安定∞圏
概要
安定∞圏（stable ∞-category）とは、零対象を持ち、ホモトピー的な引き戻し正方形と押し出し正方形が一致する∞圏である。ファイバー列と余ファイバー列が交換し、懸垂とループは逆同値となる。スペクトルと導来∞圏を例として説明し、点付き空間と通常のアーベル群の圏が安定でない理由を示す。
安定∞圏とは
安定∞圏（stable ∞-category）は、ホモトピーを含む圏で、有限の押し出しと引き戻しが一致するものをいう。これは導来圏に現れる短完全列や、安定ホモトピー論のスペクトルに現れる余ファイバー列を、同じ仕組みで扱うための概念である。正確には零対象を持つ∞圏で、引き戻しと押し出しが存在し、ある可換正方形が引き戻しであることと押し出しであることが同値になる（RV22 §4.4, Theorem 4.4.12）。
ここでいう∞圏は、射と射の間のホモトピー、その間のさらに高次のホモトピーを記録する。準圏はそのモデルの一つである。したがって「引き戻し」や「押し出し」も、射の等式だけを課す構成ではない。写像空間(∞圏)に対する普遍性で指定するホモトピー的な極限・余極限である。通常の圏で計算した正方形と無条件に取り違えないことが重要になる。
安定性がもたらす特徴は、懸垂とループが互いに逆の同値になること、ファイバー列と余ファイバー列が一致すること、そしてホモトピー圏に三角構造が生じることである。一方、普通のアーベル圏をそのまま∞圏と見なしただけでは安定とは限らない。この違いは、ホモトピー情報を保った導来構成が必要な理由を明確にする。
基本性質
零対象と有限の普遍構成
∞圏 $\mathcal C$ の対象 $0$ が零対象であるとは、始対象でも終対象でもあることをいう。つまり任意の $X$ について、$0$ から $X$ への写像空間と $X$ から $0$ への写像空間がともに可縮である。「唯一の射」という通常の圏での言い方は、∞圏では「選択の空間が可縮」という意味に置き換わる。零対象を持つ∞圏を点付きという。
零対象があれば、零射 $X\to0\to Y$ を、可縮な選択の範囲で定められる。そこで射 $f:X\to Y$ のファイバーと余ファイバーを次のホモトピー的な普遍構成で定める。
$$
\operatorname{fib}(f)=X\times_Y0,\qquad
\operatorname{cofib}(f)=0\mathop{\sqcup}\limits_XY.
$$
前者は $X\to Y\leftarrow0$ の引き戻し、後者は $0\leftarrow X\to Y$ の押し出しである。群準同型なら核と余核を思い浮かべられるが、ここでは写像のホモトピー情報も記録する。両者を通常の核・余核と同一視してはいけない。
点付き∞圏 $\mathcal C$ が安定∞圏であるとは、引き戻しと押し出しが存在し、$\mathcal C$ の任意の可換正方形について、それが引き戻し正方形であることと押し出し正方形であることが同値であることをいう。すなわち、存在する有限の正方形の極限と余極限について、両方の普遍性を満たす正方形が一致する。
「任意の正方形が両方である」という意味ではない。まず一方の普遍性を満たす正方形を選び、それが必ずもう一方も満たすという意味である。たとえば任意の四つの対象と四つの射を正方形に並べただけでは、どちらの普遍性も満たさないことがある。
零対象と有限の引き戻し・押し出しがあると、空の図式、有限積・有限余積を含む有限極限・有限余極限を構成できる。したがって定義は、安定∞圏が有限のホモトピー的な極限と余極限を十分に持つことも含んでいる。初歩的な圏論で同じ形の四角形を使っても、写像空間の高次情報を無視すると異なる答えになる場合がある。
ファイバー列と余ファイバー列
射 $f:X\to Y$ の余ファイバーを $Z$ と書けば、押し出し正方形から $X\to Y\to Z$ が得られる。安定性により同じ正方形は引き戻しでもあるから、$X$ は $Y\to Z$ のファイバーとなる。すなわち、余ファイバー列はファイバー列でもある。逆向きの言明も同様である（RV22 §4.4; Lur06 Definition 2.9）。
$$
\xymatrix{
X \ar[r]^f \ar[d] & Y \ar[d] \\
0 \ar[r] & Z
}
$$
この正方形は $Z\simeq 0\mathop{\sqcup}\limits_XY$ を表すと同時に、$X\simeq Y\times_Z0$ を表す。前者が押し出し、後者が引き戻しとして読んだ式である。
安定∞圏 $\mathcal C$ で $f:X\to Y$ を任意の射とする。$Z=\operatorname{cofib}(f)$ とすると、自然な射 $Y\to Z$ に対し
$$
X\simeq\operatorname{fib}(Y\to Z)
$$
