随伴関手
概要
随伴関手（adjoint functors）とは、関手 $F\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$、$G\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ の組で、全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY)$ が両変数で自然に与えられたものであり、$F\dashv G$ と書く。随伴は単位・余単位と三角恒等式で同値に記述でき、右随伴は存在すれば自然同型を除いて一意で、随伴は合成でき、自然変換も mate として移し替えられる。直積と写像集合、床関数と包含、自由ベクトル空間と忘却関手が典型例で、Hom の濃度が等しいだけでは随伴にならない。右随伴は極限を、左随伴は余極限を保存するので、二元集合への定値関手は随伴をもたない。
随伴関手は、二つの圏のあいだの関手の組 $F,G$ で、$FX\to Y$ の形の射と $X\to GY$ の形の射が自然に一対一に対応するものである（$F$ を左随伴、$G$ を右随伴という）。代表例は、集合に対して自由ベクトル空間を作る関手と、ベクトル空間から台集合を取る忘却関手の組で、「基底の行き先を決めれば線形写像が一つ決まる」という事実を圏論の言葉で述べたものになる。
定義
随伴は、異なる圏にある射の問題を、自然な対応によって互いに移し替える仕組みである。以下、$\mathcal C,\mathcal D$ は各 Hom が集合である圏とする。関手は対象・射・恒等射・合成を保つ対応、自然変換 $\eta\colon F\Rightarrow G$ は $Gf\eta_X=\eta_YFf$ を満たす成分の族である。定義は Rie16 Definition 4.1.1（p. 132）による。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D,\ G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ に対し、全単射
$$
\Phi_{X,Y}\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)
\xrightarrow{\ \cong\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)
$$
が両変数で自然に与えられているとき、$F$ は $G$ の左随伴（left adjoint）、$G$ は $F$ の右随伴（right adjoint）であるといい、$F\dashv G$ と書く。この関手の組と対応 $\Phi$ を随伴（adjunction）という。
自然性とは、$a\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y',\ f\colon FX\to Y$ に対して
$$
\Phi_{X',Y'}(b\circ f\circ F(a))
=G(b)\circ\Phi_{X,Y}(f)\circ a
$$
が成り立つことである。
随伴は、対象 $FX$ と $Y$ を同一視するのではなく、$FX\to Y$ という射の問題を $X\to GY$ という射の問題に移している。自然性があるため、その移し替えは前後に射を合成する操作とも両立する。
例と反例
集合 $A$ を固定し、$F(X)=X\times A$、$G(Y)=Y^A$（$A$ から $Y$ への写像全体）とする。射には $F(a)=a\times\operatorname{id}_A$、$G(b)(v)=b\circ v$ を対応させる。これらは恒等射と合成を保つ。
対応
$$
\Phi(f)(x)(a)=f(x,a)
$$
の逆は $g\mapsto((x,a)\mapsto g(x)(a))$ である。写像 $a'\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y'$ を前後に合成しても両辺の値は $b(f(a'(x'),a))$ になるので自然である。従って $(-)\times A\dashv(-)^A$ である。
順序集合を $x\le y$ のときにただ一つの射 $x\to y$ がある圏とみなす。単調写像 $F\colon P\to Q,\ G\colon Q\to P$ の随伴は
$$
F(x)\le y\quad\Longleftrightarrow\quad x\le G(y)
$$
という条件になる。Hom は空集合か一元集合だから、この条件から唯一の全単射が定まり、自然性も射の一意性から従う。
具体的に整数の実数への包含 $i\colon\mathbb Z\to\mathbb R$ と床関数・天井関数は
$$
\lceil r\rceil\le n\Longleftrightarrow r\le n,\qquad
n\le r\Longleftrightarrow n\le\lfloor r\rfloor
$$
を満たす。従って $\lceil-\rceil\dashv i\dashv\lfloor-\rfloor$ である。
