可換モノイドの群化
概要
可換モノイドの群化（group completion）とは、可換モノイド $M$ の対 $(a,b)$ を、ある $x\in M$ で $a+d+x=b+c+x$ となるとき同一視して形式差 $a-b$ のアーベル群 $M^{\mathrm{gp}}$ を作る構成であり、補正項 $x$ を省くと関係は一般には推移的でなくなる。$M$ からアーベル群への任意の準同型は $M^{\mathrm{gp}}$ を通って一意に分解し、群化は逆元を忘れる関手の左随伴となる関手で、有限直積と可換する。自然写像 $M\to M^{\mathrm{gp}}$ が単射であることは消去律と同値で、$\mathbb{N}$ の群化は $\mathbb{Z}$ だが、冪等元や吸収元をもつモノイドの群化は自明群になり、群化は群への準同型で観測できる情報だけを保つ。
前提知識: 可換モノイド, 可換モノイドの合同関係, アーベル群, 随伴関手
可換モノイドから普遍的な群を作る
可換モノイド $M$ では、一般に元 $a$ に対する逆元 $-a$ は存在しない。そこで形式的な差 $a-b$ を導入し、$M$ からアーベル群を作る。この構成を 可換モノイドの群化（group completion）という。
単に形式差を並べるだけでは、$a-b$ と $c-d$ がいつ等しいかを定める必要がある。$M$ に消去律を仮定できるなら $a+d=b+c$ でよいが、一般の可換モノイドでは不十分である。正しい関係は、ある $x\in M$ を補って
$$
a+d+x=b+c+x
$$
となることである。この補正項により、消去律を持たないモノイドにも群化を定義できる。以下では加法記法を用いる。
構成
可換モノイド $(M,+,0)$ に対し、$M\times M$ 上の関係 $\sim$ を
$$
(a,b)\sim(c,d)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }x\in M\text{ が存在して }a+d+x=b+c+x
$$
で定める。
関係 $\sim$ は同値関係であり、成分ごとの加法
$$
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
$$
と両立する。
反射性は $x=0$ とすれば従う。対称性は等式の左右を交換すればよい。
推移性を示す。$(a,b)\sim(c,d)$ と $(c,d)\sim(e,f)$ とし、ある $x,y\in M$ について
$$
a+d+x=b+c+x,
\qquad
c+f+y=d+e+y
$$
とする。第一式に $f+y$、第二式に $b+x$ を加えると
$$
a+d+f+x+y=b+c+f+x+y=b+d+e+x+y
$$
を得る。したがって補正項 $d+x+y$ を用いて $a+f+(d+x+y)=b+e+(d+x+y)$ となり、$(a,b)\sim(e,f)$ である。
最後に $(a,b)\sim(c,d)$ を上の $x$ が証明するとする。任意の $(u,v)\in M\times M$ に対して
$$
(a+u)+(d+v)+x=(b+v)+(c+u)+x
$$
だから、$(a+u,b+v)\sim(c+u,d+v)$ である。よって $\sim$ は加法と両立する。$\blacksquare$
商モノイド
$$
M^{\mathrm{gp}}=(M\times M)/{\sim}
$$
を $M$ の 群化 という。$(a,b)$ の同値類を $a-b$ と書く。自然な準同型を
$$
\iota_M:M\longrightarrow M^{\mathrm{gp}},
\qquad
a\longmapsto a-0
$$
で定める。
$M^{\mathrm{gp}}$ はアーベル群であり、$a-b$ の逆元は $b-a$ である。
加法の結合律と可換律は $M\times M$ から商へ移る。零元は $0-0$ である。任意の $a-b$ に対し
$$
(a-b)+(b-a)=(a+b)-(a+b)=0-0
$$
である。最後の等号は $(a+b,a+b)\sim(0,0)$ が $x=0$ により成り立つことから従う。よってすべての元が逆元を持つ。$\blacksquare$
普遍性
可換モノイド $M$、アーベル群 $A$、モノイド準同型 $f:M\to A$ に対し、群準同型 $\widetilde f:M^{\mathrm{gp}}\to A$ で
$$
\widetilde f\circ\iota_M=f
$$
を満たすものがただ一つ存在する。明示的には
$$
\widetilde f(a-b)=f(a)-f(b)
$$
である。
まずwell-defined性を示す。$(a,b)\sim(c,d)$ なら、ある $x\in M$ について $a+d+x=b+c+x$ である。$f$ を施し、群 $A$ の中で $f(x)$ を消去すると
