関数体

$U:=\operatorname{Spec}A$ は空でない開集合なので $\mathcal{O}_X(U)=A$ は整域である。生成点 $\eta$ は $U$ に含まれ、$U$ での閉包は $\overline{\{\eta\}}\cap U=U$ だから、$\eta$ は $U$ の生成点である。$\operatorname{Spec}A$ の点 $\mathfrak{q}$ の閉包は $V(\mathfrak{q})$ なので、$\mathfrak{q}$ が生成点であることは $\mathfrak{q}$ が $A$ のすべての素イデアルに含まれることと同値であり、$A$ は整域だから $(0)$ が素イデアルで、これは $\mathfrak{q}=(0)$ を意味する。よって $\eta$ は $(0)$ に対応する。茎は開集合の上で計算できるので
$$ K(X)=\mathcal{O}_{X,\eta}=\mathcal{O}_{U,\eta}=A_{(0)}=\operatorname{Frac}A $$
である（素イデアル $(0)$ での局所化は $0$ 以外のすべての元を分母に許すので商体に等しい）。$\square$

1：$x$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ をとり、$x$ を素イデアル $\mathfrak{p}$ とする。prop-function-field-fraction-field により写像は $A_{\mathfrak{p}}\to\operatorname{Frac}A$ であり、$A$ は整域だから単射である。
2：単射性。$s\in\mathcal{O}_X(U)$ の像が $0$ なら、$U$ に含まれる空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上で $s|_{\operatorname{Spec}A}\in A$ の $\operatorname{Frac}A$ での像が $0$ なので $s|_{\operatorname{Spec}A}=0$ である。このような開集合は $U$ を覆うので、層の性質から $s=0$ である。
等式。$\subset$ は、$s$ の像がどの $x\in U$ でも $s$ の芽を経由することからわかる。$\supset$ を示す。まず $U=\operatorname{Spec}A$ がアフィンの場合を考え、$f\in\bigcap_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}$ とする。$J:=\{a\in A\mid af\in A\}$ は $A$ のイデアルである。各素イデアル $\mathfrak{p}$ について $f=b/c$（$b\in A$、$c\notin\mathfrak{p}$）と書けるので $c\in J\setminus\mathfrak{p}$ であり、$J$ はどの素イデアルにも含まれない。よって $J=A$、すなわち $1\in J$ で $f\in A$ である。一般の $U$ では、$U$ をアフィン開集合 $V_\alpha=\operatorname{Spec}A_\alpha$ で覆う。$f\in\bigcap_{x\in U}\mathcal{O}_{X,x}$ なら、アフィンの場合から $f$ は $s_\alpha\in\mathcal{O}_X(V_\alpha)$ の像である。$s_\alpha$ と $s_\beta$ は $V_\alpha\cap V_\beta$ の上でどちらも $f$ に写るので、単射性から一致する。層の貼り合わせで $s\in\mathcal{O}_X(U)$ が得られ、$s$ の像は $f$ である。$\square$

$x\in\operatorname{dom}(f)$ なら、$f$ はある開集合 $V\ni x$ の上の切断 $s_V$ の芽である。$V$ の各点 $y$ で $s_V$ の芽は $K(X)$ の中で $f$ に写るので $V\subset\operatorname{dom}(f)$ であり、$\operatorname{dom}(f)$ は開集合である。空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ をとり $f=a/b$（$a,b\in A$、$b\neq0$）と書くと、$f$ は $D(b)$ の各点で正則なので $\operatorname{dom}(f)\supset D(b)\neq\emptyset$ である。$\operatorname{dom}(f)$ の各点で $f\in\mathcal{O}_{X,x}$ だから、prop-function-field-intersection の 2 により $f\in\mathcal{O}_X(\operatorname{dom}(f))$ である。後半も同じ命題の単射性と、$U$ の各点で $f\in\mathcal{O}_{X,x}$ となることから従う。$\square$

