Thom同型(特異コホモロジー)

線形同型 $g\colon V\to V'$ は対の同相 $(V,V^\times)\to(V',V'^\times)$ なので、$g^*$ はコホモロジーの同型であり、$0$ でない元を $0$ でない元に写す。したがって 1・2 は $V=\mathbb R^n$ のときに示せばよく、1 が示されれば、どちらの $n$ 次の群でも $0$ でない元はただ 1 つなので 3 が従う。

1・2：$n=0$ なら $V$ は 1 点、$V^\times=\emptyset$ で、$H^q(V,\emptyset)=H^q(\mathrm{pt})$ は $q=0$ で $\mathbb F_2$、ほかで $0$ である（特異コホモロジー の例「一点と離散空間」）。$n\ge1$ とし、$V=\mathbb R^n$ とする。対の長完全列（同記事の定理「対の長完全列」）$$H^{q-1}(\mathbb R^n)\xrightarrow{r}H^{q-1}((\mathbb R^n)^\times)\xrightarrow{\delta}H^q(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)\to H^q(\mathbb R^n)\xrightarrow{r}H^q((\mathbb R^n)^\times)$$を使う（$r$ は制限）。$\mathbb R^n$ は可縮なので $H^\bullet(\mathbb R^n)$ は $0$ 次の $\mathbb F_2\cdot1$ だけであり（同記事の定理「ホモトピー不変性」）、$r(1)=1\ne0$ なので $r$ は単射である。よって $\delta$ は $\operatorname{coker}\bigl(r\colon H^{q-1}(\mathbb R^n)\to H^{q-1}((\mathbb R^n)^\times)\bigr)$ から $H^q(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)$ への同型を誘導する。包含 $S^{n-1}\to(\mathbb R^n)^\times$ と $x\mapsto x/|x|$ は互いにホモトピー逆（ホモトピー $(1-t)x+tx/|x|$ は $0$ を通らない）なので、$H^\bullet((\mathbb R^n)^\times)\cong H^\bullet(S^{n-1})$ である。$n\ge2$ なら、これは $0$ 次と $n-1$ 次の $\mathbb F_2$ だけで（同記事の例「球面のコホモロジー」）、$r$ の像は $0$ 次の部分である。$n=1$ なら $(\mathbb R^1)^\times$ は 2 点なので $H^0=\mathbb F_2^2$ で、$r$ の像は定数の 1 次元部分である。どちらの場合も余核は $n-1$ 次だけにあって $\mathbb F_2$ と同型なので、1 が従う。2：$\delta$ は $H^{n-1}((\mathbb R^n)^\times)$ から $H^n(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)\cong\mathbb F_2$ への全射で核は $r$ の像なので、像に入らない $s$ について $\delta s\ne0$、すなわち $\delta s=\theta_n$ である。余核が $0$ でないので、そのような $s$ はある。$\square$

$Y:=W\times\mathbb R^n$、$Z:=W\times(\mathbb R^n)^\times$ とおき、$r\colon H^\bullet(Y)\to H^\bullet(Z)$ を制限とする。$\mathrm{pr}_1\colon Y\to W$ は $w\mapsto(w,0)$ とホモトピー逆（ホモトピー $(w,v)\mapsto(w,tv)$）なので $\mathrm{pr}_1^*$ は同型である。$v_0\in(\mathbb R^n)^\times$ を固定し $\iota\colon W\to Z$、$w\mapsto(w,v_0)$ とすると、$\iota^*\circ r\circ\mathrm{pr}_1^*=(\mathrm{pr}_1\circ\iota)^*=\mathrm{id}$ なので $r$ は単射である。よって対 $(Y,Z)$ の長完全列から、連結準同型 $\delta$ は同型 $\bar\delta\colon H^{q-1}(Z)/r(H^{q-1}(Y))\to H^q(Y,Z)$ を誘導する。