$$
f(a)+f(d)=f(b)+f(c)
$$
となるので、$f(a)-f(b)=f(c)-f(d)$ である。したがって表示式は同値類に依存しない。
また
$$
\widetilde f((a-b)+(c-d))
=f(a+c)-f(b+d)
=\widetilde f(a-b)+\widetilde f(c-d)
$$
だから $\widetilde f$ は群準同型であり、$\widetilde f(a-0)=f(a)$ を満たす。
一意性を示す。$g:M^{\mathrm{gp}}\to A$ が $g\circ\iota_M=f$ を満たすなら、任意の $a-b$ について
$$
g(a-b)=g((a-0)-(b-0))=f(a)-f(b)
$$
である。したがって $g=\widetilde f$ である。$\blacksquare$
この普遍性は自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}}(M^{\mathrm{gp}},A)
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathsf{CMon}}(M,U(A))
$$
を与える。ここで $U:\mathsf{Ab}\to\mathsf{CMon}$ は逆元を忘れる関手である。したがって群化 $M\mapsto M^{\mathrm{gp}}$ は $U$ の左随伴である。
自然写像と消去律
自然写像 $\iota_M:M\to M^{\mathrm{gp}}$ が単射であることと、$M$ が消去律
$$
a+x=b+x\Longrightarrow a=b
$$
を満たすことは同値である。
$M$ が消去律を満たすとする。$\iota_M(a)=\iota_M(b)$ なら $(a,0)\sim(b,0)$ なので、ある $x\in M$ について $a+x=b+x$ である。消去律から $a=b$ であり、$\iota_M$ は単射である。
逆に $\iota_M$ が単射で、$a+x=b+x$ とする。$M^{\mathrm{gp}}$ では
$$
\iota_M(a)+\iota_M(x)=\iota_M(b)+\iota_M(x)
$$
であり、群の消去律から $\iota_M(a)=\iota_M(b)$ を得る。単射性により $a=b$ である。$\blacksquare$
この命題は、群化が常に $M$ を部分モノイドとして含むわけではないことを示す。自然写像は、群へ写すと必ず同一視される元をまとめることがある。
例と反例
加法モノイド $\mathbb N$ の群化は $\mathbb Z$ である。写像
$$
\mathbb N^{\mathrm{gp}}\longrightarrow\mathbb Z,
\qquad
a-b\longmapsto a-b
$$
は群化の普遍性から得られる同型である。$\mathbb N$ は消去律を満たすので、自然写像 $\mathbb N\to\mathbb Z$ は単射である。
$\mathbb N^n$ の群化は $\mathbb Z^n$ である。より一般に、集合 $S$ 上の 自由可換モノイド $\mathbb N^{(S)}$ の群化は、$S$ 上の自由アーベル群 $\mathbb Z^{(S)}$ である。
$M=\{0,e\}$ に $e+e=e$ を課した可換モノイドを考える。任意のアーベル群 $A$ と任意のモノイド準同型 $f:M\to A$ に対し
$$
f(e)+f(e)=f(e)
$$
から $f(e)=0$ となる。したがって $M^{\mathrm{gp}}$ は自明群であり、$\iota_M(0)=\iota_M(e)$ である。これは群化への自然写像が一般には単射でない反例である。
一般の可換モノイドで $(a,b)\sim(c,d)$ を単に $a+d=b+c$ と定めると、推移性が壊れうる。補正項 $x$ は、消去できない共通部分を吸収する役割を持つ。消去律が成り立つ場合に限り、$x$ を消去して $a+d=b+c$ という簡単な条件へ置き換えられる。
補正項が必要になる具体例
群化を作る関係では、同じ元を両辺に加えてから比較する。共通の元を消せるモノイドでは補正項を取り除けるが、一般には補正項を含めることで初めて推移律が成り立つ。小さな例でこの違いを確かめられる。
$M=\{0,e\}$、$e+e=e$ とし、$M\times M$ 上で $(a,b)R(c,d)$ を $a+d=b+c$ で定める。すると
$$
(e,0)R(e,e),\qquad(e,e)R(0,0)
$$
である。最初の関係は $e+e=0+e$、次は $e+0=e+0$ から従う。しかし $(e,0)R(0,0)$ には $e=0$ が必要なので成り立たない。したがって $R$ は推移的でなく、同値類による商を作れない。補正項を許す群化関係なら、両端も補正項 $e$ によって同値になる。
