コンマ圏(豊穣圏)
概要
コンマ圏(豊穣圏)（enriched comma category）とは、二つの豊穣関手の値を結ぶ比較射を対象とし、その比較を保つ可換四角形をHom対象で記録する豊穣圏である。Hom対象は基礎圏の引き戻し（二項積と等化子）で厳密に構成でき、通常のコンマ圏を回収し、単位が終対象であるCartesianな基礎では豊穣スライス圏も回収するが、∞圏版の高次の変形とは区別が必要である。
前提知識: 豊穣圏, 自然変換(豊穣圏), コンマ圏, 等化子
定義
$\mathcal V$ を対称モノイダル圏とし、テンソル積を $\otimes$、単位を $I$ と書く。$\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ は $\mathcal V$-圏（豊穣圏）、$F:\mathcal A\to\mathcal C$ と $G:\mathcal B\to\mathcal C$ は豊穣関手（関手(豊穣圏)）とする。対象集合・Homの大きさは固定した宇宙内で管理する。以下の定義に必要なのは、Hom対象を定める引き戻し（$\mathcal V$ の二項積と当該の二射の等化子）が $\mathcal V$ に存在することだけである（rem-comma-category-enriched-base）。典型例は $\mathcal V$ が完備なCartesian閉圏（モノイダル積がCartesian積 $\times$、単位が終対象 $1$）の場合で、$\mathrm{Set}$、$\mathrm{Cat}$、$\mathrm{sSet}$ がこれにあたる。
射 $x\to y$ は $I\to\mathcal C(x,y)$ のこと。豊穣関手はHom対象間の射を持ち、単位・合成を保つ。豊穣自然変換（自然変換(豊穣圏)）の自然性は、各Hom対象全体からの二つの合成が等しいという条件である。射 $\alpha:Fa\to Gb$ による前合成 $\alpha^*:\mathcal C(Gb,Gb')\to\mathcal C(Fa,Gb')$ は $\mathcal C(Gb,Gb')\cong\mathcal C(Gb,Gb')\otimes I\xrightarrow{1\otimes\alpha}\mathcal C(Gb,Gb')\otimes\mathcal C(Fa,Gb)\to\mathcal C(Fa,Gb')$ で定め、射 $\beta:Fa'\to Gb'$ による後合成 $\beta_*:\mathcal C(Fa,Fa')\to\mathcal C(Fa,Gb')$ も同様に定める。
コンマ圏(豊穣圏) (enriched comma category) $(F\downarrow G)$ の対象は、$a\in\mathcal A$、$b\in\mathcal B$ と射 $\alpha:Fa\to Gb$ の組 $(a,b,\alpha)$ である。
$x=(a,b,\alpha)$、$y=(a',b',\beta)$ に対し $Z=\mathcal C(Fa,Gb')$ と置き、$\mathcal V$ の二射
$$
t=\beta_*\circ F_{a,a'}:\mathcal A(a,a')\to Z,\qquad
s=\alpha^*\circ G_{b,b'}:\mathcal B(b,b')\to Z
$$
を考える。Hom対象は $\mathcal V$ 内の引き戻し
$$
(F\downarrow G)(x,y)=\mathcal A(a,a')\mathop{\times}_{Z}\mathcal B(b,b')
$$
である。$\mathcal V$ が二項積を持てば、これは $P=\mathcal A(a,a')\times\mathcal B(b,b')$ からの二射
$$
(F\downarrow G)(x,y)=\operatorname{Eq}(P\rightrightarrows Z),\qquad
s(u,v)=G(v)\alpha,\quad t(u,v)=\beta F(u)
$$
の等化子に等しい。右の式は、それぞれ $P$ の射影と $F,G$ のHom写像と $\mathcal C$ の合成を用いて定めた $\mathcal V$ の射を表す。単位・合成は $\mathcal A,\mathcal B$ から成分ごとに誘導する（prop-comma-category-enriched-composition）。
この条件はHomを集合にしてから課すものではない。任意の $T\in\mathcal V$ に対し、$T\to(F\downarrow G)(x,y)$ は $u:T\to\mathcal A(a,a')$ と $v:T\to\mathcal B(b,b')$ で $G(v)\alpha=\beta F(u)$（すなわち $\alpha^*G_{b,b'}v=\beta_*F_{a,a'}u$）を満たすものに対応する。関手圏のHomを自然性の等化子として作る方法は Kel82 §§2.1–2.3、矢印の豊穣圏のHom引き戻しは Rie14 §13.1、式(13.1.1)に基づく。固定対象へのコンマ構成は Tam09 Definition A.22 にも与えられる。