が成り立つ。双対的に $F=\operatorname{fib}(f)$ とすると $Y\simeq\operatorname{cofib}(F\to X)$ である。
$Z$ は $0\leftarrow X\xrightarrow{f}Y$ の押し出しとして定めたので、$X\to Y$、$X\to0$、$Y\to Z$、$0\to Z$ の正方形は押し出しである。安定性により、この正方形は引き戻しでもある。したがってその左上の対象は $Y\to Z\leftarrow0$ の引き戻しであり、定義から $\operatorname{fib}(Y\to Z)$ に同値である。後半は $F$ を引き戻しとして定めた正方形に同じ議論を逆向きに適用すればよい。$\square$
この命題は普通のアーベル群の核と余核の単純な交換ではない。たとえばアーベル群の準同型に対して「余核の核は元の群」と一般に言うことはできない。安定∞圏での余ファイバーは、導来された情報を含み、上の正方形自体が二種類の普遍性を持つために命題が成立する。
安定∞圏の図式を扱う際には、$X\to Y\to Z$ の各矢印だけでなく、それらの合成が零射へホモトピーで結ばれるデータも重要である。これを落とすと、ファイバー列・余ファイバー列を特徴づける図式として十分ではない。同じ三つの対象が並んでいても、与えたホモトピーが違えば別の列になり得る。
懸垂とループ
点付き∞圏で余ファイバーとファイバーが存在するとき、対象 $X$ の懸垂とループ対象を
$$
\Sigma X=\operatorname{cofib}(X\to0),\qquad
\Omega X=\operatorname{fib}(0\to X)
$$
で定める。懸垂は $0\leftarrow X\to0$ の押し出し、ループは $0\to X\leftarrow0$ の引き戻しである。点付き空間なら、前者は通常の縮約懸垂、後者は基点付きループ空間に相当する。安定∞圏では懸垂とループは互いに逆の同値になる（RV22 §4.4, Theorem 4.4.12）。
$$
\xymatrix{
X \ar[r] \ar[d] & 0 \ar[d] \\
0 \ar[r] & \Sigma X
}
$$
この一つの正方形を押し出しとして読むと $\Sigma X$ の定義となり、引き戻しとして読むと $X\simeq\Omega\Sigma X$ となる。
安定∞圏 $\mathcal C$ の任意の対象 $X$ に対し、自然な同値
$$
\Omega\Sigma X\simeq X,\qquad \Sigma\Omega X\simeq X
$$
がある。したがって $\Sigma:\mathcal C\to\mathcal C$ は自己同値である。
$\Sigma X$ の定義により、左上が $X$、右上と左下が $0$、右下が $\Sigma X$ の正方形は押し出しである。安定性からそれは引き戻しでもある。二つの零対象から $\Sigma X$ へ向かう図式を引き戻しとして読むと、左上は $0\times_{\Sigma X}0=\Omega\Sigma X$ である。従って $X\simeq\Omega\Sigma X$。双対的に $\Omega X$ の定義正方形は引き戻しであり、安定性から押し出しでもある。その右下を押し出しとして読むと $X\simeq\Sigma\Omega X$ を得る。両構成は対象と射に自然なので、懸垂とループは互いに逆の自己同値になる。$\square$
この同値が「安定」という名の中心である。空間の場合、懸垂を一度取ると一般に元の空間へ戻れないが、安定∞圏では懸垂で失われる情報がなく、負方向へのずらしもループで表せる。文献では零対象と有限の余極限を持ち、懸垂が同値になることを定義に採る場合もある。適切な有限構成の存在を仮定すれば、正方形による定義と同値である。
例と安定でない例
スペクトルと導来圏
スペクトルの∞圏 $\mathrm{Sp}$ は安定∞圏の代表例である。スペクトルを点付き空間の列と構造同値から考えると、懸垂とループが相互に逆になる性質を組み込んでいる。スペクトルのホモトピー群は負次数にも延び、空間の一回の懸垂では見えにくい安定した情報を扱える。$\mathrm{Sp}$ が定義の正方形条件を満たすことは標準的な構成の基本定理である（Lur06 Example 2.11; RV22 §4.4）。これは単に点付き空間の記号を置き換えたものではなく、空間を安定化して得る∞圏である。
環 $R$ の加群を複体にし、擬同型を同値として局所化すると、導来∞圏 $\mathcal D(R)$ が得られる。$\mathcal D(R)$ も安定∞圏であり、そのホモトピー圏は通常の導来圏に対応する。複体の次数をずらす操作が懸垂に対応し、写像の余ファイバーは写像錐で表される。ただし符号と添字の約束によって $[1]$ の書き方が変わるので、懸垂と次数ずらしの対応は採用した複体の規約の下で読む（Lur06 Example 2.12; RV22 §4.4）。
