形式ファイバー

前提知識: 局所環, Noether環, 局所化, テンソル積

完備化を点ごとに調べる

可換環の完備化は、有限の精度で与えられた合同条件を、すべての精度にわたって整合させる操作である。局所環の元を冪級数のように扱えるようになる一方、元の環にはなかった元や素イデアルが現れることもある。形式ファイバーは、この変化を元の環の各点で調べるための環である。単に完備化した環を見るのでも、極大イデアルで割るのでもなく、選んだ点の剰余体へ係数を変える。
以下、環は単位元をもつ可換環とし、局所環は非零とする。$(A,\mathfrak m)$ をNoether局所環とする。その極大イデアル進完備化を
$$ \widehat A=\varprojlim_{n\geq1}A/\mathfrak m^n $$
と書く。元は各商環の元の整合的な列であり、自然な準同型 $A\to\widehat A$ がある。素イデアル $\mathfrak p$ の剰余体は $\kappa(\mathfrak p)=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)$ である。これは一般には $A/\mathfrak p$ と異なる。商が既に体になる極大イデアルの場合だけ、この二つはそのまま一致する。

ファイバーという語は、ここでは完備化写像を固定したうえで使う。別の準同型のファイバーも同じテンソル積の形で書けるが、それだけでは形式ファイバーとは呼ばない。何を完備化したか、どの素イデアルを選んだか、基礎体は何かという三つの情報が定義の一部になっている。
$$ {\xymatrix{A\ar[r]\ar[d]&\widehat A\ar[d]\\\kappa(\mathfrak p)\ar[r]&F_A(\mathfrak p)}} $$
この図式が可換であることは、$a\in A$ の二つの像がテンソル積の中で一致することを意味する。下の水平写像は、$c$ を $1\otimes c$ へ送る。ファイバーの環構造は、この係数体の作用も含めて考える。

商と局所化を組み合わせた表示

$S=A\setminus\mathfrak p$ とおくと、$\kappa(\mathfrak p)=S^{-1}(A/\mathfrak p)$ である。したがって形式ファイバーは
$$ F_A(\mathfrak p)\cong S^{-1}(\widehat A/\mathfrak p\widehat A) $$
と表示できる。$\mathfrak p$ の元を零にし、その外にある元を逆にするという二つの操作である。この表示自体は G環 の節「ファイバーを作る操作を分ける」でも説明されている。本記事では、その表示から点の対応、商への移行、生成点の具体的な現象を調べる。
局所化の記号に注意が必要である。上の $S^{-1}\widehat A$ は、$A$ の元の像からなる乗法的集合で局所化した環である。$\mathfrak p$ は $A$ の素イデアルであり、$\widehat A$ の素イデアルとして指定されているわけではない。とくに $\mathfrak p\widehat A$ が素イデアルになることを、この記号から読み取ってはならない。
また $\widehat A/\mathfrak p\widehat A$ は、元の商環 $A/\mathfrak p$ の情報をまだ含んでいる。剰余体上の環にするには、$A/\mathfrak p$ の非零元をすべて逆にする必要がある。極大イデアルでの例だけを見ていると、この局所化を省いても正しいように見えるが、一般の素イデアルでは省けない。

この定理は、完備化で増えた点を元の点ごとに分類している。同じ $\mathfrak p$ の上に複数の $\mathfrak q$ があれば、一つの形式ファイバーの中に複数の点がある。その上に包含列があれば、ファイバーは正の次元をもつ。元の $\mathfrak p$ が生成点であっても、その上のファイバーが一点だけになるとは限らない。
Noether局所環の完備化写像は忠実平坦である（完備化 の定理「Noether 環の完備化は平坦」。次の節に要点をまとめる）。剰余体 $k=\kappa(\mathfrak p)$ 上の任意の加群 $N$ に対して
$$N\otimes_k(\widehat A\otimes_A k)\cong N\otimes_A\widehat A$$
である。写像は $n\otimes(u\otimes c)\mapsto cn\otimes u$、逆は $n\otimes u\mapsto n\otimes(u\otimes1)$ で与えられ、釣合い関係により定まり、合成は純テンソル上で恒等である。従って $k$ 加群の単射保存と非零検出が $A$ 上の忠実平坦性から従う。特に $k\ne0$ なので形式ファイバーは零環でない。単なる平坦写像では非零性を保証できず、ここで働いているのは忠実性である。

