J$、$p_0\in\mathbb R^2$、$\theta_0\in\mathbb R$ に対し、弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線 $\sigma\colon J\to\mathbb R^2$ で、符号つき曲率が $k$ に等しく、$\sigma(s_0)=p_0$、$\sigma'(s_0)=(\cos\theta_0,\ \sin\theta_0)$ を満たすものがただ 1 つある。それは
$$ \theta(s)=\theta_0+\int_{s_0}^{s}k(u)\,du,\qquad \sigma(s)=p_0+\int_{s_0}^{s}\bigl(\cos\theta(u),\ \sin\theta(u)\bigr)\,du $$
で与えられる。 - （合同）弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線 $\sigma,\tilde\sigma\colon J\to\mathbb R^2$ の符号つき曲率がすべての $s$ で等しいなら、回転 $R\in SO(2)$ と $b\in\mathbb R^2$ の組がただ 1 つあって、$\tilde\sigma=R\sigma+b$ となる。逆に $\tilde\sigma=R\sigma+b$（$R\in SO(2)$）なら、2 つの符号つき曲率は等しい。
1 の存在：式で定めた $\sigma$ について、$\theta$ は $C^1$ 級なので $\sigma'=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ は $C^1$ 級で長さ $1$ であり、$\sigma$ は弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線である。$T'=\theta'(-\sin\theta,\ \cos\theta)=k\,J_0T$ なので符号つき曲率は $k$ で、$\sigma(s_0)=p_0$、$\sigma'(s_0)=(\cos\theta_0,\ \sin\theta_0)$ である。
1 の一意性：$\tilde\sigma$ も条件を満たすとする。lem-cc-angle を $\tilde\sigma$ に当てると（$s_0$ での角は $\theta_0$ にとれる）、$\tilde\sigma'(s)=\bigl(\cos\tilde\theta(s),\ \sin\tilde\theta(s)\bigr)$、$\tilde\theta(s)=\theta_0+\int_{s_0}^sk(u)\,du=\theta(s)$ である。よって $\tilde\sigma'=\sigma'$ で、$\tilde\sigma(s_0)=\sigma(s_0)$ だから $\tilde\sigma=\sigma$ である。
2：$s_0\in J$ を 1 つとり、$\sigma'(s_0)=(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$、$\tilde\sigma'(s_0)=(\cos\beta,\ \sin\beta)$ とする。$R$ を角 $\beta-\alpha$ の回転、$b=\tilde\sigma(s_0)-R\sigma(s_0)$ とおき、$\rho=R\sigma+b$ とする。$\rho'=RT$、$\rho''=RT'=\kappa_s\,RJ_0T=\kappa_s\,J_0(RT)$ なので、$\rho$ は弧長で径数付けられ、符号つき曲率は $\kappa_s$、つまり $\tilde\sigma$ の符号つき曲率に等しい。さらに $\rho(s_0)=\tilde\sigma(s_0)$、$\rho'(s_0)=(\cos\beta,\ \sin\beta)=\tilde\sigma'(s_0)$ なので、1 の一意性から $\rho=\tilde\sigma$ である。組の一意性：$\tilde\sigma=R_1\sigma+b_1=R_2\sigma+b_2$ なら、微分して $R_1T(s_0)=R_2T(s_0)$ で、単位ベクトル 1 つの行き先が同じ回転は等しいので $R_1=R_2$、したがって $b_1=b_2$ である。逆の主張は、上の $\rho$ の計算そのものである。$\square$