直感
二つの図式の値を、比較射 $Fa\to Gb$ で結ぶ。その比較射を動かすときは、左右の動きが同じ比較になることをHom対象の等式として要求する。「二つの値が等しい」という圏の厳密引き戻し $\mathcal A\times_{\mathcal C}\mathcal B$ でも、「比較の2射まで選ぶ」という緩いコンマ構成でもない。
始域・終域を混同しないため、$G(v)\alpha:Fa\to Gb'$ と $\beta F(u):Fa\to Gb'$ の行き先を定義中で揃えている。
例と反例
$\mathcal V=\mathrm{Set}$ なら、Homは $G(v)\alpha=\beta F(u)$ を満たす射の組の集合である。これは通常のコンマ圏そのもの。例えば一対象圏から $[1]=(0\to1)$ の $0,1$ をそれぞれ選ぶと、コンマ圏は一点になる。
$F=G=\operatorname{id}_{\mathcal C}$ とすると、対象は $\mathcal C$ の射、Homは可換四角形を全パラメータで記録する対象である。$\mathcal V=\mathrm{sSet}$ ならその $n$ 単体は、左右のHomの $n$ 単体の組で、四角形の等式をその次数で満たすものになる。任意のHomの $n$ 単体を両端から自由に選べるわけではない。
Set豊穣で $F$ が $0$、$G$ が $1$ を選ぶ前の例では、圏の厳密引き戻し $\mathcal A\times_{\mathcal C}\mathcal B$ は $0=1$ を要求するので空である。コンマ圏は $0\to1$ を選べるので一点。従って「豊穣コンマ圏は単に $\mathcal A\times_{\mathcal C}\mathcal B$ である」は偽である。
性質と証明
定義の引き戻しHomは、単位・合成を持ち、豊穣圏をなす。
$E=(F\downarrow G)(x,y)$、$E'=(F\downarrow G)(y,z)$、$z=(a'',b'',\gamma)$ とし、引き戻しの射影を $p_1:E\to\mathcal A(a,a')$、$p_2:E\to\mathcal B(b,b')$、$p_1':E'\to\mathcal A(a',a'')$、$p_2':E'\to\mathcal B(b',b'')$ と書く。合成の候補は $E'\otimes E$ から $\mathcal A(a,a'')$ への射 $m_{\mathcal A}(p_1'\otimes p_1)$ と、$\mathcal B(b,b'')$ への射 $m_{\mathcal B}(p_2'\otimes p_2)$ である。これらを $u'u$、$v'v$ と略記すると、$E'\otimes E$ からの射として
$$
G(v'v)\alpha=G(v')G(v)\alpha
=G(v')\beta F(u)=\gamma F(u')F(u)=\gamma F(u'u)
$$
が成立する。各等号は順に $G$ の合成保存、$E$ の引き戻し条件 $\alpha^*Gp_2=\beta_*Fp_1$、$E'$ の引き戻し条件 $\beta^*Gp_2'=\gamma_*Fp_1'$、$F$ の合成保存であり、途中で $\mathcal C$ の結合律を使って括弧を付け替えている。いずれも $\otimes$ と単位の同型だけで書ける $\mathcal V$ の射の等式で、$\mathcal V$ の射影や対角は使わない。従って成分合成は引き戻しへ一意に因子化する。単位も $\alpha=\alpha$ から因子化する。結合律と単位律は $\mathcal A,\mathcal B$ への射影後に成立し、引き戻しへの射は二つの射影との合成で一意に決まる（射影後の対が一致すれば元の射も一致する）ので、元でも成立する。ここで $(u,v)$ は記号的な元ではなく、Hom対象からの普遍的射影を表している。
任意の $\mathcal V$-圏 $\mathcal T$ について、豊穣関手 $H:\mathcal T\to(F\downarrow G)$ は、豊穣関手 $a:\mathcal T\to\mathcal A$、$b:\mathcal T\to\mathcal B$ と豊穣自然変換 $\alpha:Fa\Rightarrow Gb$ に一対一に対応する。
$H$ を射影すると $a,b$ が得られ、対象の第3成分が $\alpha_t$ を与える。$H$ のHom写像が引き戻しを通る条件は、$\mathcal T(t,t')$ からの二つの射 $(\alpha_{t'})_*Fa_{t,t'}$ と $(\alpha_t)^*Gb_{t,t'}$ が等しいこと、すなわち $\alpha$ の豊穣自然性である。逆に $a,b,\alpha$ があれば、それらのHom写像の組は自然性により引き戻しへ一意に因子化する。単位・合成保存は射影後に確認でき、引き戻しの唯一性で成立する。両構成は対象・Hom写像をそのまま返すため厳密に互逆で、$\mathcal T$ への前合成とも可換である。