上の中間の対 $(e,e)$ は形式上 $e-e$ を表す。群では必ず零であるから、群化ではこれを $(0,0)$ と同じ類にしなければならない。一方、冪等性 $e+e=e$ を群へ送ると $e$ 自体も零に写らなければならない。この二つの要求を両立させるのが補正項を含む関係である。したがって補正項は単なる証明上の工夫ではなく、群へ写す普遍性から要請される。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 群化関係の補正項 | 二元冪等モノイド上の三つの対 | 関係の推移律 |
| モノイドの消去律 | 二元冪等モノイド | 群化への自然写像の単射性 |
| 群化以外に元の情報を保持する条件 | 異なる有限冪等モノイド | 群化から元のモノイドを復元する |
普遍性の図式と一意性
群化の普遍性は、次の図式を可換にする唯一の群準同型が存在するということである。
$$
\xymatrix{
M \ar[r]^{\iota_M} \ar[dr]_f & M^{\mathrm{gp}} \ar@{.>}[d]^{\widetilde f} \\
& A
}
$$
可換性は $\widetilde f\circ\iota_M=f$ という等式である。$\iota_M$ が単射でなくてもこの図式は意味をもち、$M$ の中で区別される元がすべての群への準同型で同一視されるなら、群化もそれを同一視する。
アーベル群 $G$ と準同型 $j\colon M\to G$ が群化と同じ普遍性を満たすとする。このとき $j$ と $\iota_M$ に整合する群同型 $G\cong M^{\mathrm{gp}}$ がただ一つ存在する。
$G$ の普遍性に $\iota_M$ を適用すると、$\alpha\colon G\to M^{\mathrm{gp}}$ で $\alpha j=\iota_M$ を満たすものが得られる。群化の普遍性に $j$ を適用すると、$\beta\colon M^{\mathrm{gp}}\to G$ で $\beta\iota_M=j$ を満たすものが得られる。すると $\alpha\beta\iota_M=\iota_M$ なので群化の一意性から $\alpha\beta=\operatorname{id}$ である。同様に $\beta\alpha j=j$ より $\beta\alpha=\operatorname{id}$ である。よって互いに逆の同型であり、一意性も普遍性から従う。$\square$
この命題を使うと、具体的に構成したアーベル群が群化であることを、すべての形式差の同値類を直接比較せずに示せる。ただし「元を差で書ける」だけでは足りない。群への準同型が一意に延長すること、または同値類の等しさが正確に対応することを確かめる必要がある。
準同型を群化する
モノイド準同型 $h\colon M\to N$ は群化上の準同型を誘導する。その式は
$$
h^{\mathrm{gp}}(a-b)=h(a)-h(b)
$$
である。これは $M\xrightarrow h N\xrightarrow{\iota_N}N^{\mathrm{gp}}$ に群化の普遍性を適用して得られるので、表示の選択に依存しない。
群化は可換モノイドの圏からアーベル群の圏への関手になる。具体的に
$$
(\operatorname{id}_M)^{\mathrm{gp}}=\operatorname{id}_{M^{\mathrm{gp}}},
\qquad
(k\circ h)^{\mathrm{gp}}=k^{\mathrm{gp}}\circ h^{\mathrm{gp}}
$$
が成り立つ。
任意の $a-b$ に対し、恒等写像から誘導される写像は $a-b$ をそのまま返す。$M\xrightarrow h N\xrightarrow k P$ に対しては、右辺の値は $k(h(a))-k(h(b))$ であり、左辺の値も同じである。すべての群化の元が形式差なので、写像は一致する。$\square$
随伴を表す Hom 集合の全単射が自然であることも、この式で確認できる。$M'\xrightarrow h M$ と $A\xrightarrow k A'$ を固定すると、$f\colon M\to A$ の延長 $\widetilde f$ について、$k\widetilde f h^{\mathrm{gp}}$ は $M'\to A'$ の写像 $kfh$ の延長である。実際、その $a-b$ における値は $k(f(h(a)))-k(f(h(b)))$ である。従って前合成と後合成のどちらとも整合し、単に各対象で全単射があるだけでなく、左随伴に必要な自然性が成立する。
