Kingmanの劣加法的エルゴード定理

段 0（$f_n\le0$ への帰着）。 lem-kse-basic の 3 の $h_n=f_n-nA_nf_1$ は劣加法的で $h_n\le0$ である。Birkhoff の定理（エルゴード定理 の定理「Birkhoff の個別エルゴード定理」）により、ほとんど確実にかつ $L^1$ で $A_nf_1\to g:=E[f_1\mid\mathcal I]$ である。$g$ は $\mathcal I$-可測なので $g\circ T=g$ であり（同じ記事の補題「不変な関数」）、$\int g\,dP=\int f_1\,dP$ である。$\int h_n\,dP=\int f_n\,dP-n\int f_1\,dP$ なので、$(h_n)$ の $\gamma$ は $\gamma-\int f_1\,dP$ である。したがって $(h_n)$ について 1〜3 が極限 $h_*$ で成り立てば、$f_*:=h_*+g$ について 1〜3 が成り立つ（$f_*^+\le g^+\le|g|$、$\frac{f_n}n-f_*=(\frac{h_n}n-h_*)+(A_nf_1-g)$）。4 は 1・2 から段 5 で導く。以下、段 4 までは $f_n\le0$ とする。

段 1（下極限の不変性）。 $\underline f:=\liminf_nf_n/n$ は $[-\infty,0]$ に値をとる。劣加法性から $f_{n+1}\le f_1+f_n\circ T$ なので $\frac{f_{n+1}}{n+1}\le\frac{f_1}{n+1}+\frac{n}{n+1}\cdot\frac{f_n\circ T}{n}$ である。実数列 $b_n\le0$ について $\liminf_n\frac n{n+1}b_n=\liminf_nb_n$ である（$\frac n{n+1}b_n\ge b_n$ であり、$b_n\to L$ となる部分列の上で $\frac n{n+1}b_n\to L$ となる。$L=-\infty$ でもよい）。$f_1(\omega)/(n+1)\to0$ なので、両辺の下極限をとって、すべての $\omega$ で $\underline f(\omega)\le\underline f(T\omega)$ である。有理数 $a$ について $E_a:=\{\underline f>a\}$ とおくと $E_a\subset T^{-1}E_a$ で、両者の確率は等しいので $P(T^{-1}E_a\setminus E_a)=0$ である。$\underline f(\omega)< \underline f(T\omega)$ なら $\underline f(\omega)\le a< \underline f(T\omega)$ となる有理数 $a$ があり $\omega\in T^{-1}E_a\setminus E_a$ なので、$P(\underline f< \underline f\circ T)=0$、すなわちほとんど確実に $\underline f\circ T=\underline f$ である。$N_0:=\bigcup_{k\ge0}T^{-k}\{\underline f\circ T\ne\underline f\}$ は確率 $0$ で、$\omega\notin N_0$ ならすべての $k$ で $\underline f(T^k\omega)=\underline f(\omega)$ である。

段 2（上極限が下極限以下であること）。 $\varepsilon>0$、$M>0$、$N\ge1$ を固定し、$G:=\max(\underline f,-M)$（$[-M,0]$ に値をとる）、

$\displaystyle B_N:=\{\omega\mid 1\le l\le N \text{ のすべての } l \text{ で } f_l(\omega)>l\,(G(\omega)+\varepsilon)\}$

とおく。$\omega\notin N_0$、$n\ge N$ とし、時刻の集合 $\{0,1,\dots,n-1\}$ を次の手順で区間に分ける。まだ使っていない最小の時刻 $k$ について、(a) $T^k\omega\notin B_N$ なら、$f_l(T^k\omega)\le l\,(G(T^k\omega)+\varepsilon)=l\,(G(\omega)+\varepsilon)$ となる $1\le l\le N$ があるので、その一つをとり、$k+l\le n$ なら区間 $[k,k+l)$ を採る。$k+l>n$ なら 1 点 $\{k\}$ を採る。(b) $T^k\omega\in B_N$ なら 1 点 $\{k\}$ を採る。これで $\{0,\dots,n-1\}$ は、(a) で採った区間 $[k_i,k_i+l_i)$（$i=1,\dots,u$）と 1 点の集合に分かれる。1 点の集合は、$T^k\omega\in B_N$ となる $k$ か、$k+l>n$ かつ $l\le N$ より $k>n-N$ となる $k$ なので、その個数は $\sum_{k=0}^{n-1}\mathbf 1_{B_N}(T^k\omega)+N$ 以下である。

lem-kse-basic の 1 をこの分け方に使い、$f_1\le0$ を 1 点の集合の項に使うと

$\displaystyle f_n(\omega)\le\sum_{i=1}^uf_{l_i}(T^{k_i}\omega)\le(G(\omega)+\varepsilon)\,L,\qquad L:=\sum_{i=1}^ul_i$

