像(写像)

同義語：image of a map

概要

像(写像)（image of a map）とは、写像 $f\colon X\to Y$ と部分集合 $A\subseteq X$ に対し、$A$ の元の値全体からなる部分集合 $f(A)\subseteq Y$ である。
像は定義域側の部分集合を終域側へ送る操作である。和集合とはよく両立するが、共通部分や差集合とは一般に両立せず、単射性を加えると等号が回復する。

定義

部分集合の像

写像 $f\colon X\to Y$ と部分集合 $A\subseteq X$ に対し、$A$ の元の値の全体
$$ f(A):=\{f(a)\mid a\in A\}=\{y\in Y\mid \text{ある } a\in A \text{ に対して } y=f(a)\}\subseteq Y $$
を $f$ による $A$ の像（image）という。特に $f(X)$ を $f$ の像または値域（range）という。

例と反例

二乗写像の像・逆像・グラフ

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=x^{2}$ とする。区間 $A=[-2,1]$ の像は、$A$ 上で $x^{2}$ のとる値の全体だから $f(A)=[0,4]$ である。$B=[1,4]$ の逆像は $f^{-1}(B)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x^{2}\le4\}=[-2,-1]\cup[1,2]$ であり、$f^{-1}(\{-1\})=\emptyset$、$f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$ である。$f$ の像は $f(\mathbb{R})=[0,\infty)$ で、終域 $\mathbb{R}$ より小さい。グラフ $\Gamma_f=\{(x,x^{2})\mid x\in\mathbb{R}\}$ は座標平面の放物線である。

反例：像は共通部分と差集合を保たない

$f\colon\{1,2\}\to\{0\}$ を定数写像とし、$A_1=\{1\}$、$A_2=\{2\}$ とする。$A_1\cap A_2=\emptyset$ なので $f(A_1\cap A_2)=\emptyset$ であるが、$f(A_1)\cap f(A_2)=\{0\}\cap\{0\}=\{0\}$ である。また $f(A_1\setminus A_2)=f(\{1\})=\{0\}$ であるが、$f(A_1)\setminus f(A_2)=\emptyset$ である。常に成り立つのは $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ という包含であり、等号と差集合の保存は一般には成り立たない。この反例が破るのは「逆像が集合演算を保つのと同じように像も保つ」という誤った含意である。この $f$ は $f(1)=f(2)$ なので単射でなく、後で示す単射の場合の等号とは矛盾しない。

性質と証明

値と一点集合の像

$a\in X$ とすると $f(\{a\})=\{f(a)\}$ が成り立つ。ここで $f(a)$ は $Y$ の元、$f(\{a\})$ は $Y$ の部分集合である。

値と一点集合の像の証明

像の定義により $f(\{a\})=\{f(x)\mid x\in\{a\}\}$ である。$x\in\{a\}$ と $x=a$ は同値だから、この集合に属するのは $f(a)$ だけであり $f(\{a\})=\{f(a)\}$ を得る。$f(a)$ は写像の値なので $Y$ の元であり、$f(\{a\})$ は像なので $Y$ の部分集合である。したがってこの等式は「値と像が同じ対象である」という主張ではなく、「$f(\{a\})$ は $f(a)$ ただ一つを元とする一点集合である」という主張である。$\square$

像と集合の演算

$A_1,A_2\subseteq X$ とする。

$A_1\subseteq A_2$ ならば $f(A_1)\subseteq f(A_2)$。
$f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$。
$f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$。さらに $f$ が単射ならば $f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$ である。

像と集合の演算の証明

$y\in f(A_1)$ とすると、ある $a\in A_1$ に対して $y=f(a)$ である。$A_1\subseteq A_2$ より $a\in A_2$ なので $y\in f(A_2)$ である。
$A_1\subseteq A_1\cup A_2$ と $A_2\subseteq A_1\cup A_2$ に 1 を使うと $f(A_1)\subseteq f(A_1\cup A_2)$ かつ $f(A_2)\subseteq f(A_1\cup A_2)$ であり、したがって $f(A_1)\cup f(A_2)\subseteq f(A_1\cup A_2)$ である。逆に $y\in f(A_1\cup A_2)$ とすると、ある $a\in A_1\cup A_2$ に対して $y=f(a)$ である。$a\in A_1$ ならば $y\in f(A_1)$、$a\in A_2$ ならば $y\in f(A_2)$ であるから、いずれにせよ $y\in f(A_1)\cup f(A_2)$ である。
$A_1\cap A_2\subseteq A_1$ と $A_1\cap A_2\subseteq A_2$ に 1 を使うと $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)$ かつ $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_2)$ であり、したがって $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ である。$f$ が単射であるとし、$y\in f(A_1)\cap f(A_2)$ とする。ある $a_1\in A_1$ と $a_2\in A_2$ に対して $y=f(a_1)=f(a_2)$ であり、単射性から $a_1=a_2$ である。この元は $A_1\cap A_2$ に属するので $y\in f(A_1\cap A_2)$ である。$\square$

像と逆像の随伴関係

$f\colon X\to Y$ を写像とし、$A\subseteq X$、$B\subseteq Y$ とする。このとき
$$A\subseteq f^{-1}(B)\iff f(A)\subseteq B$$
が成り立つ。$f$ の単射性・全射性は仮定しない。