完備化の性質と商

形式ファイバーの非零性と商への帰着には、Noether 環の完備化について次の事実を使う。$A$ 加群 $M$ とイデアル $I$ に対し、$\widehat M=\varprojlim_{n\ge1}M/I^nM$、$\iota_M(x)=(x+I^nM)_n$ と書く。$\widehat A$ は各商での係数の積で $\widehat M$ に作用する。証明は 1 が Artin–Reesの補題、3 が 平坦性のイデアル判定、2 と 4 が 完備化 にある。

1. $A$ が Noether 環、$M$ が有限生成 $A$ 加群、$N\subset M$ が部分加群なら、整数 $c\ge0$ があって $n\ge c$ のとき $I^nM\cap N=I^{n-c}(I^cM\cap N)$ が成り立つ。とくに $N$ の $I$ 進位相は $M$ の $I$ 進位相から誘導される相対位相に一致する（Artin–Reesの補題 の定理「Artin–Reesの補題」と命題「誘導位相の一致」）。
2. $A$ が Noether 環なら、有限生成 $A$ 加群の完全列 $0\to M'\to M\to M''\to0$ の $I$ 進完備化 $0\to\widehat{M'}\to\widehat M\to\widehat{M''}\to0$ は完全であり、有限生成 $A$ 加群 $M$ について自然な写像 $\widehat A\otimes_AM\to\widehat M$、$a\otimes x\mapsto a\iota_M(x)$ は同型である（完備化 の命題「完備化の完全性と $\hat{A}\otimes_AM$」の 1 と 2）。
3. 任意の可換環 $A$ 上の加群 $M$ が平坦であることは、$A$ のすべての有限生成イデアル $J$ について $J\otimes_AM\to M$ が単射であることと同値である（平坦性のイデアル判定 の定理「平坦性のイデアル判定」の 1 と 3）。
4. $A$ が Noether 環なら $\iota_A\colon A\to\widehat A$ は平坦であり、$(A,\mathfrak m)$ が Noether 局所環で $I=\mathfrak m$ なら忠実平坦である（完備化 の定理「Noether 環の完備化は平坦」）。平坦性は、有限生成イデアル $J$ について 2 の同型で $J\otimes_A\widehat A\to\widehat A$ を完全列 $0\to J\to A$ の完備化 $\widehat J\to\widehat A$ と同一視し、2 の完全性からその単射性を得て 3 を当てれば従う。忠実性は、この平坦性と $\widehat A/\mathfrak m\widehat A\cong A/\mathfrak m\ne0$ から従う。
   最後の同型は、次の命題の特別な場合でもある。完備化と商の交換は、次の節で形式ファイバーを商環の生成点の問題に移すときに使う。

商に移して生成点の問題にする

形式ファイバーを計算するとき、$\mathfrak p$ を最初に零にすることができる。これは環全体の完備化と商が交換するという性質に基づく。必要なNoether仮定を残すことが重要であり、任意の環の逆極限にそのまま適用する原理ではない。