体 $k$ と集合 $S$ に対し、$k^{(S)}$ を $S$ 上の有限台の関数 $S\to k$ のベクトル空間とする（自由ベクトル空間）。$s$ で $1$、他で $0$ の関数を $e_s$ と書けば、元は一意に有限和 $\sum_s a_se_s$ で表される。
写像 $h\colon S\to T$ を $e_s\mapsto e_{h(s)}$ の線形延長へ送ると関手 $F\colon\mathbf{Set}\to\mathbf{Vect}_k$ になる。基底上で確認すれば恒等射と合成を保つ。任意の写像 $u\colon S\to U(V)$ は
$$
\bar u\Bigl(\sum_s a_se_s\Bigr)=\sum_s a_su(s)
$$
によって一意に線形延長される。$U$ は台集合を取る忘却関手である。写像の前合成、線形写像の後合成はこの式と両立するので、
$\operatorname{Hom}_k(k^{(S)},V)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(S,U(V))$ は自然であり、$F\dashv U$ である。
$C_2=\{1,t\}$、$t^2=1$ を一対象圏 $\mathcal B$ とみなす。$F=\operatorname{Id}_{\mathcal B}$ とし、$G$ は唯一の対象をそのまま、すべての射を $1$ に送る関手とする。$G$ は恒等射と合成を保つ。両辺の Hom 集合はいずれも二元集合なので、集合としての全単射はある。
しかし $F\dashv G$ となる自然な全単射 $\Phi$ は存在しない。定義の自然性で $a=1,\ b=t$ とすると、
$$
\Phi(tf)=G(t)\Phi(f)=\Phi(f)
$$
となる。$tf\ne f$ なので、これは $\Phi$ の単射性に反する。
単位・余単位と三角恒等式
随伴 $F\dashv G$ に対し
$$
\eta_X=\Phi_{X,FX}(\operatorname{id}_{FX}),\qquad
\varepsilon_Y=\Phi^{-1}_{GY,Y}(\operatorname{id}_{GY})
$$
と置く。これらは自然変換
$\eta\colon\operatorname{Id}_{\mathcal C}\Rightarrow GF$、
$\varepsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal D}$
となり、それぞれ単位、余単位と呼ばれる。また
$$
\Phi(f)=Gf\circ\eta_X,\qquad
\Phi^{-1}(g)=\varepsilon_Y\circ Fg
$$
および三角恒等式
$$
\varepsilon_{FX}\circ F\eta_X=\operatorname{id}_{FX},
\qquad
G\varepsilon_Y\circ\eta_{GY}=\operatorname{id}_{GY}
$$
が成り立つ。
$\Phi$ の第2変数の自然性を $\operatorname{id}_{FX}$ と $f$ に適用すると $\Phi(f)=Gf\eta_X$ を得る。$\Phi^{-1}$ の第1変数の自然性を $\operatorname{id}_{GY}$ と $g$ に適用すると $\Phi^{-1}(g)=\varepsilon_YFg$ を得る。
$a\colon X\to X'$ に対し、$\Phi(Fa)$ を前合成と後合成の二通りで計算すれば
$GF(a)\eta_X=\eta_{X'}a$ となる。$b\colon Y\to Y'$ に対しても $\Phi^{-1}(Gb)$ を二通りで計算すると
$b\varepsilon_Y=\varepsilon_{Y'}FG(b)$ を得る。これが二つの自然性である。
最後に $\Phi^{-1}(\Phi(\operatorname{id}_{FX}))=\operatorname{id}_{FX}$ を先の公式で展開すると1つ目の三角恒等式が得られる。同様に
$\Phi(\Phi^{-1}(\operatorname{id}_{GY}))=\operatorname{id}_{GY}$ から2つ目を得る。
関手 $F,G$ と自然変換 $\eta\colon\operatorname{Id}\Rightarrow GF,\ \varepsilon\colon FG\Rightarrow\operatorname{Id}$ が上の二つの三角恒等式を満たせば、
$$
f\longmapsto Gf\eta_X,\qquad
g\longmapsto\varepsilon_YFg
$$
は互いに逆な自然な対応を定め、$F\dashv G$ となる。
$f\colon FX\to Y$ に対して、$\varepsilon$ の自然性と1つ目の三角恒等式より
$$
\varepsilon_YF(Gf\eta_X)
=\varepsilon_YFGf\,F\eta_X
=f\varepsilon_{FX}F\eta_X=f.