像と逆像の随伴関係の証明

（$\Rightarrow$）$A\subseteq f^{-1}(B)$ とする。$y\in f(A)$ を任意にとると、像の定義よりある $a\in A$ が存在して $y=f(a)$ である。$a\in A\subseteq f^{-1}(B)$ だから、逆像の定義より $f(a)\in B$、すなわち $y\in B$ である。よって $f(A)\subseteq B$ が成り立つ。
（$\Leftarrow$）$f(A)\subseteq B$ とする。$a\in A$ を任意にとると $f(a)\in f(A)\subseteq B$ だから、逆像の定義より $a\in f^{-1}(B)$ である。よって $A\subseteq f^{-1}(B)$ が成り立つ。
どちらの向きでも $f$ の単射性・全射性は使っていない。また選択公理も使っていない。$y\in f(A)$ から $y=f(a)$ となる $a\in A$ を取り出すのは、各 $y$ ごとに一度だけ存在命題を使う操作であって、族全体からの同時選択ではないからである。$\square$

像は任意和を保存する

部分集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対して
$$ f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right) =\bigcup_{i\in I}f(A_i) $$
が成り立つ。$I=\emptyset$ の場合も両辺は空集合である。

像が任意和を保存することの証明

$y$ が左辺に属することは、ある $x\in\bigcup_iA_i$ が存在して $y=f(x)$ となることと同値である。これは、ある $i\in I$ と $x\in A_i$ が存在して $y=f(x)$ となること、すなわち、ある $i\in I$ について $y\in f(A_i)$ となることと同値である。最後の条件は $y$ が右辺に属することを表す。

合成による像

$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ と $A\subseteq X$ に対して
$$ (g\circ f)(A)=g(f(A)) $$
が成り立つ。また恒等写像について $\operatorname{id}_X(A)=A$ である。

合成による像の証明

$z\in(g\circ f)(A)$ なら、ある $a\in A$ に対して $z=g(f(a))$ である。$f(a)\in f(A)$ だから $z\in g(f(A))$ である。逆に $z\in g(f(A))$ なら、ある $y\in f(A)$ に対して $z=g(y)$ である。さらにある $a\in A$ に対して $y=f(a)$ なので、$z=(g\circ f)(a)$ となり $z\in(g\circ f)(A)$ である。恒等写像の式は定義から直ちに従う。

像・値域・終域

写像 $f\colon X\to Y$ の像 $f(X)$ は $Y$ の部分集合であり、終域 $Y$ と同じとは限らない。写像が全射であることは
$$ f(X)=Y $$
と同値である。「値域」という語は文献によって像 $f(X)$ を指す場合と終域 $Y$ を指す場合があるため、本記事では集合 $f(X)$ を像、写像の指定に含まれる $Y$ を終域と呼んで区別する。

像への余域制限

写像 $f\colon X\to Y$ に対し
$$ \widetilde f\colon X\longrightarrow f(X), \qquad x\longmapsto f(x) $$
とおくと、$\widetilde f$ は全射である。包含写像 $\iota\colon f(X)\hookrightarrow Y$ を使えば
$$ f=\iota\circ\widetilde f $$
と分解できる。

像への余域制限の証明

$y\in f(X)$ とする。像の定義により、ある $x\in X$ が存在して $y=f(x)$ である。従って $\widetilde f(x)=y$ であり、$\widetilde f$ は全射である。また任意の $x\in X$ について
$$ (\iota\circ\widetilde f)(x)=\iota(f(x))=f(x) $$
なので二つの写像は等しい。

この分解は同じ値の対応を保ったまま終域だけを像へ狭める。定義域を部分集合へ狭める写像の制限とは別の操作である。さらに、元を同じ値へ送るという同値関係で $X$ を割れば、$f$ は商集合 $X/{\sim}$ から $f(X)$ への全単射を誘導する。これは写像の標準分解の集合論的な形である。

像から読める写像の性質

単射性と全射性は、すべての部分集合に対する像の振る舞いから特徴づけられる。

単射性の像による特徴づけ

写像 $f\colon X\to Y$ について、次は同値である。

$f$ は単射である。
すべての $A,B\subseteq X$ に対し $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$ である。
すべての $A\subseteq X$ に対し $f^{-1}(f(A))=A$ である。

単射性の像による特徴づけの証明

1 から 2 は上で証明した。1 を仮定すると常に $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ である。逆包含について、$x\in f^{-1}(f(A))$ なら、ある $a\in A$ に対して $f(x)=f(a)$ であり、単射性から $x=a\in A$ である。従って 3 を得る。
3 を仮定し、$f(x)=f(x')$ とする。$A=\{x\}$ とおけば $x'\in f^{-1}(f(A))=A$ なので $x'=x$ であり、1 が従う。
最後に 2 から 1 を示す。$f(x)=f(x')$ とし、$A=\{x\}$、$B=\{x'\}$ とおく。共通の値は $f(A)\cap f(B)$ に属するので、2 により $f(A\cap B)$ は空でない。従って $A\cap B$ は空でなく、$x=x'$ である。

端の場合

任意の写像について $f(\emptyset)=\emptyset$ である。定義域が空なら像も空である。一方、終域が空の写像 $X\to\emptyset$ が存在するのは $X=\emptyset$ の場合に限る。空写像 $\emptyset\to Y$ は常に単射であり、$Y=\emptyset$ のときに限り全射である。

定義、像の集合演算、単射・全射との関係については Hara20（第3章 §§3.1--3.2）、Matsusaka68（第1章 §§3--4, pp. 22--41）を参照した。