2 の合同の主張は、滑らかな曲線について Lee18 Theorem 1.5（p. 3）に述べられている。曲率の関数が、曲線を形まで記録する「設計図」になっているということである。曲率（高校数学） の節「大学数学で見る：曲率で曲線が決まる」は、この定理の存在の部分の計算を紹介していた。
- $k$ が定数 $c\neq0$ のとき、$s_0=0$、$p_0=(0,0)$、$\theta_0=0$ とすると $\theta=cs$、$\sigma(s)=\dfrac1c\bigl(\sin cs,\ 1-\cos cs\bigr)$ で、中心 $(0,\ 1/c)$、半径 $1/|c|$ の円である。$k\equiv0$ なら直線 $\sigma(s)=(s,0)$ である。
- $k(s)=\dfrac1{1+s^2}$（$s\in\mathbb R$）とし、$s_0=0$、$p_0=(0,0)$、$\theta_0=0$ とする。$\theta(s)=\arctan s$ なので $\cos\theta=\dfrac1{\sqrt{1+s^2}}$、$\sin\theta=\dfrac{s}{\sqrt{1+s^2}}$ で、
$$ \sigma(s)=\left(\int_0^s\frac{du}{\sqrt{1+u^2}},\ \int_0^s\frac{u\,du}{\sqrt{1+u^2}}\right)=\left(\operatorname{arsinh}s,\ \sqrt{1+s^2}-1\right) $$
である。$x=\operatorname{arsinh}s$ とおくと $y=\sqrt{1+\sinh^2x}-1=\cosh x-1$ なので、これは懸垂線 $y=\cosh x-1$ である（双曲線関数）。懸垂線の頂点から測った弧長は $\sinh x$ であり、曲率は頂点で $1$、遠くへ行くほど $0$ に近づく。 - $k(s)=s$ とすると $\theta=s^2/2$ で、$\sigma(s)=\left(\displaystyle\int_0^s\cos\frac{u^2}2\,du,\ \int_0^s\sin\frac{u^2}2\,du\right)$ となる。曲率が弧長に比例して増え、曲線は進むほどきつく巻く。この曲線は Euler の螺旋（クロソイド）とよばれる。
(2) の積分の計算を開く
$(\operatorname{arsinh}u)'=\dfrac1{\sqrt{1+u^2}}$、$\bigl(\sqrt{1+u^2}\bigr)'=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}$ である。符号つき曲率を逆に確かめると、$\sigma'=\dfrac{(1,\ s)}{\sqrt{1+s^2}}$、$\sigma''=\dfrac{(-s,\ 1)}{(1+s^2)^{3/2}}=\dfrac1{1+s^2}\cdot\dfrac{(-s,\ 1)}{\sqrt{1+s^2}}=\dfrac1{1+s^2}\,J_0\sigma'$ で、$k(s)=\dfrac1{1+s^2}$ になっている。
左：常螺旋 (cos t, sin t, t/4) と 3 つの点での Frenet 標構。赤が T、緑が N、青が B。右：符号つき曲率 k(s) から組み立てた曲線。k = 1 は円、k = 1/(1+s²) は懸垂線、k = s は Euler の螺旋で、実線が s ≥ 0、破線が s ≤ 0 の部分
$\sigma\colon[0,L]\to\mathbb R^2$ が閉曲線で $\sigma'(0)=\sigma'(L)$ なら、lem-cc-angle の $\theta$ について $\bigl(\cos\theta(L),\sin\theta(L)\bigr)=\bigl(\cos\theta(0),\sin\theta(0)\bigr)$ なので
$$
\int_0^L\kappa_s(s)\,ds=\theta(L)-\theta(0)\in2\pi\mathbb Z
$$
である。この整数を $2\pi$ で割ったものを 回転指数 という（単位接ベクトル $T$ が原点のまわりを回る回数で、回転数 の考え方を $T$ に当てたものである）。自分自身と交わらない閉曲線を、内側を左に見る向きにたどると、回転指数は $1$ である（Hopf の回転指数定理。Lee18 Theorem 1.6（p. 3）、Theorem 9.1（p. 266）。この記事では証明しない）。
空間曲線
