多角形のJordan曲線定理

方針：$X$ から見た向きを一般角で測る（一般角と弧度法）。向き $\theta$ の半直線を $h_\theta$、その交わりの数を $N(\theta)$ と書く。頂点を指す向きは有限個しかないことを使う。

段 1（辺を見る向き）。辺 $e=AB$ は $X$ を通らない。$X$、$A$、$B$ が一直線上にないとき、点 $Q$ が $A$ から $B$ まで辺の上を動くと、角 $\angle AXQ$ は $0^\circ$ から $\angle AXB$ まで増え続ける（$Q$ が $A$ から遠ざかるほど、半直線 $XQ$ は半直線 $XA$ から離れる）。$\angle AXB<180^\circ$ なので、$e$ の点を $X$ から見た向きは、$A$ の向きと $B$ の向きを結ぶ $180^\circ$ 未満の角の範囲 $I_e$ をちょうど 1 回ずつ通る。$X$、$A$、$B$ が一直線上にあるときは、$A$ と $B$ は $X$ の同じ側にあるので、$e$ の点はすべて同じ向きに見え、$I_e$ はその 1 つの向きだけである。

段 2（頂点を指さない向き）。$\theta$ がどの頂点の向きとも違うとする。$I_e$ の端は $e$ の端の点の向き、つまり頂点の向きなので、$\theta$ は $I_e$ の端ではない。したがって $h_\theta$ が $e$ と交わるのは $\theta$ が $I_e$ の内側にあるときで、そのとき交点はただ 1 つで、辺の端でない点、つまり横切る点である（$X$ と一直線上の辺は $I_e$ が 1 つの向きだけで、その向きは頂点の向きなので、ここには現れない）。$h_\theta$ は頂点を通らないので頂点の並びはなく、$N(\theta)$ は「$\theta$ を内側に含む $I_e$ の個数」に等しい。

段 3（頂点を指す向きの間）。頂点の向きを小さい順に並べ、隣り合う 2 つの間の範囲に $\theta$ と $\theta'$ があるとする。どの $I_e$ の端もこの範囲の中にないので、$\theta$ を内側に含む $I_e$ と $\theta'$ を内側に含む $I_e$ は同じである。段 2 より $N(\theta)=N(\theta')$ である。

段 4（頂点を指す向き $\varphi$ をまたぐ）。$\varphi$ を頂点の向きとし、$\varphi$ より少し小さい向き $\theta_-$ と少し大きい向き $\theta_+$ を、$\theta_-$ と $\varphi$ の間、$\varphi$ と $\theta_+$ の間に頂点の向きがないようにとる。各辺が $N(\theta_-)$、$N(\varphi)$、$N(\theta_+)$ にいくつ数えられるかを比べる。
(a) $\varphi$ が $I_e$ の内側にある辺：$h_\varphi$ と辺の端でない点で交わり、3 つとも 1 回ずつ数えられる。
(b) $\varphi$ が $I_e$ に入らない辺：3 つとも 0 回である。
(c) $\varphi$ が $I_e$ の端である辺：端の点の一方 $V$ が $h_\varphi$ の上にある。もう一方の端 $U$ も $h_\varphi$ の上にあれば、辺は $h_\varphi$ に沿っていて頂点の並びの中の辺であり、$I_e$ は $\varphi$ だけなので $\theta_\pm$ では数えられない。$U$ が $h_\varphi$ を含む直線の上にないとき、この辺は頂点の並びの前後の辺であり、$I_e$ は $\varphi$ から $U$ の側へ広がる。$U$ が左側（反時計回りの側）にあれば $\theta_+$ で 1 回、$\theta_-$ で 0 回、右側にあれば $\theta_-$ で 1 回、$\theta_+$ で 0 回数えられる。

段 5（並びごとの勘定）。1 つの頂点の並びの前後の 2 本の辺について、段 4 (c) と def-jct-count の数え方を合わせると、$(N(\theta_-),N(\varphi),N(\theta_+))$ への寄与は、前後の頂点が 2 つとも右側なら $(2,0,0)$、2 つとも左側なら $(0,0,2)$、反対側なら $(1,1,1)$ である。(a)(b) の辺の寄与は 3 つで等しい。どの寄与も偶奇をそろえるので、$N(\theta_-)$、$N(\varphi)$、$N(\theta_+)$ の偶奇は等しい。

段 6（まとめ）。$h$ の向きから $h'$ の向きまで回すと、頂点の向きを有限回またぐ。段 3 と段 4〜5 により、そのどこでも偶奇は変わらない。$\square$

方針：まず 2 つの小さな正の数 $\rho$、$\varepsilon$ を決め、辺の帯と頂点の扇形を作る。帯と扇形が $P$ と交わらないこと、条件 (i)〜(iii) を順に確かめる。

段 1（$\rho$ と $\varepsilon$ の選び方）。$\rho$ を、どの辺の長さの半分よりも小さく、どの頂点からその頂点を含まない辺までの距離よりも小さくとる。辺 $e_i=P_iP_{i+1}$ のうち、両端からの距離が $\dfrac\rho2$ 以上の部分（線分）を $e_i$ の 真ん中の部分 $m_i$ とする。$m_i$ はほかの辺と共有点をもたない（隣り合わない辺とは初めから交わらず、隣り合う辺と共有するのは頂点だけで、頂点は $m_i$ に入らない）。線分どうしが共有点をもたなければ距離は正なので、$\varepsilon$ を、$m_i$ とほかの辺の距離のすべてより小さく、しかも $\dfrac\rho2$ より小さくとる。