$(\mathbb R^n)^\times$ は、$2n$ 個の開半空間 $\{x_i>0\}$、$\{x_i<0\}$ で覆われ（$0$ でないベクトルはどこかの座標が $0$ でない）、その空でない有限個の交わりは $(\mathbb R^n)^\times$ に含まれる空でない凸集合なので可縮である。すなわち $(\mathbb R^n)^\times$ は有限の可縮開被覆をもつ（Leray–Hirschの定理 の定義「有限の可縮開被覆」）。lem-thom-sing-fiber の 2 の $s$ をとると、$1,s$ は $H^\bullet((\mathbb R^n)^\times)$ の基底である（$n=1$ では $s$ は定数でない $0$ 次の類）。同記事の補題「積空間の Künneth の公式」により、$H^{q-1}(Z)$ の元は $a\in H^{q-1}(W)$、$b\in H^{q-n}(W)$ によって $\mathrm{pr}_1^*a+\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*s$ とただ一通りに書ける（射影は $Z$ に制限したもの）。第 1 項の全体は $r\,\mathrm{pr}_1^*H^{q-1}(W)=r(H^{q-1}(Y))$ なので、$b\mapsto[\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*s]$ は同型 $H^{q-n}(W)\to H^{q-1}(Z)/r(H^{q-1}(Y))$ である。

あとは $\delta(\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*s)=\mathrm{pr}_1^*b\smile u_W$ を示せばよい。$\beta$ を $Y$ 上で $\mathrm{pr}_1^*b$ を代表する余輪体、$\sigma$ を $(\mathbb R^n)^\times$ 上で $s$ を代表する余輪体、$\tilde\sigma\in C^{n-1}(\mathbb R^n)$ をその延長（$(\mathbb R^n)^\times$ の外の単体では $0$）とする。連結準同型は、余輪体を全体の余鎖へ延長してその余境界の類をとるもので（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」）、どの延長を使っても類は同じである（2 つの延長の差は相対余鎖である）。$\mathrm{pr}_2^*\tilde\sigma$ は $Z$ 上の余輪体 $\mathrm{pr}_2^*\sigma$ の延長なので $\delta[\mathrm{pr}_2^*\sigma]=[\mathrm{pr}_2^*\delta\tilde\sigma]=\mathrm{pr}_2^*\delta s=\mathrm{pr}_2^*\theta_n=u_W$ である。また、$Z$ に像が含まれる単体の前の面と後ろの面はまた $Z$ に含まれるので、$\beta\smile\mathrm{pr}_2^*\tilde\sigma$ は $Z$ 上の余輪体 $\beta|_Z\smile\mathrm{pr}_2^*\sigma$ の延長であり、Leibniz 則（カップ積 の補題「Leibniz 則」）と $\delta\beta=0$ から $\delta(\beta\smile\mathrm{pr}_2^*\tilde\sigma)=\beta\smile\mathrm{pr}_2^*\delta\tilde\sigma$ である。よって $\delta(\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*s)=\mathrm{pr}_1^*b\smile u_W$ であり、写像 $b\mapsto\mathrm{pr}_1^*b\smile u_W$ は上の 2 つの同型の合成 $\bar\delta\circ(b\mapsto[\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*s])$ に等しいので、同型である（$q=k+n$）。$\square$

$u'$ も Thom 類とし、$u'+u=\Phi(b)$ となる $b\in H^0(B)$ をとる。$H^0(B)$ の元を $B$ の弧状連結成分の上の $\mathbb F_2$ 値関数とみなし（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）、$b(x)$ を $x$ を含む成分での値とする。$\pi$ を $E_x$ に制限したものは 1 点 $x$ を経由する定値写像なので $(\pi^*b)|_{E_x}=b(x)\cdot1$ であり、$\Phi(b)$ のファイバー $(E_x,E_x^\times)$ への制限は $b(x)\theta_{E_x}$ である。一方 $u'+u$ の制限は $\theta_{E_x}+\theta_{E_x}=0$ である。よってすべての $x$ で $b(x)=0$、すなわち $b=0$ で、$u'=u$ である。$\square$

