曲率(曲線)

要点：$s'=|\gamma'|>0$ なので $s$ は狭義単調増加で、逆関数の微分から $s^{-1}$ も $C^k$ 級になる。3 は、径数の取りかえ $\psi=s\circ\varphi$ が $|\psi'|=1$ を満たすことから従う。

要点：弧長の径数 $\sigma$ を使うと $\gamma'=vT$、$\gamma''=v'T+v^2T'$（$v=|\gamma'|$）で、$T\perp T'$ から分子の根号の中が $v^6\kappa^2$ になる。

要点：弧長の径数で $\kappa\equiv0$ は $\sigma''\equiv0$ のことなので、$\sigma$ は 1 次式である。

$e(s)=\bigl(\cos\theta(s),\ \sin\theta(s)\bigr)$ とおく。$\kappa_s$ は連続なので $\theta$ は $C^1$ 級で、$e'=\theta'\,(-\sin\theta,\ \cos\theta)=\kappa_s\,J_0e$ である。一方 $T'=\kappa_sJ_0T$ なので、$D=T-e$ は $D'=\kappa_sJ_0D$ を満たす。$f=|D|^2$ を微分すると $f'=2\langle D,\kappa_sJ_0D\rangle=0$ で、$f(s_0)=0$ だから $f\equiv0$、つまり $T=e$ である。$\square$

1 の存在：式で定めた $\sigma$ について、$\theta$ は $C^1$ 級なので $\sigma'=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ は $C^1$ 級で長さ $1$ であり、$\sigma$ は弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線である。$T'=\theta'(-\sin\theta,\ \cos\theta)=k\,J_0T$ なので符号つき曲率は $k$ で、$\sigma(s_0)=p_0$、$\sigma'(s_0)=(\cos\theta_0,\ \sin\theta_0)$ である。
1 の一意性：$\tilde\sigma$ も条件を満たすとする。lem-cc-angle を $\tilde\sigma$ に当てると（$s_0$ での角は $\theta_0$ にとれる）、$\tilde\sigma'(s)=\bigl(\cos\tilde\theta(s),\ \sin\tilde\theta(s)\bigr)$、$\tilde\theta(s)=\theta_0+\int_{s_0}^sk(u)\,du=\theta(s)$ である。よって $\tilde\sigma'=\sigma'$ で、$\tilde\sigma(s_0)=\sigma(s_0)$ だから $\tilde\sigma=\sigma$ である。
2：$s_0\in J$ を 1 つとり、$\sigma'(s_0)=(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$、$\tilde\sigma'(s_0)=(\cos\beta,\ \sin\beta)$ とする。$R$ を角 $\beta-\alpha$ の回転、$b=\tilde\sigma(s_0)-R\sigma(s_0)$ とおき、$\rho=R\sigma+b$ とする。$\rho'=RT$、$\rho''=RT'=\kappa_s\,RJ_0T=\kappa_s\,J_0(RT)$ なので、$\rho$ は弧長で径数付けられ、符号つき曲率は $\kappa_s$、つまり $\tilde\sigma$ の符号つき曲率に等しい。さらに $\rho(s_0)=\tilde\sigma(s_0)$、$\rho'(s_0)=(\cos\beta,\ \sin\beta)=\tilde\sigma'(s_0)$ なので、1 の一意性から $\rho=\tilde\sigma$ である。組の一意性：$\tilde\sigma=R_1\sigma+b_1=R_2\sigma+b_2$ なら、微分して $R_1T(s_0)=R_2T(s_0)$ で、単位ベクトル 1 つの行き先が同じ回転は等しいので $R_1=R_2$、したがって $b_1=b_2$ である。逆の主張は、上の $\rho$ の計算そのものである。$\square$

$T'=\kappa N$ は $N$ の定義である。
$B'$：積の微分により $B'=T'\times N+T\times N'=\kappa N\times N+T\times N'=T\times N'$ なので、$B'$ は $T$ に垂直である。$|B|=1$ を微分して $\langle B',B\rangle=0$ でもある。$(T,N,B)$ は正規直交基底なので、$B'$ は $N$ に平行で、$\tau=-\langle B',N\rangle$ とおけば $B'=-\tau N$ である。これで捩率の定義も正当化される。
$N'$：$N'$ を基底 $(T,N,B)$ で展開する。$\langle N,T\rangle=0$ を微分して $\langle N',T\rangle=-\langle N,T'\rangle=-\kappa$、$|N|=1$ から $\langle N',N\rangle=0$、$\langle N,B\rangle=0$ を微分して $\langle N',B\rangle=-\langle N,B'\rangle=\tau$ である。よって $N'=-\kappa T+\tau B$ である。$\square$