この帰着を使うと、形式ファイバーの記号が表している二段階の処理が分かりやすくなる。まず商 $A/\mathfrak p$ を取って $\mathfrak p$ をその生成点に移し、この局所整域を完備化してから分数体へ係数を変える。商を取った局所整域の完備化が整域になるとは限らないので、右辺を最初から完備化の分数体と書くことはできない。分数体という語は、右辺の局所化が体であることを確かめてから使う。
たとえば $\widehat C$ に零因子があっても、$C$ の非零元だけを逆にした環は定義できる。しかし $\widehat C$ のすべての非零元を逆にすることとは違う。生成点の形式ファイバーという名称は、係数を $\operatorname{Frac}(C)$ にしたことを表し、結果の環まで体になったという主張を含まない。この違いは、後の二変数の例で具体的に現れる。

閉点と生成点を分ける

閉点の形式ファイバーは元の剰余体である。この計算と、一変数の例 $k[x]_{(x)}$ における生成点ファイバー $k((x))$ の計算は、G環 の命題「閉点の形式的ファイバー」と例「一変数多項式環の二つのファイバー」に証明がある。ここではそれらを基本例として使い、点の選択が計算にどう影響するかを説明する。
閉点では $\mathfrak m$ の元を零にするので、完備化によって増えた高次の情報がすべて消える。したがって閉点ファイバーの良さだけでは、完備化の他の点で何が起きているか分からない。生成点では、元の環の非零元を逆にする。そのため極大イデアルの元も消すのではなく逆にすることがあり、閉点とは逆向きの処理になる。
$k[x]_{(x)}$ の場合は、$x$ を逆にするだけで完備化の任意の非零元を逆にできる。非零冪級数を $x$ の冪と単元に分解できるからである。しかし多変数の場合、元の多項式環には属さない形式的な方程式が、生成点の上でも非単元として残りうる。一変数でうまくいく計算の理由を確認しないまま、全局所整域へ一般化してはいけない。
環 $A$ が既に完備なら $A\to\widehat A$ は同型であり、各形式ファイバーはそれぞれの剰余体である。これは特定の完備化写像についての主張である。$A$ が完備でも局所化 $A_{\mathfrak p}$ が完備であるとは限らない。$A_{\mathfrak p}$ の形式ファイバーを考えるときは、あらためてその局所環を完備化する必要がある。全ての局所化を含むG環の条件との接続は、G環 の定理「極大イデアルでの判定」による。

生成点の形式ファイバーが体でない例

次の例は、元の環が正則局所整域であっても生成点の形式ファイバーは体とは限らないことを示す。正則性の反例ではない。破れるのは「局所整域の生成点の形式ファイバーは必ず体」という主張であり、完備化で生まれる素イデアルが元の環の零イデアルへ縮約する現象を具体化する。

ここでは特定の級数の超越性定理を必要とせず、存在だけを使っている。可算な基礎体を選んだのは、その存在を短く完全に証明するためである。係数体を任意の体へ広げる場合に、同じ可算性の証明をそのまま使えるとは主張しない。

この反例では、元の環 $A$ は体上の二変数多項式環の原点での局所化であり、通常の基本例として正則局所環である。その完備化も二変数形式冪級数環である。反例の要点は特異点を作ることではなく、元の多項式にはない方程式 $y=f(x)$ を完備化の中で選ぶことである。元の多項式がその方程式に沿って恒等的に零になることは、超越性によって排除される。
一方、形式的な曲線を切り出す方程式自身は完備化の元である。元の環の非零元を逆にする操作は、その方程式を必ずしも逆にしない。このため、元の生成点の上に曲線に対応する点が残る。「係数が体である」と「代数そのものが体である」は、ここで明確に分かれる。
同じ方法で、異なる超越的な $f$ は異なる素イデアルを与える。もし $(y-f)=(y-g)$ なら、一方の商にもう一方の生成元を写すことで $f-g=0$ となるからである。ただし本記事で必要なのは一つの非零素イデアルの存在だけであり、ファイバーの全素イデアルの分類や正確な次元の計算まで、この例から結論するわけではない。

ファイバーを局所環で調べる

形式ファイバーは一般に局所環とは限らない。その正則性を調べる際には、ファイバーのすべての素イデアルで局所化する。上の素イデアル対応を使うと、どの局所環を調べているかを元の完備化の中で書ける。