$$
$g\colon X\to GY$ に対しても、$\eta$ の自然性と2つ目の三角恒等式から
$$
G(\varepsilon_YFg)\eta_X
=G\varepsilon_Y\,GFg\,\eta_X
=G\varepsilon_Y\,\eta_{GY}g=g.
$$
自然性は、$a\colon X'\to X,\ b\colon Y\to Y'$ に対し
$$
G(bfFa)\eta_{X'}
=Gb\,Gf\,GF(a)\eta_{X'}
=Gb\,(Gf\eta_X)a
$$
と計算して確かめられる。従って両変数で自然な全単射である。
二つの命題は Rie16 Lemmas 4.2.2–4.2.3 と Theorem 4.2.7（pp. 139–140）の内容である。三角恒等式は、単位と余単位による往復で元の射を取り戻せることを保証している。随伴であっても単位と余単位が同型であるとは限らない。例えば自由ベクトル空間の単位 $S\to U(k^{(S)})$ は一般に全射でない。
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ の右随伴は、存在すれば自然同型を除いて一意である。さらに二つの随伴構造を固定すると、それらの随伴の全単射と両立する自然同型はただ一つである。
$G,G'\colon\mathcal D\to\mathcal C$ がともに $F$ の右随伴であるとする。定義の全単射を合成すると
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,G'Y)
$$
が得られ、これは $X,Y$ について自然である。$Y$ を固定して $X$ についての自然同型とみると、反変関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,GY)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,G'Y)$ の間の自然同型になるので、米田の補題 により一意な同型 $GY\cong G'Y$ から生じる。この同型は $Y$ の取り方について自然である。
ここで二つの固定した随伴の全単射を $\Phi_{X,Y}$、$\Phi'_{X,Y}$ と書けば、上で得た同型 $\theta_Y\colon GY\to G'Y$ は、任意の $h\colon FX\to Y$ に対して $\theta_Y\circ\Phi_{X,Y}(h)=\Phi'_{X,Y}(h)$ を満たす。逆にこの条件を満たす同型は、米田の補題の一意性によって上の $\theta_Y$ に限られる。随伴構造との両立条件を課さなければ、自然同型そのものは複数存在し得る。
Rie16 Proposition 4.3.1（p. 144）は左随伴の一意性を述べており、この命題はその双対である。
随伴の合成と随伴をもたない関手
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$、$G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ が $F\dashv G$ を満たし、$F'\colon\mathcal D\to\mathcal E$、$G'\colon\mathcal E\to\mathcal D$ が $F'\dashv G'$ を満たすとする。このとき $F'F\dashv GG'$ である（Rie16 Proposition 4.3.3、p. 146）。
二つの随伴の全単射を $\Phi$、$\Phi'$ とし、$X\in\mathcal C$、$Z\in\mathcal E$ に対して
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(F'FX,Z)\xrightarrow{\ \Phi'_{FX,Z}\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FX,G'Z)\xrightarrow{\ \Phi_{X,G'Z}\ }\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,GG'Z)
$$
の合成を $\Psi_{X,Z}$ とする。全単射の合成なので $\Psi_{X,Z}$ は全単射である。自然性を確かめる。$a\colon X'\to X$、$c\colon Z\to Z'$、$f\colon F'FX\to Z$ に対し、まず $\Phi'$ の自然性（$FX$ の変数に $F(a)$、$Z$ の変数に $c$ を使う）から
$$
\Phi'_{FX',Z'}\bigl(c\circ f\circ F'F(a)\bigr)=G'(c)\circ\Phi'_{FX,Z}(f)\circ F(a)