要点：$\gamma'=vT$、$\gamma''=v'T+v^2\kappa N$ で、$\gamma'''$ の $B$ 成分は $v^3\kappa\tau$ なので、行列式は $v^6\kappa^2\tau$ になる。

要点：$\tau\equiv0$ なら $B$ が一定で、曲線は $B$ に垂直な平面に乗る。逆に平面に乗れば $B$ はその平面の単位法ベクトル $\pm e$ に等しく、連続性から一定になる。

段 1（一意性）。$\sigma,\tilde\sigma$ がともに 1 の条件を満たすとし、Frenet 標構を $(T,N,B)$、$(\tilde T,\tilde N,\tilde B)$ とする。
$$ f=\langle T,\tilde T\rangle+\langle N,\tilde N\rangle+\langle B,\tilde B\rangle $$
を thm-cc-frenet を使って微分すると
$$ f'=\langle kN,\tilde T\rangle+\langle T,k\tilde N\rangle+\langle -kT+qB,\tilde N\rangle+\langle N,-k\tilde T+q\tilde B\rangle+\langle -qN,\tilde B\rangle+\langle B,-q\tilde N\rangle=0 $$
である。$f(s_0)=3$ なので $f\equiv3$ である。単位ベクトルどうしの内積は $1$ 以下で、$1$ になるのは 2 つが等しいときだけなので、$T=\tilde T$、$N=\tilde N$、$B=\tilde B$ である。$\sigma'=\tilde\sigma'$、$\sigma(s_0)=\tilde\sigma(s_0)$ から $\sigma=\tilde\sigma$ である。
段 2（標構の方程式を解く）。$3\times3$ 行列値の未知関数 $F(s)$ について、線形微分方程式
$$ F'(s)=A(s)F(s),\qquad A=\begin{pmatrix}0&k&0\\ -k&0&q\\ 0&-q&0\end{pmatrix},\qquad F(s_0)=E $$
を考える。$E$ は第 $i$ 行が $e_i$ の行列である。これは 9 個の未知関数についての連続な係数の線形微分方程式なので、線形常微分方程式 の定理「解の存在と解空間」により、$J$ 全体で定義された解がただ 1 つある。$F$ の第 1、2、3 行を $T,N,B$ とよぶ。
段 3（正規直交性が保たれる）。$G=FF^{\mathsf T}$ とおくと、$A^{\mathsf T}=-A$ より
$$ G'=AFF^{\mathsf T}+FF^{\mathsf T}A^{\mathsf T}=AG-GA $$
である。単位行列 $I$ も $I'=0=AI-IA$ を満たし、$G(s_0)=EE^{\mathsf T}=I$ である。$G\mapsto AG-GA$ は $G$ の成分について線形なので、同じ定理の一意性により $G\equiv I$、つまり $(T,N,B)$ は各点で正規直交基底である。$\det F$ は連続で値は $\pm1$、$\det F(s_0)=1$ なので $\det F\equiv1$ で、$(T,N,B)$ は正の向きであり、$B=T\times N$ である。
段 4（曲線を作る）。$\sigma(s)=p_0+\displaystyle\int_{s_0}^sT(u)\,du$ とおく。$\sigma'=T$ は長さ $1$ である。$T'=kN$ で $k$ は $C^1$ 級、$N'=-kT+qB$ は連続なので $T$ は $C^2$ 級、$\sigma$ は $C^3$ 級である。$|T'|=k>0$ なので曲率は $k$、主法線ベクトルは $T'/k=N$、従法線ベクトルは $T\times N=B$ であり、$B'=-qN$ から捩率は $q$ である。$s_0$ での標構は $F(s_0)=E$ の行 $(e_1,e_2,e_3)$ である。
段 5（合同）。$\sigma,\tilde\sigma$ の $s_0$ での Frenet 標構はどちらも正の向きの正規直交基底なので、$R\in SO(3)$ で $RT(s_0)=\tilde T(s_0)$、$RN(s_0)=\tilde N(s_0)$、$RB(s_0)=\tilde B(s_0)$ となるものがただ 1 つある。$b=\tilde\sigma(s_0)-R\sigma(s_0)$、$\rho=R\sigma+b$ とおく。$R$ は長さ・内積・外積を保つので、$\rho$ の曲率・捩率は $\sigma$ と同じで、Frenet 標構は $(RT,RN,RB)$ である。$\rho$ と $\tilde\sigma$ は 1 の条件（$s_0$ での点と標構、曲率と捩率）を共有するので、段 1 により $\rho=\tilde\sigma$ である。組 $(R,b)$ の一意性は、$\tilde\sigma=R\sigma+b$ なら Frenet 標構が $R$ で移ることから $R$ が決まり、$b$ も決まることによる。$\square$