この例では、短完全列から得る長完全コホモロジー列が、余ファイバー列の影として現れる。導来∞圏はホモトピー圏の三角だけでなく、写像空間やその高次の整合性を保持する。そのため、単なる三角圏の図式では指定しにくい高次の構成や、複数の関手の間の整合性を扱える。安定∞圏はホモロジー代数の計算を、特定の複体表示から独立した言葉へ整理する。
零対象だけからなる∞圏も安定である。有限の極限と余極限はすべて零対象で計算され、正方形は常に両方の普遍性を満たす。これは重要な境界例であり、安定∞圏の定義が非零対象の存在を要求しないことを示す。
安定でない例：点付き空間と通常のアーベル群の圏
零対象と有限の普遍構成だけでは安定性は決まらない。懸垂の振る舞いを並べると、例の違いが見える。
| ∞圏 | 懸垂の振る舞い | 安定性 |
|---|---|---|
| スペクトルの∞圏 $\mathrm{Sp}$ | ループと逆同値 | 安定 |
| 導来∞圏 $\mathcal D(R)$ | 複体の次数ずらしに対応 | 安定 |
| 点付き空間の∞圏 $\mathcal S_*$ | $S^0$ が懸垂の像に入らない | 安定でない |
| 通常の $\mathrm{Ab}$ を離散的な∞圏と見たもの | 全対象を $0$ に送る | 安定でない |
点付き空間の∞圏は零対象を持ち、ホモトピー的な引き戻しと押し出しも持つ。しかし安定ではない。懸垂が自己同値にならないからである。離散な二点空間 $S^0$ の縮約懸垂は円周 $S^1$ である。より一般に、点付き空間の縮約懸垂は道連結であるのに、$S^0$ は道連結でない。したがって $S^0$ は懸垂の本質的像に入らず、懸垂は全射的な同値になれない。安定性の必要条件に反する。
点付き空間の∞圏 $\mathcal S_*$ は安定∞圏ではない。
任意の点付き空間 $X$ の縮約懸垂は、二つの錐を基底 $X$ に沿って貼り合わせた空間である。どの点も一方の錐の頂点を通る道で基点につながるため、$\Sigma X$ は道連結である。空の点付き空間はなく、基点を持つこともここで用いている。一方 $S^0$ は二つの道連結成分を持つ。ゆえに $S^0\simeq\Sigma X$ となる $X$ は存在せず、$\Sigma$ は本質的全射でない。安定∞圏では前命題により $\Sigma$ は同値であるから、$\mathcal S_*$ は安定でない。$\square$
通常のアーベル群の圏 $\mathrm{Ab}$ を、写像空間が離散な∞圏として見ても安定でない。この圏は零対象も有限極限・余極限も持つが、そこでの懸垂はどの対象も零対象へ送る。実際、$\Sigma A$ は $0\leftarrow A\to0$ の通常の押し出しであり、その値は $0$ である。$A=\mathbb Z$ は非零なので懸垂は同値になれない。この例は「アーベルである」と「安定∞圏である」が別の性質だと示す。
写像空間を離散にした通常の圏 $\mathrm{Ab}$ は、安定∞圏ではない。
アーベル群 $A$ に対し、$0\leftarrow A\to0$ の押し出しへの射を調べる。任意のアーベル群 $B$ への二つの射 $0\to B$ は唯一で、$A$ 上で自動的に一致する。したがって押し出しの普遍性を $0$ 自身が満たし、$\Sigma A=0$ である。特に $\Sigma\mathbb Z=0$ だが $\mathbb Z$ は $0$ と同型でない。懸垂が自己同値なら異なる同型類を区別するので、これは不可能である。従って $\mathrm{Ab}$ は安定でない。$\square$
ここでの $\mathrm{Ab}$ と、アーベル群の複体を擬同型で局所化した導来∞圏 $\mathcal D(\mathrm{Ab})$ は異なる。後者ではホモトピー的な余ファイバーが複体のずらしを記録し、懸垂は零にならない。両者の区別をしないまま「アーベル群の圏は安定」と書くと誤りになる。
関手と三角構造
正確な関手と双対性
安定∞圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の間の関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ が完全であるとは、有限極限を保つこと、同値に有限余極限を保つことをいう。ここでの「完全」はアーベル圏で左右完全性を別々にいう場合と用語の背景は似ているが、対象となる構成はホモトピー的な極限・余極限である。関手が零対象と引き戻しを保てば、安定性により零対象と押し出しも保つ。逆も成り立つ（RV22 §4.4）。