$\mathcal U=\{X_1,X_2\}$ とする。切除定理(特異ホモロジー) の定理「小さい単体の鎖への変形」により、鎖写像 $\rho\colon C_\bullet(X)\to C^{\mathcal U}_\bullet(X)$ と $D$ で $\rho\iota=\mathrm{id}$、$\partial D+D\partial=\mathrm{id}-\iota\rho$ をみたし、$C_\bullet(A)$ を $C_\bullet(A)$ に写すものがある。$C^{\mathcal U}_\bullet(A):=C^{\mathcal U}_\bullet(X)\cap C_\bullet(A)$ は像が $A$ に含まれる小さい単体で生成される。$\rho$ は $C_\bullet(A)$ を $C^{\mathcal U}_\bullet(A)$ に写すので、$\iota,\rho,D$ は商 $C^{\mathcal U}_\bullet(X)/C^{\mathcal U}_\bullet(A)$ と $C_\bullet(X)/C_\bullet(A)$ の間の写像を誘導し、同じ等式をみたす。$\mathrm{Hom}(-,\mathbb F_2)$ を施すと、制限 $C^\bullet(X,A)\to C^\bullet_{\mathrm s}(X,A)$ は余鎖ホモトピー同値になり（$C^\bullet_{\mathrm s}(X,A)$ は前者の商の双対である）、コホモロジーの同型を誘導する（特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」の証明と同じ計算）。

余鎖複体の列 $$0\to C^\bullet_{\mathrm s}(X,A)\to C^\bullet(X_1,A_1)\oplus C^\bullet(X_2,A_2)\to C^\bullet(X_{12},A_{12})\to0$$（制限の組と、制限の和）は完全である。左の単射性：小さい単体はどれかの $X_i$ の単体である。中央：$X_{12}$ の単体の上で $\varphi_1=\varphi_2$ なら、両者は小さい単体の上の余鎖に貼り合わさり、像が $A$ に含まれる小さい単体は $A_1$ か $A_2$ の単体なのでそこで消える。右の全射性：$\omega\in C^q(X_{12},A_{12})$ を $X_1$ の他の単体で $0$ と延ばした $\omega_1$ は $A_1$ の単体で消え（$A_1$ の単体で $X_{12}$ に入るものは $A_{12}$ の単体）、$(\omega_1,0)$ が $\omega$ に写る。蛇の補題 による長完全列（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」の証明と同じ構成）と第 1 段の同型から主張の完全列を得る。連結準同型の計算は蛇の補題の構成そのものである。$\square$

$\omega$ を $W\cap W'$ 上の $k$ 次の余輪体、$\gamma$ を $u$ を代表する $E_X$ 上の相対余輪体とする。$\omega_W\in C^k(W)$ を $\omega$ の $0$ による延長とすると、上の段の連結準同型は $(\omega_W,0)$ から計算でき（lem-thom-sing-relative-mv で $A=\emptyset$）、$W$ の単体では $\delta\omega_W$、$W'$ の単体では $0$ をとる小さい余輪体を $\eta$ とすると、$\delta[\omega]$ は $[\eta]$ に対応する。下の段では、$\psi:=\pi^*\omega_W\smile\gamma\in C^{k+n}(E_W,E_{0,W})$ をとる。$E_{W\cap W'}$ の単体の前の面は $E_{W\cap W'}$ に入るので、$\psi$ の $E_{W\cap W'}$ への制限は $\Phi_{W\cap W'}([\omega])$ の代表 $\pi^*\omega\smile\gamma$ であり、$(\psi,0)$ はその持ち上げである。Leibniz 則と $\delta\gamma=0$ から $\delta\psi=\pi^*\delta\omega_W\smile\gamma$ である。$E_W$ の単体 $\sigma$ では前の面の像 $\pi\circ\sigma_{\mathrm f}$ が $W$ の単体なので $(\pi^*\eta\smile\gamma)(\sigma)=\delta\omega_W(\pi\circ\sigma_{\mathrm f})\gamma(\sigma_{\mathrm b})=\delta\psi(\sigma)$ であり、$E_{W'}$ の単体では $\eta(\pi\circ\sigma_{\mathrm f})=0$ である（$\sigma_{\mathrm f}$、$\sigma_{\mathrm b}$ は前と後ろの面）。小さい単体の面はまた小さいので、カップ積は小さい単体の上でも同じ式で定まり、$\delta\psi$ と $0$ を貼り合わせた余輪体は $\pi^*\eta\smile\gamma$ に等しい。$X$ 上の余輪体 $\vartheta$ を、小さい単体への制限が $\eta+\delta\zeta$ となるようにとると、$\pi^*\vartheta\smile\gamma$ の小さい単体への制限は $\pi^*\eta\smile\gamma+\delta(\pi^*\zeta\smile\gamma)$ で、$\pi^*\zeta\smile\gamma$ は $E_{0,X}$ の小さい単体で消える。よって下の段の $\delta\Phi_{W\cap W'}([\omega])$ は $[\pi^*\vartheta\smile\gamma]=\Phi_X(\delta[\omega])$ である。

