可換モノイドの群化
概要
可換モノイドの群化（group completion）とは、可換モノイド $M$ の元の形式差 $a-b$ を用いてアーベル群 $M^{\mathrm{gp}}$ を作る普遍構成である。$M$ から任意のアーベル群への準同型は $M^{\mathrm{gp}}$ を経由して一意に分解し、群化はアーベル群から可換モノイドへの忘却関手の左随伴を与える。自然写像 $M\to M^{\mathrm{gp}}$ が単射であることは $M$ の消去律と同値である。
前提知識: 可換モノイド, 可換モノイドの合同関係, アーベル群, 随伴関手
可換モノイドから普遍的な群を作る
可換モノイド $M$ では、一般に元 $a$ に対する逆元 $-a$ は存在しない。そこで形式的な差 $a-b$ を導入し、$M$ からアーベル群を作る。この構成を 可換モノイドの群化（group completion）という。
単に形式差を並べるだけでは、$a-b$ と $c-d$ がいつ等しいかを定める必要がある。$M$ に消去律を仮定できるなら $a+d=b+c$ でよいが、一般の可換モノイドでは不十分である。正しい関係は、ある $x\in M$ を補って
$$
a+d+x=b+c+x
$$
となることである。この補正項により、消去律を持たないモノイドにも群化を定義できる。以下では加法記法を用いる。基本事項は Gri01 Chapters I–II を参照。
構成
可換モノイド $(M,+,0)$ に対し、$M\times M$ 上の関係 $\sim$ を
$$
(a,b)\sim(c,d)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{ある }x\in M\text{ が存在して }a+d+x=b+c+x
$$
で定める。
関係 $\sim$ は同値関係であり、成分ごとの加法
$$
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
$$
と両立する。
反射性は $x=0$ とすれば従う。対称性は等式の左右を交換すればよい。
推移性を示す。$(a,b)\sim(c,d)$ と $(c,d)\sim(e,f)$ とし、ある $x,y\in M$ について
$$
a+d+x=b+c+x,
\qquad
c+f+y=d+e+y
$$
とする。第一式に $f+y$、第二式に $b+x$ を加えると
$$
a+d+f+x+y=b+c+f+x+y=b+d+e+x+y
$$
を得る。したがって補正項 $d+x+y$ を用いて $a+f+(d+x+y)=b+e+(d+x+y)$ となり、$(a,b)\sim(e,f)$ である。
最後に $(a,b)\sim(c,d)$ を上の $x$ が証明するとする。任意の $(u,v)\in M\times M$ に対して
$$
(a+u)+(d+v)+x=(b+v)+(c+u)+x
$$
だから、$(a+u,b+v)\sim(c+u,d+v)$ である。よって $\sim$ は加法と両立する。$\blacksquare$
商モノイド
$$
M^{\mathrm{gp}}=(M\times M)/{\sim}
$$
を $M$ の 群化 という。$(a,b)$ の同値類を $a-b$ と書く。自然な準同型を
$$
\iota_M:M\longrightarrow M^{\mathrm{gp}},
\qquad
a\longmapsto a-0
$$
で定める。
$M^{\mathrm{gp}}$ はアーベル群であり、$a-b$ の逆元は $b-a$ である。
加法の結合律と可換律は $M\times M$ から商へ移る。零元は $0-0$ である。任意の $a-b$ に対し
$$
(a-b)+(b-a)=(a+b)-(a+b)=0-0
$$
である。最後の等号は $(a+b,a+b)\sim(0,0)$ が $x=0$ により成り立つことから従う。よってすべての元が逆元を持つ。$\blacksquare$
普遍性
可換モノイド $M$、アーベル群 $A$、モノイド準同型 $f:M\to A$ に対し、群準同型 $\widetilde f:M^{\mathrm{gp}}\to A$ で
$$
\widetilde f\circ\iota_M=f
$$
を満たすものがただ一つ存在する。明示的には
$$
\widetilde f(a-b)=f(a)-f(b)
$$
である。