安定∞圏間の関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ について、有限極限を保つことと有限余極限を保つことは同値である。
$F$ が有限極限を保つと仮定する。終対象は有限極限の一つなので、$F$ は $\mathcal C$ の零対象を $\mathcal D$ の零対象へ送る。また任意の押し出し正方形は $\mathcal C$ の安定性により引き戻しである。$F$ はそれを $\mathcal D$ の引き戻しへ送り、$\mathcal D$ の安定性により像の正方形は押し出しでもある。零対象と押し出しを保てば有限余極限を保つので、$F$ は有限余極限を保つ。逆向きは始対象と押し出しを用いた双対の議論で得られる。$\square$
安定∞圏 $\mathcal C$ の反対∞圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ も安定である。反対化は始対象と終対象、押し出しと引き戻しを交換する。零対象は両方を兼ねるため反対化後も零対象であり、「二種類の正方形が一致する」という条件も保存される。これは安定性が射の向きを一方に偏らせないことを示す。
$\mathcal C$ が安定∞圏なら、$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ も安定∞圏である。
$\mathcal C$ の零対象は始対象かつ終対象なので、矢印を逆にした後も零対象である。$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の引き戻しは $\mathcal C$ の押し出しを反対向きに読んだものであり、逆も同じである。$\mathcal C$ には両方が存在し、それぞれ同じ正方形が二つの普遍性を満たす。ゆえに反対向きにも引き戻しと押し出しが存在して一致する。定義から $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は安定である。$\square$
ホモトピー圏と三角構造
安定∞圏のホモトピー圏 $h\mathcal C$ は、対象をそのままにし、写像空間の連結成分を射として作る通常の圏である。安定∞圏の懸垂は $h\mathcal C$ の自己同値を与え、余ファイバー列から
$$
X\longrightarrow Y\longrightarrow \operatorname{cofib}(f)
\longrightarrow \Sigma X
$$
という三角が得られる。適切な三角の公理が成立し、$h\mathcal C$ は三角圏になる（Lur06 Theorem 3.11; RV22 §4.4, Digression 4.4.16）。導来圏での写像錐三角はこの例である。
ただし、三角圏という結果だけから元の安定∞圏のすべての情報を復元できるわけではない。ホモトピー圏へ移ると、写像空間の高次のホモトピーや、複数の図式の間の高次の整合性を忘れる。安定∞圏は三角構造を与える増強された対象である。任意に与えた三角圏が自動的に安定∞圏として実現される、と主張するものでもない。
射 $f$ のファイバー列・余ファイバー列を保つ関手は、導来圏では三角を保つ関手を誘導する。だからこそ、上の完全関手の条件はホモロジー代数の「正確な構成」に対応する。$\mathcal D(R)$ における次数ずらしや写像錐、$\mathrm{Sp}$ における懸垂と余ファイバーが同じ言葉で記述できる点が、この概念の実用上の中心である。
見分けるための要点
安定性を調べる際には、まず零対象があるかを確認する。次に有限のホモトピー的な引き戻しと押し出しを確認し、その二種類の正方形が一致するかを問う。別の道として、有限の余極限と懸垂自己同値を確認してもよいが、有限構成の存在条件を落として懸垂だけを見てはならない（RV22 Theorem 4.4.12）。
直観的には「一度懸垂しても情報を失わない」「核型と余核型の列が同じ正方形から出る」という二点が重要である。ただし、この直観は通常の圏での核と余核を無理に同一視する指示ではない。定義は常に∞圏の写像空間を用いた普遍性についてのものである。点付き空間は懸垂が同値にならず、通常のアーベル群の圏は懸垂が零になる。これら二つの例をスペクトルや導来∞圏と比べると、どの情報が安定化で加わるかが見える。
参照箇所
RV22 §4.4 は点付き∞圏、ファイバー・余ファイバー、懸垂・ループの同値、安定∞圏の同値な特徴づけを扱う。Lur06 Definition 2.9 と Examples 2.11–2.12 は定義とスペクトル・導来∞圏の例、Theorem 3.11 はホモトピー圏の三角構造の根拠である。
関連項目
参考文献
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