次数 $k$ の $\Phi_X$ には、その左右の 4 つの縦の写像（次数 $k-1$ と $k$ の $\Phi_W\oplus\Phi_{W'}$ と $\Phi_{W\cap W'}$）が同型であることを使う。$\square$

相対鎖複体 $C_\bullet(E)/C_\bullet(A)$ は自由なので、普遍係数定理 の系「体を係数とする場合」により、相対余輪体 $\varphi$ の類に $[z]\mapsto\varphi(z)$ を対応させる $h\colon H^q(E,A)\to\operatorname{Hom}(H_q(E,A;\mathbb F_2),\mathbb F_2)$ は同型であり、対の連続写像について自然である。$\mathbb F_2$ 係数の鎖 $z=\sum_l\sigma_l$（有限和）について、各像 $\sigma_l(\Delta^q)$ はコンパクトなので $C_z:=\bigcup_l\pi(\sigma_l(\Delta^q))$ は $B$ のコンパクト部分空間であり、$z$ は $E_{C_z}$ の鎖である。$z$ が相対輪体（$\partial z$ が $A$ の鎖）なら、$\partial z$ に残る単体は $z$ の単体の面なので $E_{C_z}$ に含まれ、したがって $A_{C_z}$ の単体である。よって $z$ は $(E_{C_z},A_{C_z})$ の相対輪体である。有限個のコンパクト部分空間の和集合もコンパクトである。

1：相対輪体 $z$ について $h(y)([z])=h(y|_{(E_{C_z},A_{C_z})})([z])=0$ なので $h(y)=0$、$y=0$ である。

2：一意性は 1 による。存在：相対輪体 $z$ について、$z$ が載るコンパクトな $C$ をとり $\ell([z]):=h(y^C)([z]_C)$ とおく。$z$ が $C$ と $C'$ の両方に載るなら $C\cup C'$ を経由して比べれば値は一致し、$z-z'=\partial w+a$（$a$ は $A$ の鎖）なら $z,z',w,a$ がすべて載る $C$ で $[z]_C=[z']_C$ なので、$\ell$ は代表によらない線形写像 $H_q(E,A;\mathbb F_2)\to\mathbb F_2$ である。$h(y)=\ell$ となる $y$ をとれば、$h(y|_{(E_C,A_C)})=h(y^C)$、すなわち $y|_{(E_C,A_C)}=y^C$ である。$\square$

以下、$H_n(X|A;R):=H_n(X,X\setminus A;R)$ と書き、$\tau_a(y):=y+a$ を平行移動とする。

段 1（$D_x$ は座標によらない）．$\varphi(x)=\psi(x)=0$ となる局所座標 $\varphi$、$\psi$ について、$f:=\psi\circ\varphi^{-1}$ は $0$ の近傍で定義された微分同相写像で $f(0)=0$、$d\psi_x=Df(0)\circ d\varphi_x$ である。$\psi_*=f_*\circ\varphi_*$ なので、局所ホモロジー $H_n(\mathbb R^n|0;R)$ の上で $f_*=Df(0)_*$ を示せばよい。$0$ を中心とする開球 $B$ を $f$ の定義域にとり、$0< t\le1$ で $f_t(y):=f(ty)/t$、$f_0(y):=Df(0)y$ とおく。$f_t(y)=\int_0^1Df(sty)y\,ds$ なので $(y,t)\mapsto f_t(y)$ は $B\times[0,1]$ 上で連続であり、$f$ は単射で $Df(0)$ は可逆なので、$f_t(y)=0$ となるのは $y=0$ のときだけである。よって $f_t$ は対の写像 $(B,B\setminus\{0\})\to(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)$ のホモトピーで、$f_*=(f_0)_*$ である（向き付け可能多様体 の命題「滑らかな向きと位相的な向きの一致」の証明の段 3 と同じ変形）。

