随伴関手
概要
随伴関手（adjoint functors）とは、射 FX→Y と射 X→GY の間に、両変数で自然な全単射を与える二つの関手である。左随伴 F と右随伴 G の対応は、単位・余単位と三角恒等式によっても記述できる。自由構成や極限・余極限の普遍性を統一する。
定義
随伴は、異なる圏にある射の問題を、自然な対応によって互いに移し替える仕組みである。以下、$\mathcal C,\mathcal D$ は各 Hom が集合である圏とする。関手は対象・射・恒等射・合成を保つ対応、自然変換 $\eta\colon F\Rightarrow G$ は $Gf\eta_X=\eta_YFf$ を満たす成分の族である。Rie16 §§4.1–4.2
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D,\ G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、全単射
$$
\Phi_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)
\xrightarrow{\ \cong\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)
$$
が両変数で自然に与えられているとき、$F$ は $G$ の左随伴（left adjoint）、$G$ は $F$ の右随伴（right adjoint）であるといい、$F\dashv G$ と書く。この関手の組と対応 $\Phi$ を随伴（adjunction）という。
自然性とは、$a\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y',\ f\colon FX\to Y$ に対して
$$
\Phi_{X',Y'}(b\circ f\circ F(a))
=G(b)\circ\Phi_{X,Y}(f)\circ a
$$
が成り立つことである。
特に、$FX$ と $Y$ 自体を同一視するのではない。$FX\to Y$ という射の問題を $X\to GY$ という射の問題に移している。自然性があるため、その移し替えは前後に射を合成する操作とも両立する。
例と反例
集合 $A$ を固定し、$F(X)=X\times A$、$G(Y)=Y^A$（$A$ から $Y$ への写像全体）とする。射には $F(a)=a\times\operatorname{id}_A$、$G(b)(v)=b\circ v$ を対応させる。これらは恒等射と合成を保つ。
対応
$$
\Phi(f)(x)(a)=f(x,a)
$$
の逆は $g\mapsto((x,a)\mapsto g(x)(a))$ である。写像 $a'\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y'$ を前後に合成しても両辺の値は $b(f(a'(x'),a))$ になるので自然である。従って $(-)\times A\dashv(-)^A$ である。
順序集合を $x\le y$ のときにただ一つの射 $x\to y$ がある圏とみなす。単調写像 $F\colon P\to Q,\ G\colon Q\to P$ の随伴は
$$
F(x)\le y\quad\Longleftrightarrow\quad x\le G(y)
$$
という条件になる。Hom は空集合か一元集合だから、この条件から唯一の全単射が定まり、自然性も射の一意性から従う。
具体的に整数の実数への包含 $i\colon\mathbb Z\to\mathbb R$ と床関数・天井関数は
$$
\lceil r\rceil\le n\Longleftrightarrow r\le n,\qquad
n\le r\Longleftrightarrow n\le\lfloor r\rfloor
$$
を満たす。従って $\lceil-\rceil\dashv i\dashv\lfloor-\rfloor$ である。
体 $k$ と集合 $S$ に対し、$k^{(S)}$ を $S$ 上の有限台の関数 $S\to k$ のベクトル空間とする（自由ベクトル空間）。$s$ で $1$、他で $0$ の関数を $e_s$ と書けば、元は一意に有限和 $\sum_s a_se_s$ で表される。
写像 $h\colon S\to T$ を $e_s\mapsto e_{h(s)}$ の線形延長へ送ると関手 $F\colon\mathbf{Set}\to\mathbf{Vect}_k$ になる。基底上で確認すれば恒等射と合成を保つ。任意の写像 $u\colon S\to U(V)$ は
$$
\bar u\Bigl(\sum_s a_se_s\Bigr)=\sum_s a_su(s)
$$
によって一意に線形延長される。$U$ は台集合を取る忘却関手である。写像の前合成、線形写像の後合成はこの式と両立するので、
$\operatorname{Hom}_k(k^{(S)},V)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(S,U(V))$ は自然であり、$F\dashv U$ である。
$C_2=\{1,t\}$、$t^2=1$ を一対象圏 $\mathcal B$ とみなす。$F=\operatorname{Id}_{\mathcal B}$ とし、$G$ は唯一の対象をそのまま、すべての射を $1$ に送る関手とする。$G$ は恒等射と合成を保つ。両辺の Hom 集合はいずれも二元集合なので、集合としての全単射はある。
しかし $F\dashv G$ となる自然な全単射 $\Phi$ は存在しない。定義の自然性で $a=1,\ b=t$ とすると、
$$
\Phi(tf)=G(t)\Phi(f)=\Phi(f)
$$
となる。$tf\ne f$ なので、これは $\Phi$ の単射性に反する。
単位・余単位と三角恒等式
随伴 $F\dashv G$ に対し
$$
\eta_X=\Phi_{X,FX}(\operatorname{id}_{FX}),\qquad
\varepsilon_Y=\Phi^{-1}_{GY,Y}(\operatorname{id}_{GY})
$$
と置く。これらは自然変換
$\eta\colon\operatorname{Id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF$、
$\varepsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal D}$
となり、それぞれ単位、余単位と呼ばれる。また
$$
\Phi(f)=Gf\circ\eta_X,\qquad
\Phi^{-1}(g)=\varepsilon_Y\circ Fg
$$
および三角恒等式
$$
\varepsilon_{FX}\circ F\eta_X=\operatorname{id}_{FX},
\qquad
G\varepsilon_Y\circ\eta_{GY}=\operatorname{id}_{GY}
$$
が成り立つ。
$\Phi$ の第2変数の自然性を $\operatorname{id}_{FX}$ と $f$ に適用すると $\Phi(f)=Gf\eta_X$ を得る。$\Phi^{-1}$ の第1変数の自然性を $\operatorname{id}_{GY}$ と $g$ に適用すると $\Phi^{-1}(g)=\varepsilon_YFg$ を得る。
$a\colon X\to X'$ に対し、$\Phi(Fa)$ を前合成と後合成の二通りで計算すれば
$GF(a)\eta_X=\eta_{X'}a$ となる。$b\colon Y\to Y'$ に対しても $\Phi^{-1}(Gb)$ を二通りで計算すると
$b\varepsilon_Y=\varepsilon_{Y'}FG(b)$ を得る。これが二つの自然性である。
最後に $\Phi^{-1}(\Phi(\operatorname{id}_{FX}))=\operatorname{id}_{FX}$ を先の公式で展開すると1つ目の三角恒等式が得られる。同様に
$\Phi(\Phi^{-1}(\operatorname{id}_{GY}))=\operatorname{id}_{GY}$ から2つ目を得る。
関手 $F,G$ と自然変換 $\eta\colon\operatorname{Id}\Rightarrow GF,\ \varepsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{Id}$ が上の二つの三角恒等式を満たせば、
$$
f\longmapsto Gf\eta_X,\qquad
g\longmapsto\varepsilon_YFg
$$
は互いに逆な自然な対応を定め、$F\dashv G$ となる。
$f\colon FX\to Y$ に対して、$\varepsilon$ の自然性と1つ目の三角恒等式より
$$
\varepsilon_YF(Gf\eta_X)
=\varepsilon_YFGf\,F\eta_X
=f\varepsilon_{FX}F\eta_X=f.