$$
であり、次に $\Phi$ の自然性（$X$ の変数に $a$、第2変数に $G'(c)$ を使う）から
$$
\Phi_{X',G'Z'}\bigl(G'(c)\circ\Phi'_{FX,Z}(f)\circ F(a)\bigr)=GG'(c)\circ\Phi_{X,G'Z}\bigl(\Phi'_{FX,Z}(f)\bigr)\circ a
$$
である。二つを合わせると $\Psi_{X',Z'}(c\circ f\circ F'F(a))=GG'(c)\circ\Psi_{X,Z}(f)\circ a$ となり、これは $\Psi$ が両変数で自然であることにほかならない。$\square$
たとえば、集合から自由群を作る関手は忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ の左随伴であり、アーベル化 $H\mapsto H/[H,H]$ は包含 $\mathbf{Ab}\hookrightarrow\mathbf{Grp}$ の左随伴である。合成すると、自由群のアーベル化、すなわち自由アーベル群を作る関手が、忘却関手 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Set}$ の左随伴になる。合成した随伴の単位は $X\mapsto G(\eta'_{FX})\circ\eta_X$ である（$\Psi_{X,F'FX}(\operatorname{id}_{F'FX})=\Phi(\eta'_{FX})=G(\eta'_{FX})\circ\eta_X$）。
随伴の存在には強い制約がある。右随伴は存在する極限を保存し、左随伴は存在する余極限を保存する（次節）。このことから、随伴をもたない関手が簡単に見つかる。
$\mathbf{Set}$ から $\mathbf{Set}$ への関手 $K$ を、すべての集合を二元集合 $2=\{0,1\}$ へ、すべての写像を $\operatorname{id}_2$ へ送るものとする。$K$ は左随伴をもたない。もし $L\dashv K$ なら $K$ は右随伴なので終対象（空図式の極限）を保存するはずだが、一点集合 $1$ は $\mathbf{Set}$ の終対象なのに $K(1)=2$ は終対象でない（$2$ から $2$ への写像は四つある）。同様に $K$ は右随伴ももたない。もし $K\dashv R$ なら $K$ は始対象（空図式の余極限）を保存するはずだが、空集合 $\emptyset$ は始対象なのに $K(\emptyset)=2$ は始対象でない（$2$ から $1$ への写像はあるが、$2$ から $\emptyset$ への写像はない）。
随伴の片側が充満忠実関手になるのは、単位または余単位が同型のときに限る（充満忠実関手 の命題「右随伴が充満忠実であることの判定」）。たとえばアーベル化はアーベル群の圏から群の圏への包含の左随伴であり、包含が充満忠実なので余単位はすべて同型になる。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 全単射の自然性 | 位数 $2$ の群の一対象圏で、$F=\operatorname{Id}$、$G$ はすべての射を $1$ へ送る関手 | $F\dashv G$（各 Hom が同じ濃度でも随伴にならない） |
| 極限の保存 | 二元集合への定値関手 $\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ | 左随伴の存在（右随伴であること） |
| 余極限の保存 | 同じ定値関手 | 右随伴の存在（左随伴であること） |
| 単位が同型であること | 自由ベクトル空間 $F\dashv U$ の単位 $S\to U(k^{(S)})$ | 左随伴 $F$ の充満忠実性 |
随伴と自然変換の対応（mate）
随伴 $F\dashv G$ は、射 $FX\to Y$ と $X\to GY$ を移し替えるだけでなく、関手のあいだの自然変換も同じように移し替える。以下 $\eta,\varepsilon$ は prop-adjunction-ordinary-unit の単位と余単位であり、自然変換と関手の合成は成分ごとに書く。たとえば自然変換 $b\colon P'\Rightarrow P$ に対し $bG$ は成分 $b_{Ga}$ の、$Fb$ は成分 $F(b_x)$ の自然変換である。