段 2（Kronecker 積）．$V\cong\mathbb R^n$ について、対の長完全列と $V^\times\simeq S^{n-1}$ から、$H_q(V,V^\times;\mathbb Z)$ は $q=n$ で $\mathbb Z$、$q=n-1$ で $0$ である（lem-thom-sing-fiber の証明と同じ計算を整数係数のホモロジーで行う）。生成元 $g\in H_n(V,V^\times;\mathbb Z)$ をとると、普遍係数定理 により $H_n(V,V^\times;R)=R\cdot g_R$（$g_R$ は $g$ の像）、$H^n(V,V^\times;R)\cong\operatorname{Hom}(H_n(V,V^\times;\mathbb Z),R)=R\cdot\hat g$（$\hat g(g)=1$）で、どちらも $R$ と同型であり、$\langle r\hat g,s\,g_R\rangle=rs$ である。よって生成元 $a=s\,g_R$（$s\in R^\times$）に対し $\langle\varepsilon,a\rangle=1$ となる $\varepsilon$ は $s^{-1}\hat g$ だけで生成元であり、逆も同じである。これを $\varepsilon\mapsto\varepsilon^\vee$（$\langle\varepsilon,\varepsilon^\vee\rangle=1$）と書く。線形同型 $h\colon V\to V'$ について $\langle\varepsilon',h_*a\rangle=\langle h^*\varepsilon',a\rangle$ なので、$(h^{-1})^*$ で移した $\varepsilon$ の $\vee$ は $h_*(\varepsilon^\vee)$ である。

段 3（座標の球の上）．局所座標 $(U,\varphi)$ と、$\varphi(B)$ が閉包を $\varphi(U)$ に含む開球となる $B\subset U$ をとる（このとき切除により $\varphi_*\colon H_n(M\vert B;R)\to H_n(\mathbb R^n\vert\varphi(B);R)$ は同型である）。(a) 向きの側：$y\in B$ について $\varphi-\varphi(y)$ は $y$ を中心とする局所座標で微分は $d\varphi_y$ なので、生成元の族 $(\mu_y)$ について $c(y):=(d\varphi_y)_*D_y\mu_y=(\tau_{-\varphi(y)})_*\varphi_*\mu_y\in H_n(\mathbb R^n|0;R)$ である。$a,b\in\varphi(B)$ について、$\tau_{-((1-s)a+sb)}$（$0\le s\le1$）は $(1-s)a+sb\in\varphi(B)$ なので対の写像 $(\mathbb R^n,\mathbb R^n\setminus\varphi(B))\to(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)$ のホモトピーであり、合成 $H_n(\mathbb R^n|\varphi(B);R)\to H_n(\mathbb R^n|a;R)\xrightarrow{(\tau_{-a})_*}H_n(\mathbb R^n|0;R)$ は $a$ によらない同型 $\rho_B$ である。よって、$\mu_y$（$y\in B$）がすべて 1 つの $\mu_B\in H_n(M|B;R)$ の像であることと、$c$ が $B$ 上で一定であることは同値である（一定値 $c_0$ なら $\mu_B:=\varphi_*^{-1}\rho_B^{-1}(c_0)$）。局所整合性の球は小さい球に取り替えてよい（$\mu_B$ の像をとる）ので、$(\mu_x)$ が $R$ 向きであることは、どの局所座標についても $c$ が局所定数であることと同値である。(b) Thom 類の側：接束 の局所自明化 $\Phi_U$ は $T_yM\ni v\mapsto(y,d\varphi_yv)$ で、対の同相 $(TU,(TU)_0)\cong U\times(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times)$ を与える。$i_y(v):=(y,v)$ とおくと、$\varphi(B)$ は凸なので $(z,v)\mapsto(\varphi^{-1}((1-s)\varphi(z)+s\varphi(y)),v)$ が $\mathrm{id}$ と $i_y\circ\mathrm{pr}_2$ を対の写像として結び、$\mathrm{pr}_2\circ i_y=\mathrm{id}$ である。よって $i_y^*\colon H^n(B\times(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times);R)\to H^n(\mathbb R^n,(\mathbb R^n)^\times;R)$ は $\mathrm{pr}_2^*$ の逆であり、$y$ によらない。したがって $TB$ 上の類 $w$ について $e_w(y):=((d\varphi_y)^{-1})^*(w|_y)$ は $B$ 上で一定である。

