基本近傍系
概要
基本近傍系（Local base / Neighborhood basis）とは、位相空間論において、ある点 $x$ の近傍系の中から、その点の収束性や連続性などの局所的な位相的性質を記述するために必要十分な「核となる近傍」を選び出した部分集合族のことである。点 $x$ の任意の近傍に対して、その内側にすっぽりと収まるような基本近傍系の元が必ず存在するという性質を持ち、距離空間における「半径 $\epsilon$ の開球」の概念を一般の位相空間に拡張した役割を果たす。
定義
位相空間 $(X, \mathcal{O})$ の点 $x$ における近傍系を $\mathcal{V}_x$ とする。
$\mathcal{V}_x$ の部分集合 $\mathcal{B}_x$ が点 $x$ の基本近傍系（きほんきんぼうけい、local base）あるいは近傍基であるとは、以下の条件を満たすことをいう。
任意の近傍 $V \in \mathcal{V}_x$ に対して、ある $B \in \mathcal{B}_x$ が存在して、
$$B \subseteq V$$
が成り立つ。
特に、$\mathcal{B}_x$ のすべての元が開集合であるとき、これを開近傍基（Open neighborhood base）と呼ぶ。
この定義は、「$x$ の周りのどんなに近い範囲（$V$）を指定されても、手持ちの基本的な近傍リスト（$\mathcal{B}_x$）の中から、さらにその範囲に収まるもの（$B$）を取り出せる」ことを意味する。
具体例
基本近傍系は一意には定まらず、目的に応じて扱いやすいものを選ぶことができる。
Euclid空間 $\mathbb{R}^2$ の原点 $(0,0)$ において、以下はすべて基本近傍系となる。
- 原点を中心とする開円盤の全体。
- 原点を中心とする開正方形（$(-r, r) \times (-r, r)$）の全体。
- 原点を含む開凸集合の全体（これは近傍系そのものに近いが、基本近傍系でもある）。
性質と役割
基本近傍系は、位相空間の局所的な構造を単純化して捉えるために用いられる。
点列 $\{x_n\}$ が $x$ に収束するかどうかを判定するには、すべての近傍を調べる必要はなく、ある基本近傍系 $\mathcal{B}_x$ さえ調べれば十分である。
- $x_n \to x \iff \forall B \in \mathcal{B}_x, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n \ge N \implies x_n \in B$
また、大域的な概念である「開基」との関係も重要である。
位相空間の開基 $\mathcal{B}$ が与えられたとき、各点 $x \in X$ に対して、
$$\mathcal{B}_x = \{ U \in \mathcal{B} \mid x \in U \}$$
と定めれば、これは点 $x$ の（開）基本近傍系となる。
すなわち、開基とは「すべての点に対する基本近傍系を一度に集めたもの」と解釈できる。
関連概念：第1可算公理
基本近傍系の濃度（元の個数）は、空間の性質を分類する重要な指標となる。
近傍系による位相の定義
通常は「開集合」から「近傍」を定義するが、逆に「各点に基本近傍系を割り当てること」を出発点として位相を定義することも可能である（Hausdorffの近傍公理）。
各点 $x \in X$ に空でない集合族 $\mathcal{B}(x)$ が対応し、以下の条件を満たすとき、$\mathcal{B}(x)$ を基本近傍系とするような位相が一意に定まる。
- $\forall B \in \mathcal{B}(x), x \in B$
- $\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B}(x), \exists B_3 \in \mathcal{B}(x)$ s.t. $B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$
- $\forall B \in \mathcal{B}(x), \exists B_0 \in \mathcal{B}(x)$ s.t. $B_0 \subseteq B$ かつ $\forall y \in B_0, \exists B' \in \mathcal{B}(y)$ s.t. $B' \subseteq B$