段 2（辺の帯）。点 $Z$ から直線 $P_iP_{i+1}$ に下ろした垂線の足が $m_i$ にあり、$Z$ と直線の距離が $0$ より大きく $\varepsilon$ より小さい点を集める。このうち $P_i$ から $P_{i+1}$ へ進むときの左側にあるものを $H_i^{\mathrm L}$、右側にあるものを $H_i^{\mathrm R}$ とする。どちらも細い長方形（の、直線上の辺を除いたもの）で、中の 2 点を結ぶ線分はその中にある。$H_i^{\mathrm L}$ の点は $m_i$ からの距離が $\varepsilon$ 未満なので、段 1 によりほかの辺の上になく、直線 $P_iP_{i+1}$ の上にもないので、$P$ と共有点をもたない。$H_i^{\mathrm R}$ も同じである。

段 3（頂点のまわり）。頂点 $V$ を中心とする半径 $\rho$ の円の内部を $D_V$ とする。段 1 により、$V$ を含まない辺は $D_V$ に入らず、$V$ を端とする 2 本の辺は長さが $2\rho$ より大きいので、$D_V$ と $P$ の共有点は、$V$ から出る長さ $\rho$ の 2 本の線分である。この 2 本は $D_V$ を 2 つの扇形に分ける。$V$ から出る辺の向きから反時計回りに回って、$V$ に入る辺を逆にたどる向きに達するまでの扇形を $S_V^{\mathrm L}$、もう一方を $S_V^{\mathrm R}$ とする（2 本の線分は除く）。$V$ から出る辺のすぐ左の点は $S_V^{\mathrm L}$ の始まりのすぐ内側に、$V$ に入る辺のすぐ左の点は $S_V^{\mathrm L}$ の終わりのすぐ内側にあるので、$S_V^{\mathrm L}$ は 2 本の辺の左側にある扇形である。扇形の中の 2 点は、扇形の角の二等分線の上で $V$ から $\dfrac\rho2$ の点 $B$ を経由する折れ線で、扇形の中を通って結べる。扇形の中の点 $Z$ を $V$ から見た向きは、二等分線の向きとの差が扇形の角の半分（$180^\circ$ 未満）より小さいので、線分 $ZB$ の点を $V$ から見た向きは $Z$ の向きと $B$ の向きの間にあり、扇形の中にとどまるからである（線分の点を見た向きが両端の向きの間を動くことは、lem-jct-direction の証明の段 1 と同じ理由による）。

段 4（つながり）。辺 $e_i$ の上で $P_{i+1}$ から $\dfrac\rho2$ の点（$m_i$ の端）を、左へごく短い距離（$\varepsilon$ より短く、$P_{i+1}$ から見た向きが辺の向きからほとんど変わらない程度）だけずらした点は、$H_i^{\mathrm L}$ に属し、$P_{i+1}$ からの距離が $\dfrac\rho2+\varepsilon<\rho$ より小さく、$P_{i+1}$ に入る辺のすぐ左にあるので $S_{P_{i+1}}^{\mathrm L}$ にも属する。同じく $H_{i+1}^{\mathrm L}$ と $S_{P_{i+1}}^{\mathrm L}$ も点を共有する。したがって、$H_1^{\mathrm L},S_{P_2}^{\mathrm L},H_2^{\mathrm L},S_{P_3}^{\mathrm L},\dots,H_n^{\mathrm L},S_{P_1}^{\mathrm L}$ は隣どうしが点を共有しながら 1 周つながる。これらを合わせたものを $\mathcal L$、右側のものを合わせたものを $\mathcal R$ とする。どちらも $P$ と共有点をもたない。

段 5（条件 (ii)）。$\mathcal L$ の 2 点 $Z$、$Z'$ をとる。それぞれが属する長方形か扇形から、つながりの順に、隣の部品と共有する点を経由して進めば、各部品の中では段 2・段 3 の線分や折れ線で進めるので、$Z$ から $Z'$ まで $\mathcal L$ の中を通る折れ線ができる。$\mathcal R$ も同じである。

段 6（条件 (i)）。$Z$ が $P$ の上になく、$P$ からの距離が $\varepsilon$ より小さいとする。$P$ の点のうち $Z$ に最も近い点を $W$ とする。$W$ がある頂点 $V$ から $\dfrac\rho2$ 未満の距離にあれば、$ZV\le ZW+WV<\varepsilon+\dfrac\rho2<\rho$ なので $Z$ は $D_V$ にあり、$P$ の上にないので $S_V^{\mathrm L}$ か $S_V^{\mathrm R}$ に属する。そうでなければ $W$ はある辺 $e_i$ の真ん中の部分 $m_i$ にあり、辺の端でない最も近い点なので、線分 $ZW$ は辺に垂直である。よって $Z$ から直線 $P_iP_{i+1}$ に下ろした垂線の足は $W\in m_i$ で、距離は $\varepsilon$ 未満だから、$Z$ は $H_i^{\mathrm L}$ か $H_i^{\mathrm R}$ に属する。

段 7（条件 (iii)）。辺 $e_i$ の長さは $2\rho$ より大きいので、中点 $M$ から $m_i$ の両端までの距離は $\dfrac\rho2$ より大きく、$\varepsilon$ より大きい。$M$ からの距離が $\varepsilon$ 未満の点の垂線の足は、$M$ からの距離が $\varepsilon$ 未満なので $m_i$ にある。直線の上になければ、その点は左側なら $H_i^{\mathrm L}\subset\mathcal L$、右側なら $H_i^{\mathrm R}\subset\mathcal R$ に属する。$\square$