段 4（2 の証明）．Thom 類 $u$ について、段 2 により $\mu_x:=D_x^{-1}\bigl((u|_x)^\vee\bigr)$ だけが等式をみたす。局所座標の中では、段 2 の最後により $c(y)=(d\varphi_y)_*(u|_y)^\vee=e_u(y)^\vee$ で、段 3 (b) により $e_u$ は各球の上で一定なので $c$ は局所定数であり、段 3 (a) により $(\mu_x)$ は $R$ 向きである。

段 5（1 の存在）．$R$ 向き $(\mu_x)$ を固定する。まず $TM$ に $R$ 係数の Thom 類 $u_0$ が 1 つあることを示す。$M$ の連結成分 $M_i$ は開集合なので、$H^n(TM,(TM)_0;R)=\prod_iH^n(TM_i,(TM_i)_0;R)$ であり、成分ごとに作ればよい。$M_i$ は $R$ 向き付け可能なので、向き付け可能であるか、$R$ で $2=0$ である（Hat02 p. 235）。$2=0$ なら環準同型 $\mathbb F_2\to R$ があり、thm-thom-sing-main の mod 2 の Thom 類の係数変換による像は、各ファイバーで段 2 の $\hat g$（$\theta$ が $g\mapsto1$ に対応するため）に制限するので Thom 類である。$M_i$ が向き付け可能なら、向き付け可能多様体 の命題「滑らかな向きと位相的な向きの一致」により正の向きの局所座標の族があり、それらの局所自明化 $\Phi_U$ の推移関数は行列式が正の Jacobi 行列なので、$TM_i$ は向き付けられたベクトル束である。MS74 Theorem 10.4（p. 110）により、各ファイバーで向きの定める生成元に制限する $R$ 係数の類があり、それが Thom 類である。

$u_0$ に段 4 で対応する $R$ 向きを $(\mu^0_x)$ とし、$\mu_x=g(x)\mu^0_x$（$g(x)\in R^\times$）と書く。局所座標の中で $c_\mu(y)=g(y)c_{\mu^0}(y)$ であり、$c_\mu$ と $c_{\mu^0}$ は局所定数で $c_{\mu^0}(y)$ は階数 1 の自由加群の基底なので、$g$ は局所定数、したがって弧状連結成分の上で一定である。特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」により $h:=g^{-1}$ は $H^0(M;R)$ の元とみなせる。$u:=\pi^*h\smile u_0$ とおくと、$\pi$ をファイバーに制限すると定値写像なので $u|_x=h(x)\,u_0|_x$ は生成元で、$\langle u|_x,D_x\mu_x\rangle=h(x)g(x)\langle u_0|_x,D_x\mu^0_x\rangle=1$ である。