$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ と $G\colon\mathcal D\to\mathcal C$ を随伴 $F\dashv G$ とし、関手 $P\colon\mathcal C\to\mathcal C$、$Q\colon\mathcal D\to\mathcal D$ を固定する。自然変換 $m\colon PG\Rightarrow GQ$（成分 $m_a\colon P(Ga)\to GQ(a)$）と自然変換 $d\colon FP\Rightarrow QF$（成分 $d_x\colon FP(x)\to Q(Fx)$）に対し
$$
M(m)_x=\varepsilon_{QFx}\circ F(m_{Fx})\circ FP(\eta_x),\qquad
N(d)_a=GQ(\varepsilon_a)\circ G(d_{Ga})\circ\eta_{PGa}
$$
と置く。
- $M(m)\colon FP\Rightarrow QF$ と $N(d)\colon PG\Rightarrow GQ$ は自然変換であり、$N(M(m))=m$、$M(N(d))=d$ が成り立つ。
- 関手 $P'\colon\mathcal C\to\mathcal C$、$Q'\colon\mathcal D\to\mathcal D$ と自然変換 $b\colon P'\Rightarrow P$、$c\colon Q\Rightarrow Q'$ に対し
$$ M\bigl(Gc\circ m\circ bG\bigr)=cF\circ M(m)\circ Fb $$
が成り立つ。 - $d=M(m)$ であることは、すべての $x$ で $G(d_x)\circ\eta_{Px}=m_{Fx}\circ P(\eta_x)$ となることと同値であり、すべての $a$ で $\varepsilon_{Qa}\circ F(m_a)=Q(\varepsilon_a)\circ d_{Ga}$ となることとも同値である。
$m$ と $d=M(m)$ を互いの mate という。
要点：1 は自然性で項を並べ替え、三角恒等式で $G\varepsilon\circ\eta_G$ と $\varepsilon_F\circ F\eta$ を消す計算であり、2 は $\varepsilon$ と $b$ の自然性から従う。3 は 1 を随伴の全単射 $\Phi$ で読み替えたものである。
詳しい証明を開く
1（自然性）．$M(m)$ は自然変換 $FP\eta\colon FP\Rightarrow FPGF$、$Fm_F\colon FPGF\Rightarrow FGQF$、$\varepsilon_{QF}\colon FGQF\Rightarrow QF$ の合成なので自然である。$N(d)$ も同様である。
1（$N(M(m))=m$）．定義から $N(M(m))_a=GQ(\varepsilon_a)\circ G\varepsilon_{QFGa}\circ GF(m_{FGa})\circ GFP(\eta_{Ga})\circ\eta_{PGa}$ である。$\varepsilon$ の $Q(\varepsilon_a)$ に関する自然性 $Q(\varepsilon_a)\circ\varepsilon_{QFGa}=\varepsilon_{Qa}\circ FGQ(\varepsilon_a)$ に $G$ を当て、次に $m$ の $\varepsilon_a$ に関する自然性 $GQ(\varepsilon_a)\circ m_{FGa}=m_a\circ PG(\varepsilon_a)$ を使うと $$N(M(m))_a=G\varepsilon_{Qa}\circ GF(m_a)\circ GFP\bigl(G\varepsilon_a\circ\eta_{Ga}\bigr)\circ\eta_{PGa}$$ となる。2 つ目の三角恒等式で $G\varepsilon_a\circ\eta_{Ga}=\operatorname{id}$ であり、$\eta$ の自然性 $GF(m_a)\circ\eta_{PGa}=\eta_{GQa}\circ m_a$ と 2 つ目の三角恒等式をもう一度使えば $N(M(m))_a=G\varepsilon_{Qa}\circ\eta_{GQa}\circ m_a=m_a$ である。