全射モノイド準同型の群化は全射である。また、整モノイド間の単射準同型の群化は単射である。
$h\colon M\to N$ が全射なら、$N^{\mathrm{gp}}$ の元 $c-d$ に対して $h(a)=c$、$h(b)=d$ を選ぶと $h^{\mathrm{gp}}(a-b)=c-d$ である。
$M,N$ が整で $h$ が単射とする。$h^{\mathrm{gp}}(a-b)=0$ なら、$N$ の群化内で $h(a)=h(b)$ である。$N$ の自然写像は単射なのでこれは $N$ 自体の等式であり、$h$ の単射性から $a=b$ である。よって $a-b=0$ となり、群準同型の核は零である。$\square$
二番目の主張では行き先が整であることを使っている。任意のモノイドの単射が群化後にも単射になると考えてはいけない。例えば二元巡回群 $A$ に吸収元 $\infty$ を付け加え、$\infty+x=\infty$ と定めた可換モノイド $N=A\cup\{\infty\}$ を作る。$A\hookrightarrow N$ は単射だが、群への準同型は吸収元の等式からすべての元を零へ送る。従って $N^{\mathrm{gp}}=0$ であり、群化した包含 $A\to0$ は単射でない。
計算できる例
$M=\langle2,3\rangle=\{0,2,3,4,\ldots\}$ を自然数の部分モノイドとする。形式差 $a-b$ を整数の差へ送る写像 $M^{\mathrm{gp}}\to\mathbb Z$ は単射である。二つの差が同じ整数なら $a+d=b+c$ が自然数で成り立ち、群化の定義により同じ類になるためである。さらに $3-2=1$ が像にあり、像は群なので整数全体を含む。よって群化は $\mathbb Z$ である。しかし自然写像の像 $M$ は $1$ を含まない。群化で差が作れることは、その差がもとのモノイドにあることを意味しない。
可換モノイド $M$ に元 $z$ があり、すべての $a\in M$ について $a+z=z$ となるとする。任意の群への準同型 $f$ について $f(a)+f(z)=f(z)$ だから $f(a)=0$ である。群化の中でも同じ等式が成り立つため、$\iota_M(a)=0$ となり、すべての形式差も零である。従って $M^{\mathrm{gp}}$ は自明群である。非負整数へ吸収元 $\infty$ を付け加えたモノイドは無限集合だが、その群化は一元しかない。
有限単項生成モノイド $C_{r,d}$ の群化も直接計算できる。群への準同型の生成元の像を $y$ とすると、関係 $ry=(r+d)y$ は群の中で $dy=0$ と同値である。したがって位数 $d$ の巡回群が、$C_{r,d}$ から群への準同型を一意に受け止める。群化は $\mathbb Z/d\mathbb Z$ となり、指数 $r$ の情報は消える。この判定は 単項生成可換モノイド の「有限単項生成モノイドからの準同型」における式を群の中で読むことに相当する。
有限直積との整合性
可換モノイド $M,N$ に対して、自然な群同型
$$
(M\times N)^{\mathrm{gp}}\cong M^{\mathrm{gp}}\times N^{\mathrm{gp}}
$$
がある。
写像は $(a,c)-(b,d)\mapsto(a-b,c-d)$ である。左側で二つの表示が等しいとは、ある補正項 $(x,y)$ を加えた二成分の等式が同時に成り立つことである。右側での二成分の等しさも、第一成分に補正項 $x$、第二成分に補正項 $y$ が存在することなので同値である。よって写像は正しく定まり単射である。右側の任意の元 $(a-b,c-d)$ は左側の表示 $(a,c)-(b,d)$ から得られるので全射であり、加法も成分ごとの式から保つ。$\square$
この議論は有限個の直積に繰り返し適用できる。有限台の族からなる直和の場合も、分子と分母の有限台を合わせて一つの有限台に収めれば同様に群化できる。例えば自然数の有限台関数の差は整数の有限台関数になり、逆に整数値関数を正の部分と負の部分へ分ければ差として表せる。群化は非負の係数から整数の係数へ移る操作を一般化している。
群化後には整数の加法が使えるので、元の表示を比較したり、準同型を線形的な形に延長したりできる。しかし、群化が保持するのは群への準同型で観測できる情報である。吸収元、冪等元、前周期のようなモノイド固有の情報は消える場合がある。計算ではまず自然写像の単射性を確認し、元のモノイドを群内の部分集合として扱える範囲を明確にしておくことが必要である。
関連項目
- 前提: 可換モノイド, アーベル群, 随伴関手
- 例: 自由可換モノイド
- 発展: Grothendieck群
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