段 6（1 の一意性と 3）．$u$、$u'$ がともに 1 の等式をみたすとすると、段 2 によりすべての $x$ で $u|_x=u'|_x$ である。Riemann計量 を 1 つとって単位円板束 $D$ と単位球面束 $S$ を作る（局所的な枠を Gram–Schmidt の方法で正規直交化した局所自明化により、$(D,S)$ は $(D^n,S^{n-1})$ をファイバーとする束の対になる）。$\{\lvert v\rvert>1\}$ の閉包は開集合 $(TM)_0$ に含まれるので切除により $H^\bullet(TM,(TM)_0;R)\cong H^\bullet(D,D\cap(TM)_0;R)$ であり、$D\cap(TM)_0$ は $v\mapsto v/\lvert v\rvert$ の方向への線分ホモトピーで $S$ に変形レトラクトするので、長完全列と 五項補題 により $H^\bullet(D,D\cap(TM)_0;R)\cong H^\bullet(D,S;R)$ である。これらは制限なのでファイバーへの制限とカップ積に両立し、$u$ は円板束の Thom 類に移る。Hat02 Corollary 4D.9（p. 441）により $b\mapsto\pi^*b\smile u$ は $H^0(M;R)$ から $H^n(TM,(TM)_0;R)$ への同型なので、$u'-u=\pi^*b\smile u$ となる $b$ がある。ファイバーに制限すると $0=b(x)\,u|_x$ で、$u|_x$ は基底なので $b(x)=0$ がすべての $x$ で成り立ち、$b=0$、$u'=u$ である。最後に、1 の $u$ に 2 を当てると同じ等式の一意性から元の $(\mu_x)$ に戻り、2 の $(\mu_x)$ に 1 を当てると、$u$ 自身が等式をみたすので一意性から $u$ に戻る。$\square$

ファイバーごとに線形同型なので $0$ でない元は $0$ でない元に写り、$g(E'_0)\subset E_0$ である。$g^*u(E)$ の $(E'_x,E_x'^\times)$ への制限は、線形同型 $g_x\colon E'_x\to E_{f(x)}$ による $\theta_{E_{f(x)}}$ の引き戻しなので、lem-thom-sing-fiber の 3 により $\theta_{E'_x}$ である。よって $g^*u(E)$ は $E'$ の Thom 類であり、thm-thom-sing-main の一意性により $u(E')$ に等しい。カップ積の自然性から $g^*(\pi^*b\smile u(E))=\pi'^*f^*b\smile g^*u(E)=\Phi'(f^*b)$ である。$\square$

$Y:=\mathbb R^m\times\mathbb R^n$、$Z_1:=(\mathbb R^m)^\times\times\mathbb R^n$、$Z_2:=\mathbb R^m\times(\mathbb R^n)^\times$ とする。$H^{m+n}(Y,Z_1\cup Z_2)$ は 1 次元なので、$\theta_m\times\theta_n\ne0$ を示せばよい。lem-thom-sing-fiber の 2 の $s\in H^{m-1}((\mathbb R^m)^\times)$ をとり、それを代表する余輪体 $\sigma$ の $0$ による延長を $\tilde\sigma\in C^{m-1}(\mathbb R^m)$ とすると $\theta_m=[\delta\tilde\sigma]$ である。$\gamma$ を $\theta_n$ を代表する相対余輪体とする。$\theta_m\times\theta_n$ は、カップ積 の補題「小さい単体による比較」の同型で、$C^\bullet(Y,Z_1+Z_2)$ の余輪体 $\mathrm{pr}_1^*\delta\tilde\sigma\smile\mathrm{pr}_2^*\gamma$ の類に対応する。