1（$M(N(d))=d$）．定義から $M(N(d))_x=\varepsilon_{QFx}\circ FGQ(\varepsilon_{Fx})\circ FG(d_{GFx})\circ F\eta_{PGFx}\circ FP(\eta_x)$ である。$\eta$ の $P(\eta_x)$ に関する自然性で $F\eta_{PGFx}\circ FP(\eta_x)=FGFP(\eta_x)\circ F\eta_{Px}$、$d$ の $\eta_x$ に関する自然性 $d_{GFx}\circ FP(\eta_x)=QF(\eta_x)\circ d_x$ に $FG$ を当てると $$M(N(d))_x=\varepsilon_{QFx}\circ FGQ\bigl(\varepsilon_{Fx}\circ F\eta_x\bigr)\circ FG(d_x)\circ F\eta_{Px}$$ となる。1 つ目の三角恒等式で中央は恒等射になり、$\varepsilon$ の自然性 $\varepsilon_{QFx}\circ FG(d_x)=d_x\circ\varepsilon_{FPx}$ と 1 つ目の三角恒等式 $\varepsilon_{FPx}\circ F\eta_{Px}=\operatorname{id}$ から $M(N(d))_x=d_x$ である。
2．定義から $$M(Gc\circ m\circ bG)_x=\varepsilon_{Q'Fx}\circ FG(c_{Fx})\circ F(m_{Fx})\circ F(b_{GFx})\circ FP'(\eta_x)$$ である。$\varepsilon$ の $c_{Fx}$ に関する自然性で $\varepsilon_{Q'Fx}\circ FG(c_{Fx})=c_{Fx}\circ\varepsilon_{QFx}$、$b$ の $\eta_x$ に関する自然性で $b_{GFx}\circ P'(\eta_x)=P(\eta_x)\circ b_x$ となるから、右辺は $c_{Fx}\circ M(m)_x\circ F(b_x)$ に等しい。
3．$\Phi(f)=G(f)\circ\eta$ と $\Phi^{-1}(g)=\varepsilon\circ F(g)$ を使う（prop-adjunction-ordinary-unit）。$\eta$ の自然性と 2 つ目の三角恒等式を使うと $$\Phi(M(m)_x)=G\varepsilon_{QFx}\circ\eta_{GQFx}\circ m_{Fx}\circ P(\eta_x)=m_{Fx}\circ P(\eta_x)$$ であり、$\Phi$ は全単射だから、$d_x=M(m)_x$ と $\Phi(d_x)=m_{Fx}\circ P(\eta_x)$ は同値である。同様に $\varepsilon$ の自然性を 2 回と 1 つ目の三角恒等式を使うと $$\Phi^{-1}(N(d)_a)=Q(\varepsilon_a)\circ\varepsilon_{QFGa}\circ FG(d_{Ga})\circ F\eta_{PGa}=Q(\varepsilon_a)\circ d_{Ga}\circ\varepsilon_{FPGa}\circ F\eta_{PGa}=Q(\varepsilon_a)\circ d_{Ga}$$ である。よって $\Phi^{-1}(m_a)=\varepsilon_{Qa}\circ F(m_a)$ が $Q(\varepsilon_a)\circ d_{Ga}$ に等しいことは $m_a=N(d)_a$ と同値であり、1 によりすべての $a$ でのこの条件は $d=M(m)$ と同値である。$\square$
2 と 1 を合わせると、四角の可換性が mate の側へそのまま移る。$m'\colon P'G\Rightarrow GQ'$ と $b\colon P\Rightarrow P'$、$c\colon Q\Rightarrow Q'$ について、2 から $M(Gc\circ m)=cF\circ M(m)$、$M(m'\circ bG)=M(m')\circ Fb$ であり、1 から $M$ は逆 $N$ をもつので
$$
Gc\circ m=m'\circ bG\quad\Longleftrightarrow\quad cF\circ M(m)=M(m')\circ Fb
$$
である。対応は自然変換ごとの構成であり、自然変換全体の集まりが集合をなすことは使っていない。
同じ式は多変数でも使える。$P\colon\mathcal C^n\to\mathcal C$、$Q\colon\mathcal D^n\to\mathcal D$ のときは $FP(\eta_x)$ を $FP(\eta_{x_1},\dots,\eta_{x_n})$、$GQ(\varepsilon_a)$ を $GQ(\varepsilon_{a_1},\dots,\varepsilon_{a_n})$ と読めば、証明は成分ごとに同じである。$n=0$ では $P,Q$ は対象 $p\in\mathcal C$、$q\in\mathcal D$ であり、$m\colon p\to Gq$ に対する $M(m)=\varepsilon_q\circ Fm$ は随伴の全単射の逆 $\Phi^{-1}$ そのものである（prop-adjunction-ordinary-unit の公式）。$n=2$ で $P,Q$ をテンソル積としたものが、モノイダル圏 でゆるいモノイダル構造を随伴に沿って移す対応である（HTT09 Remark A.1.3.6）。