自然変換まで含めると、二組 $(a,b,\alpha)$、$(a',b',\alpha')$ の間の射は $(\lambda:a\Rightarrow a',\mu:b\Rightarrow b')$ で $(G\mu)\alpha=\alpha'(F\lambda)$ を満たすものになる。各成分を同じ引き戻しへ因子化すれば、上の対応はこれらの通常の圏の同型にもなる。
一般の $\mathcal V$ で $(F\downarrow G)_0\cong(F_0\downarrow G_0)$ である。さらに $\mathcal V$ が完備なCartesian閉圏で、単位 $I$ が終対象 $1$ であるとする。$\mathbf1$ を一対象・Homが $1$ の豊穣圏とし、$c:\mathbf1\to\mathcal C$ が対象 $c$ を選ぶと、$(\operatorname{id}_{\mathcal C}\downarrow c)$ は豊穣スライス圏 $\mathcal C/c$（スライス圏(豊穣圏)）、$(c\downarrow\operatorname{id}_{\mathcal C})$ は豊穣余スライス圏 $c/\mathcal C$ となる。
$I$ からHom引き戻しへの射は、通常の射の組 $u:I\to\mathcal A(a,a')$、$v:I\to\mathcal B(b,b')$ で同じ可換式 $\beta F_0(u)=G_0(v)\alpha$ を満たすものに等しい。対象と演算も一致する。ここまでは $\mathcal V$ に仮定を要しない。$G=c$ の場合は右成分のHomが $\mathbf1(*,*)=1$ で、$c$ のHom写像は単位 $1\to\mathcal C(c,c)$ なので、引き戻し条件が $qu=p$ に縮まり、Hom対象は $\mathcal C(x,y)\times_{\mathcal C(x,c)}1$、すなわち点 $p$ 上の後合成のファイバーとなる。これは豊穣スライス圏のHom対象の定義そのものである。左を固定すると $up=q$ となる。ここでは終対象 $1$ がモノイダル単位でもあること、すなわち $I=1$ を使う。
基礎圏の条件と∞圏への接続
Hom対象 $(F\downarrow G)(x,y)$ の存在に要るのは、当該の対 $(\beta_*F_{a,a'},\alpha^*G_{b,b'})$ の引き戻し、すなわち $\mathcal V$ の二項積とこの二射の等化子だけである。$\mathcal V$ の完備性や閉性は、すべてのHom対象を一括して作るための十分条件にすぎない。一方、prop-comma-category-enriched-underlying のスライスへの特殊化には $I=1$ が効いている。単位 $I$ が終対象でないと、「一対象・Homが $I$ の圏」は終豊穣圏とは限らず、終豊穣圏から任意の対象を選ぶ関手も存在するとは限らない。例えば $\mathcal V=\mathrm{Ab}$ では、Hom対象の組に斉次な線形等式 $\beta F(u)=G(v)\alpha$ を課す上の構成はそのまま意味を持つが、非零対象 $c$ への通常スライス $\mathcal C_0/c$ を豊穣スライスとして回収できるとは限らない。
単体的圏 $\mathcal C$ に対象 $0,1$ を置き、自己Homを一点、$\mathcal C(1,0)=\emptyset$、$\mathcal C(0,1)=N\mathbb Z$（群 $\mathbb Z$ を一対象亜群とみなした脈体）とする。全HomはKan複体である。$F,G:\mathbf1\to\mathcal C$ が $0,1$ を選ぶと、厳密な豊穣コンマは一対象・Hom一点の圏になる。対象に使える $N\mathbb Z$ の頂点が一つで、等化子の始域も $1\times1=1$ だからである。
一方、対応する∞圏のコンマは $0$ から $1$ への写像空間（写像空間(∞圏)）$N\mathbb Z$ を表し、その基本群は $\mathbb Z$。厳密コンマの脈体である一点とは同値でない。比較射自身の高次の変形を厳密等式で消してしまうことが相違の原因である。
局所Kanな単体的圏からホモトピー整合的脈体で準圏を得ることと、その厳密なコンマ構成が∞コンマを与えることは別の主張である。前者と写像空間比較には HTT09 Proposition 1.1.5.10、Theorem 2.2.0.1 を使う。二点間の矢印対象と写像空間の比較は同書 Remark 1.2.2.5、Corollary 4.2.1.8 による。∞コンマは準圏の矢印対象 $C^{\Delta^1}$ を用いて比較射の変形を保ち、適切なファイバー化・導来構成を通して比較する。単にHomをKan置換するだけでは、上の一点を $N\mathbb Z$ に復元できない。
関連項目
参考文献
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