これが $0$ だとすると、$\mathrm{pr}_1^*\delta\tilde\sigma\smile\mathrm{pr}_2^*\gamma=\delta\zeta$ となる $\zeta\in C^{m+n-1}(Y,Z_1+Z_2)$ がある。$\eta:=\mathrm{pr}_1^*\tilde\sigma\smile\mathrm{pr}_2^*\gamma$ とおくと、Leibniz 則と $\delta\gamma=0$ から $\delta\eta=\mathrm{pr}_1^*\delta\tilde\sigma\smile\mathrm{pr}_2^*\gamma$ であり、$\eta$ は $Z_2$ の単体の上で消える（後ろの面が $Z_2$ に入る）。$\zeta$ も $Z_2$ の単体の上で消えるので、$c:=\eta+\zeta$ は $C^{m+n-1}(Y,Z_2)$ の余輪体である。$(Y,Z_2)$ は $\mathbb R^m$ 上の自明な束の対なので、lem-thom-sing-trivial により $[c]=\mathrm{pr}_1^*b\smile\mathrm{pr}_2^*\theta_n$ となる $b\in H^{m-1}(\mathbb R^m)$ がある。この類を対 $(Z_1,Z_1\cap Z_2)$ に制限すると $\mathrm{pr}_1^*(b|_{(\mathbb R^m)^\times})\smile\mathrm{pr}_2^*\theta_n$ である。一方、$\zeta$ は $Z_1$ の単体の上で消え、$Z_1$ の単体の前の面は $Z_1$ に入って $\tilde\sigma$ はそこで $\sigma$ に等しいので、$c$ の制限は $\mathrm{pr}_1^*\sigma\smile\mathrm{pr}_2^*\gamma$、すなわち $\mathrm{pr}_1^*s\smile\mathrm{pr}_2^*\theta_n$ の代表である。$(Z_1,Z_1\cap Z_2)$ は $(\mathbb R^m)^\times$ 上の自明な束の対なので、lem-thom-sing-trivial の単射性から $s=b|_{(\mathbb R^m)^\times}$ となり、$s$ が $H^{m-1}(\mathbb R^m)$ からの制限の像に入らないことに反する。$\square$

$m=0$ なら $E_{1,0}=\emptyset$、$u(E_1)=1$ なので右辺は $p_2^*u(E_2)$ であり、$p_2$ は各ファイバー $\{0\}\times E_{2,y}\to E_{2,y}$ で線形同型なので、cor-thom-sing-natural によりこれは $u(E_1\times E_2)$ である。$n=0$ も同じである。$m,n\ge1$ とする。thm-thom-sing-main の一意性により、右辺の各ファイバー $(F,F^\times)$、$F:=E_{1,x}\times E_{2,y}$ への制限が $\theta_F$ であることを示せばよい。包含 $j\colon F\to E_1\times E_2$ は $E_{1,x}^\times\times E_{2,y}$ を $E_{1,0}\times E_2$ に、$E_{1,x}\times E_{2,y}^\times$ を $E_1\times E_{2,0}$ に写すので、相対カップ積の自然性（カップ積 の定理「相対カップ積の基本性質」の 2）により、右辺の制限は $\theta_{E_{1,x}}\times\theta_{E_{2,y}}$（1 点上の束 $E_{1,x}$ と $E_{2,y}$ の積として）である。線形同型 $g_1\colon\mathbb R^m\to E_{1,x}$、$g_2\colon\mathbb R^n\to E_{2,y}$ をとり、$g:=g_1\times g_2$ とすると、同じ自然性と lem-thom-sing-fiber の 3 により $g^*(\theta_{E_{1,x}}\times\theta_{E_{2,y}})=\theta_m\times\theta_n$ であり、これは lem-thom-sing-cross-fiber により $\theta_{m+n}\ne0$ である。$g^*$ は 1 次元空間の同型なので $\theta_{E_{1,x}}\times\theta_{E_{2,y}}\ne0$、すなわち $\theta_F$ に等しい。$\square$

ベクトル束 の命題「Whitney 和と引き戻し」のとおり $E\oplus F$ は $E\times F$ の部分空間 $\{(v,w)\mid\pi(v)=\pi(w)\}$ である。包含 $\iota\colon E\oplus F\to E\times F$ は対角写像 $B\to B\times B$ の上にあり、各ファイバーで恒等写像 $E_x\oplus F_x\to E_x\times F_x$ である。$p_1\circ\iota=q_E$、$p_2\circ\iota=q_F$ なので $q_E^{-1}(E_0)=\iota^{-1}(E_0\times F)$ などは開集合である。cor-thom-sing-natural、thm-thom-sing-product と相対カップ積の自然性により $u(E\oplus F)=\iota^*\bigl(p_1^*u(E)\smile p_2^*u(F)\bigr)=q_E^*u(E)\smile q_F^*u(F)$ である。$\square$