$\mathbb{P}^n_k$ の空でないアフィン開集合 $U_0=\operatorname{Spec}k[x_1/x_0,\dots,x_n/x_0]$ に prop-function-field-fraction-field を当てはめると、$K(\mathbb{P}^n_k)$ は $n$ 変数の多項式環 $k[y_1,\dots,y_n]$（$y_i:=x_i/x_0$）の商体である。
後半を示す。$p,q\in k[y_1,\dots,y_n]$、$q\neq0$ とし、$d$ を $p,q$ の次数の最大値とすると、$F:=x_0^dp(x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)$、$G:=x_0^dq(x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)$ は次数 $d$ の斉次多項式で、$p/q=F/G$ である（$G\neq0$ は $q\neq0$ から従う）。逆に $F,G$ が次数 $d$ の斉次多項式で $G\neq0$ なら、$F/G=\dfrac{F/x_0^d}{G/x_0^d}$ であり、$F/x_0^d=F(1,y_1,\dots,y_n)$、$G/x_0^d=G(1,y_1,\dots,y_n)$ は $y$ の多項式である。$G(1,y)=0$ なら $G=x_0^dG(1,x_1/x_0,\dots,x_n/x_0)=0$ となるので $G(1,y)\neq0$ であり、$F/G$ は $k(y_1,\dots,y_n)$ の元である。$\square$

$A$ は $k[x]$ 上 $1,y$ を基底とする自由加群である（$y^2=1-x^2$ で $y$ の次数を下げられ、$y$ について 2 次の多項式 $y^2-(1-x^2)$ で割った余りは一意）。$1-x^2$ は $k[x]$ で平方でない（$(ax+b)^2=1-x^2$ なら $a^2=-1$、$2ab=0$、$b^2=1$ となり、標数が $2$ でないので $a=0$ となって $a^2=-1$ に反する）ので、$y^2-(1-x^2)$ は $k[x][y]$ で既約であり、$A$ は整域、$C$ はアフィン多様体である。基底の記述から $x+1$、$y$、$1-x$ は $A$ で $0$ でない。
1：$K(C)$ で $y=t(x+1)$ を $x^2+y^2=1$ に代入すると $(x+1)\bigl((x-1)+t^2(x+1)\bigr)=0$ で、$x+1\neq0$ だから $x(1+t^2)=1-t^2$ である。$1+t^2=0$ なら $1-t^2=0$ となり $2=0$ に反するので $1+t^2\neq0$ であり、$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y=t(x+1)=\frac{2t}{1+t^2}$ を得る。よって $K(C)=k(x,y)=k(t)$ である。$k[x]\subset A$ なので $x$ は $k$ 上超越的で、$\operatorname{trdeg}_kK(C)\ge1$ である。$t$ が $k$ 上代数的なら $k(t)$ は $k$ 上代数的となり矛盾するので、$t$ は超越的である。
2：$y^2=(1-x)(1+x)$ から $\frac{x+1}{y}=\frac{y}{1-x}$ である。$s$ は $D(y)$ の各点で前者の形から、$D(1-x)$ の各点で後者の形から正則であり、$D(y)\cup D(1-x)=C\setminus V(y,1-x)$ で、$A/(y,1-x)\cong k$ だから $V(y,1-x)=\{q\}$ である。$s$ が $q$ で正則でないことを示す。$1/s=\frac{y}{x+1}$ は $q$ で正則で（$x+1$ は $q$ で値 $2\neq0$ をとり $\mathcal{O}_{C,q}$ の単元）、$y\in\mathfrak{m}_q$ だから $1/s\in\mathfrak{m}_q$ である。$s\in\mathcal{O}_{C,q}$ なら $1=s\cdot(1/s)\in\mathfrak{m}_q$ となり矛盾する。$\square$

代数多様体の例「平面曲線」により $y^2-x^3+x$ は既約で、$E_0$ はアフィン多様体である。$A$ は $k[x]$ 上 $1,y$ を基底とする自由加群なので $k[x]\subset A$ であり、$K(E_0)=\operatorname{Frac}A=k(x,y)=k(x)(y)$ である。$y^2=x^3-x\in k(x)$ だから $[k(x)(y):k(x)]\le2$ である。$y\notin k(x)$ を示す。$y=p/q$（$p,q\in k[x]$、$q\neq0$）なら $p^2=(x^3-x)q^2$ であり、左辺の次数は偶数、右辺の次数は奇数なので矛盾する。よって $T^2-(x^3-x)$ は $k(x)$ 上根をもたない 2 次式で既約であり、$[K(E_0):k(x)]=2$ である。$\square$