$$
$g\colon X\to GY$ に対しても、$\eta$ の自然性と2つ目の三角恒等式から
$$
G(\varepsilon_YFg)\eta_X
=G\varepsilon_Y\,GFg\,\eta_X
=G\varepsilon_Y\,\eta_{GY}g=g.
$$
自然性は、$a\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y'$ に対し
$$
G(bfFa)\eta_{X'}
=Gb\,Gf\,GF(a)\eta_{X'}
=Gb\,(Gf\eta_X)a
$$
と計算して確かめられる。従って両変数で自然な全単射である。
二つの命題は Rie16 §4.2 の対応である。三角恒等式は、単位と余単位による往復で元の射を取り戻せることを保証している。随伴であっても単位と余単位が同型であるとは限らない。例えば自由ベクトル空間の単位 $S\to U(k^{(S)})$ は一般に全射でない。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ の右随伴は、存在すれば一意な自然同型を除いて一意である。
$G,G'\colon\mathcal D\to\mathcal C$ がともに $F$ の右随伴であるとする。定義の全単射を合成すると
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y)
$$
が得られ、これは $X,Y$ について自然である。$Y$ を固定して $X$ についての自然同型とみると、反変関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,GY)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,G'Y)$ の間の自然同型になるので、米田の補題 により一意な同型 $GY\cong G'Y$ から生じる。この同型は $Y$ の取り方について自然である。
これは Rie16 §4.4 の対応である。
極限・余極限との関係
極限・余極限の普遍性を随伴の全単射で移送する証明は、極限(圏論)・余極限(圏論) の記事が証明をもつ。
定値図式を作る関手 $\Delta\colon\mathcal C\to\operatorname{Fun}(\mathcal J,\mathcal C)$（関手圏）に対して、極限を選んで作る関手があれば $\Delta\dashv\lim$、余極限を選んで作る関手があれば $\operatorname{colim}\dashv\Delta$ となる。実際、自然変換 $\Delta X\Rightarrow D$ は錐、$D\Rightarrow\Delta X$ は余錐そのものであり、対応は各普遍性の因子化で与えられる。図式間の自然変換から誘導される射も、脚との可換性によって一意に定まり、その一意性が恒等射・合成・上の対応の自然性を保証する。Rie16 §§3.3, 4.5
補足
豊穣圏での随伴
対称モノイダル閉圏 $\mathcal V$ 上の豊穣圏では、Hom は $\mathcal V$ の対象である。豊穣随伴は、豊穣関手 $F,G$ に対して
$$
\mathcal D(FX,Y)\cong\mathcal C(X,GY)
$$
という $\mathcal V$ の同型を、豊穣的に自然に持つことである。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ なら本記事の随伴に一致する。単なる Hom 集合の全単射を持つ台圏の随伴から、豊穣随伴が自動的に得られるわけではない。Kel82 §1.11
∞圏での随伴
準圏モデルの $(\infty,1)$-圏では、Hom 集合の代わりに写像空間 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(X,Y)$ を用いる。随伴が与える基本的な対応は
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(FX,Y)\simeq
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(X,GY)
$$
という、両変数で高次の整合性を持つ自然同値である。単に各点で同値な空間を持つことや、$\pi_0$ を取ったホモトピー圏の Hom 集合だけが自然に全単射になることとは区別する必要がある。準圏での正式な定義は、$\Delta^1$ 上の同じ圏をCartesianファイブレーション・coCartesianファイブレーションの両方として表すもので、対応する関手を取り出す。HTT09 Definition 5.2.2.1、Definition 5.2.2.7、Proposition 5.2.2.8
通常の随伴では射の空間を離散集合として見れば上の式は通常の自然な全単射になる。単体的豊穣圏との橋では局所 Kan 条件や導来化の条件が必要であり、任意の豊穣随伴をそのまま ∞圏の随伴とみなすのではない。詳説は随伴関手(豊穣圏)・随伴関手(∞圏)で扱う。
関連項目
参考文献
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