この式では、二つの異なる素イデアルを役割に応じて使っている。$\mathfrak p$ は元の環の点を固定するためのものであり、$\mathfrak q$ はその上にある完備化の点を指定するためのものである。$\mathfrak p$ で係数を剰余体へ移す操作と、$\mathfrak q$ における局所的な性質を見る操作は同じではない。
先の反例では $\mathfrak p=(0)$ なので、この局所環は単に $B_Q$ となる。ファイバーが体でないことと、各点の局所環が正則であることは両立する。体でないことを正則でないことと取り違えると、体上の多項式環から得られる良い形式ファイバーまで誤って排除してしまう。

幾何学的正則性とG環

Noether環が正則であるとは、そのすべての素イデアルでの局所化が正則局所環であることをいう。正則局所環では、極大イデアルの最小生成元数とKrull次元が一致する。形式ファイバーの正則性を要求するときも、ファイバー全体が体になることを要求しているのではなく、各局所環にこの条件を課している。
さらに剰余体上幾何学的に正則であるとは、任意の有限次体拡大により基底変換しても正則であることである。もとのファイバーが正則であっても、基礎体上の非分離性のために基底変換で冪零元が生まれる可能性がある。その区別と完全な反例計算は G環 の例「純非分離拡大による反例」にある。そこでは正則な体が、有限次体拡大後に正則でない零次元局所環になる。
G環の定義は、Noether環 $R$ のすべての素イデアル $\mathfrak p$ について、$R_{\mathfrak p}$ のすべての形式ファイバーが対応する剰余体上幾何学的に正則であることを要求する。まず局所化する点を選び、その局所環を完備化し、さらにその中の点のファイバーを調べるという量化である。最初と最後の点は別であり、閉点の計算だけで代用できない。StacksFormal
G環の詳細な定義、極大イデアルでの判定、保存定理は G環 が扱う。本記事は形式ファイバーを作る操作と、その点を記述する操作を主題とする。優秀環はG条件に加えて別の条件も要求するので、形式ファイバーが良いというだけで優秀性の全条件を満たしたとすることはできない。形式ファイバーは、局所的な環の性質そのものと、完備化写像の相対的な性質を区別するために役立つ。

よくある誤解と計算の手順

実際の計算では、最初に完備化の位相を指定する。局所環なら通常は極大イデアル進位相であり、別のイデアルを使う完備化とは区別する。次に素イデアル $\mathfrak p$ を選び、$A/\mathfrak p$ が体かどうかを確認する。体でなければ、商だけで計算を終えず非零元を逆にする。この順序を守れば、ファイバーの係数体を見失いにくい。
完備化が具体的な冪級数環で書けるときも、どの元を逆にするかは元の環で決まる。元の環の非零元が、完備化のすべての非零元を代表しているわけではない。また、完備化の素イデアルが見つかったら、その縮約を調べる。縮約が選んだ $\mathfrak p$ なら形式ファイバーの点を与え、別の素イデアルなら別のファイバーの点を与える。

この記事で実際に構成した反例は、二変数正則局所整域の生成点ファイバーが体でないというものである。どの主張を破ったかを限定することによって、G環の良好な例であることと矛盾なく理解できる。
形式ファイバーを使う目的は、完備化が元の環の性質をどのように保つかを調べることである。そのためには、完備化そのものの正則性や被約性だけでなく、写像の各ファイバーを通じた相対的な条件が必要になる。点の対応と商への帰着は、その条件を計算可能な形へ移す基礎となる。生成点の上にも複数の点や正の次元がありうると理解すると、形式ファイバーを単なる剰余体の別名として扱う誤りを避けられる。

関連項目

• 前提: 局所環, Noether環, 局所化, テンソル積
• 比較: 剰余体, 完備化, 正則局所環
• 発展: G環, 優秀環, 永田環