まずwell-defined性を示す。$(a,b)\sim(c,d)$ なら、ある $x\in M$ について $a+d+x=b+c+x$ である。$f$ を施し、群 $A$ の中で $f(x)$ を消去すると
$$
f(a)+f(d)=f(b)+f(c)
$$
となるので、$f(a)-f(b)=f(c)-f(d)$ である。したがって表示式は同値類に依存しない。
また
$$
\widetilde f((a-b)+(c-d))
=f(a+c)-f(b+d)
=\widetilde f(a-b)+\widetilde f(c-d)
$$
だから $\widetilde f$ は群準同型であり、$\widetilde f(a-0)=f(a)$ を満たす。
一意性を示す。$g:M^{\mathrm{gp}}\to A$ が $g\circ\iota_M=f$ を満たすなら、任意の $a-b$ について
$$
g(a-b)=g((a-0)-(b-0))=f(a)-f(b)
$$
である。したがって $g=\widetilde f$ である。$\blacksquare$
この普遍性は自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}}(M^{\mathrm{gp}},A)
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathsf{CMon}}(M,U(A))
$$
を与える。ここで $U:\mathsf{Ab}\to\mathsf{CMon}$ は逆元を忘れる関手である。したがって群化 $M\mapsto M^{\mathrm{gp}}$ は $U$ の左随伴である。
自然写像と消去律
自然写像 $\iota_M:M\to M^{\mathrm{gp}}$ が単射であることと、$M$ が消去律
$$
a+x=b+x\Longrightarrow a=b
$$
を満たすことは同値である。
$M$ が消去律を満たすとする。$\iota_M(a)=\iota_M(b)$ なら $(a,0)\sim(b,0)$ なので、ある $x\in M$ について $a+x=b+x$ である。消去律から $a=b$ であり、$\iota_M$ は単射である。
逆に $\iota_M$ が単射で、$a+x=b+x$ とする。$M^{\mathrm{gp}}$ では
$$
\iota_M(a)+\iota_M(x)=\iota_M(b)+\iota_M(x)
$$
であり、群の消去律から $\iota_M(a)=\iota_M(b)$ を得る。単射性により $a=b$ である。$\blacksquare$
この命題は、群化が常に $M$ を部分モノイドとして含むわけではないことを示す。自然写像は、群へ写すと必ず同一視される元をまとめることがある。
例と反例
加法モノイド $\mathbb N$ の群化は $\mathbb Z$ である。写像
$$
\mathbb N^{\mathrm{gp}}\longrightarrow\mathbb Z,
\qquad
a-b\longmapsto a-b
$$
は群化の普遍性から得られる同型である。$\mathbb N$ は消去律を満たすので、自然写像 $\mathbb N\to\mathbb Z$ は単射である。
$\mathbb N^n$ の群化は $\mathbb Z^n$ である。より一般に、集合 $S$ 上の 自由可換モノイド $\mathbb N^{(S)}$ の群化は、$S$ 上の自由アーベル群 $\mathbb Z^{(S)}$ である。
$M=\{0,e\}$ に $e+e=e$ を課した可換モノイドを考える。任意のアーベル群 $A$ と任意のモノイド準同型 $f:M\to A$ に対し
$$
f(e)+f(e)=f(e)
$$
から $f(e)=0$ となる。したがって $M^{\mathrm{gp}}$ は自明群であり、$\iota_M(0)=\iota_M(e)$ である。これは群化への自然写像が一般には単射でない反例である。
一般の可換モノイドで $(a,b)\sim(c,d)$ を単に $a+d=b+c$ と定めると、推移性が壊れうる。補正項 $x$ は、消去できない共通部分を吸収する役割を持つ。消去律が成り立つ場合に限り、$x$ を消去して $a+d=b+c$ という簡単な条件へ置き換えられる。
関連項目
参考文献
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