空間の曲線は、曲がるだけでなく、曲がっている平面そのものが回ってねじれる。ex-cc-helix の円と常螺旋は曲率が同じでも、常螺旋は平面から浮き上がる。弧長で径数付けられ、曲率が正の $C^3$ 級の曲線には、単位接ベクトル $T$、主法線ベクトル $N=T'/\kappa$、従法線ベクトル $B=T\times N$ からなる正の向きの正規直交基底（Frenet 標構）が沿って動く。その微分は曲率 $\kappa$ と、ねじれを測る関数である捩率 $\tau$ によって
$$
T'=\kappa N,\qquad N'=-\kappa T+\tau B,\qquad B'=-\tau N
$$
と表される（Frenet–Serretの公式）。捩率が恒等的に $0$ であることは曲線が 1 つの平面に含まれることと同値であり（同記事の命題「捩率が 0 の曲線」）、曲率が正の曲線は曲率と捩率の組によって回転と平行移動を除いてただ一つに決まる（同記事の定理「空間曲線の基本定理」）。ex-cc-helix の常螺旋 $(a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ の捩率は $\tau=b/(a^2+b^2)$ で、円（$b=0$）では $0$ である。
例と反例
prop-cc-formula の仮定「正則」、thm-cc-plane の 2 の「回転だけ」を外すと、それぞれ結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 正則（$\gamma'\neq0$） | $(t^2,\ t^3)$ の $t=0$ | 曲率が有限の値として定まる |
| 回転と平行移動だけで動かす | 放物線 $(t,\ t^2)$ と鏡映 $(t,\ -t^2)$ | 合同な曲線の符号つき曲率は等しい |
表の 1・2 行目を確かめる。
2 つの反例の確かめを開く
1 行目は 曲率（高校数学） の例「反例：速さが 0 になる点」で計算されている。$t\neq0$ では $\kappa=\dfrac{6}{|t|(4+9t^2)^{3/2}}$ で、$t\to0$ のとき $\kappa\to\infty$ である。
2 行目：鏡映 $(x,y)\mapsto(x,-y)$ は合同変換だが、$(t,t^2)$ の $t=0$ での符号つき曲率 $2$ は、像 $(t,-t^2)$ では $-2$ になる。鏡映は $J_0$ と交換せず $J_0$ の符号を変えるからである。曲率 $\kappa=|\kappa_s|$ は鏡映でも変わらない。
補足
曲面の上の曲線。 曲線 $\sigma$ が $\mathbb R^3$ の曲面の上にあるとき、加速度 $\sigma''=\kappa N$ を、曲面の単位法ベクトル $\nu$ の方向と、曲面に接する方向に分けることができる。$\nu$ 方向の成分 $\kappa_n=\langle\sigma'',\nu\rangle$ を 法曲率、接する方向の成分の符号つきの大きさ $\kappa_g$ を 測地曲率 といい、$\kappa^2=\kappa_n^2+\kappa_g^2$ である。法曲率は曲線の接ベクトルの向きだけで決まり、その最大値と最小値が曲面の主曲率で、その積が曲面の Gauss 曲率である（Gauss曲率 の記事で示す）。測地曲率は曲面の内側から見た曲がり方で、Gauss–Bonnetの定理 の境界の項に現れる。単位速さの曲線で測地曲率がいつも $0$ のものが、曲面の 測地線 である（Lee18 Corollary 8.3（p. 229）の Gauss の公式による）。
曲率円。 $\mathbb R^n$ の弧長で径数付けられた曲線で $\sigma''(s_0)\neq0$ のとき、$\sigma(s_0)$ で位置・速度・加速度が $\sigma$ と一致する単位速さの円がただ 1 つあり、その半径は $1/\kappa(s_0)$ である（Lee18 Proposition 8.21（p. 245））。平面曲線の場合は 曲率（高校数学） の定理「曲率円」で証明されている。
Riemann 多様体の曲線。 Riemann多様体 の上の曲線では、$\sigma''$ の代わりに速度ベクトルの共変微分 $D_t\sigma'$ を使い、その長さで曲率を定める。
関連項目
- 前提: 曲率（高校数学）, 内積, 正規直交基底, 線形常微分方程式
- 比較: 曲率形式, 断面曲率
- 次に読む: Gauss曲率, Gauss–Bonnetの定理
- 関連: 媒介変数表示と曲線の長さ, 縮閉線, 回転数, 双曲線関数
- 発展: 測地線, Riemann多様体, 微分幾何学
参考文献
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