ex-adjunction-ordinary-exponential の $F=(-)\times A\dashv G=(-)^A$ を使う。単位と余単位は $\eta_X(x)=(a\mapsto(x,a))$、$\varepsilon_Y(v,a)=v(a)$ である。集合 $B$ を固定して $P=Q=(-)\times B$ とし、
$$
m_Y\colon Y^A\times B\to(Y\times B)^A,\qquad m_Y(v,b)=\bigl(a\mapsto(v(a),b)\bigr)
$$
とする。$M(m)_X$ を元 $((x,b),a)\in(X\times B)\times A$ で追うと、$FP(\eta_X)$ で $((\eta_X(x),b),a)$、$F(m_{FX})$ で $\bigl(a'\mapsto((x,a'),b),\ a\bigr)$、$\varepsilon$ で $((x,a),b)$ になる。したがって $m$ の mate は因子の入れ替え
$$
M(m)_X\colon(X\times B)\times A\to(X\times A)\times B,\qquad((x,b),a)\mapsto((x,a),b)
$$
である。逆に $N$ をこの入れ替えに当てると、$(v,b)$ は $a\mapsto((v,b),a)\mapsto((v,a),b)\mapsto(v(a),b)$ と送られ、$m$ に戻る。
極限・余極限との関係
定値図式(圏論)を作る関手 $\Delta\colon\mathcal C\to\operatorname{Fun}(\mathcal J,\mathcal C)$（関手圏）に対して、極限を選んで作る関手があれば $\Delta\dashv\lim$、余極限を選んで作る関手があれば $\operatorname{colim}\dashv\Delta$ となる。実際、自然変換 $\Delta X\Rightarrow D$ は錐(圏論)、$D\Rightarrow\Delta X$ は余錐（余極限(圏論)）そのものであり、対応は各普遍性の因子化で与えられる。図式間の自然変換から誘導される射も、脚との可換性によって一意に定まり、その一意性が恒等射・合成・上の対応の自然性を保証する。Rie16 Proposition 4.5.1（p. 157）
補足
豊穣圏での随伴
対称モノイダル閉圏 $\mathcal V$ 上の豊穣圏では、Hom は $\mathcal V$ の対象である。豊穣随伴は、豊穣関手 $F,G$ に対して
$$
\mathcal D(FX,Y)\cong\mathcal C(X,GY)
$$
という $\mathcal V$ の同型を、豊穣的に自然に持つことである。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ なら本記事の随伴に一致する。単なる Hom 集合の全単射を持つ台圏の随伴から、豊穣随伴が自動的に得られるわけではない。Kel82 §1.11
∞圏での随伴
準圏モデルの $(\infty,1)$-圏では、Hom 集合の代わりに写像空間 $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(X,Y)$ を用いる。随伴が与える基本的な対応は
$$
\operatorname{Map}_{\mathcal D}(FX,Y)\simeq
\operatorname{Map}_{\mathcal C}(X,GY)
$$
という、両変数で高次の整合性を持つ自然同値である。単に各点で同値な空間を持つことや、$\pi_0$ を取ったホモトピー圏(∞圏)の Hom 集合だけが自然に全単射になることとは区別する必要がある。準圏での正式な定義は、$\Delta^1$ 上の同じ圏をCartesianファイブレーション・coCartesianファイブレーションの両方として表すもので、対応する関手を取り出す。HTT09 Definition 5.2.2.1、Definition 5.2.2.7、Proposition 5.2.2.8
通常の随伴では射の空間を離散集合として見れば上の式は通常の自然な全単射になる。単体的豊穣圏との橋では局所 Kan 条件や導来化の条件が必要であり、任意の豊穣随伴をそのまま ∞圏の随伴とみなすのではない。詳説は随伴関手(豊穣圏)・随伴関手(∞圏)で扱う。
関連項目
参考文献
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