である。$L\le n$ と、上の個数の評価による $L\ge n-\sum_{k< n}\mathbf 1_{B_N}(T^k\omega)-N$ と、$G\le0< \varepsilon$ から

$\displaystyle \frac{f_n(\omega)}n\le G(\omega)\Bigl(1-A_n\mathbf 1_{B_N}(\omega)-\frac Nn\Bigr)+\varepsilon$

を得る。Birkhoff の定理により、ほとんど確実に $A_n\mathbf 1_{B_N}\to\varphi_N:=E[\mathbf 1_{B_N}\mid\mathcal I]$ なので、ほとんど確実に $\limsup_nf_n/n\le G(1-\varphi_N)+\varepsilon$ である。

$B_N$ は $N$ について減少する。$\omega\in\bigcap_NB_N$ ならすべての $l$ で $f_l(\omega)/l>G(\omega)+\varepsilon$ なので $\underline f(\omega)\ge G(\omega)+\varepsilon$ だが、$\underline f>-M$ なら $G=\underline f$、$\underline f\le-M$ なら $G=-M\ge\underline f$ なので、どちらの場合も矛盾する。よって $\bigcap_NB_N=\emptyset$ である。$\mathbf 1_{B_N}$ が減少するので $\varphi_N$ もほとんど確実に減少し（時間平均は関数の大小を保つ）、$\varphi_N\ge0$ かつ $\int\varphi_N\,dP=P(B_N)\to0$ である。減少列の極限 $\varphi:=\lim_N\varphi_N\ge0$ は $\int\varphi\,dP\le\int\varphi_N\,dP\to0$ を満たすので、ほとんど確実に $\varphi=0$ である。$G$ は有限なので、ほとんど確実に $\limsup_nf_n/n\le G+\varepsilon=\max(\underline f,-M)+\varepsilon$ である。$\varepsilon=1/j$、$M=j$（$j=1,2,\dots$）の可算個の例外の集合を合わせると、ほとんど確実に $\limsup_nf_n/n\le\underline f$、すなわち $f_n/n\to f_*:=\underline f$ である。$f_*\le0$ なので $f_*^+=0$ は可積分であり、1 が示された。

段 3（積分）。 $-f_n/n\ge0$ に Fatouの補題 を使うと $\int(-f_*)\,dP\le\liminf_n\int(-f_n/n)\,dP=-\gamma$、すなわち $\int f_*\,dP\ge\gamma$ である（$\gamma=-\infty$ なら自明）。逆向きのため $m\ge1$ を固定し、$n\ge m$ とする。$0\le s< m$ について $j_s:=\lfloor(n-s)/m\rfloor$、$t_s:=n-s-j_sm\in[0,m)$ とし、$n=s+m+\dots+m+t_s$（$m$ が $j_s$ 個）と分けると、lem-kse-basic の 1 と $f_l\le0$ から

$\displaystyle f_n\le f_s+\sum_{q=0}^{j_s-1}f_m\circ T^{s+qm}+f_{t_s}\circ T^{n-t_s}\le\sum_{q=0}^{j_s-1}f_m\circ T^{s+qm}$

である。整数 $i=s+qm$（$0\le s< m$、$0\le q< j_s$）は、$0\le i\le n-m$ の整数をちょうど 1 回ずつ動く（$s$ は $i$ を $m$ で割った余りで、$q< j_s$ は $i+m\le n$ と同値）。$s$ について足すと

$\displaystyle mf_n\le\sum_{i=0}^{n-m}f_m\circ T^i=(n-m+1)\,A_{n-m+1}f_m$

であり、$mn$ で割って $n\to\infty$ とすると、Birkhoff の定理によりほとんど確実に $f_*\le\frac1mE[f_m\mid\mathcal I]$ である。積分して $\int f_*\,dP\le\frac1m\int f_m\,dP$ であり、$m$ について下限をとって $\int f_*\,dP\le\gamma$ を得る。これで 2 が示された。

段 4（$L^1$ 収束）。 $\gamma>-\infty$ とすると、$f_*\le0$ と 2 から $f_*$ は可積分である。$u_n:=-f_n/n\ge0$、$u:=-f_*\ge0$ とおくと、ほとんど確実に $u_n\to u$ であり、$\int u_n\,dP\to-\gamma=\int u\,dP$ である。$|u_n-u|=(u_n-u)+2(u-u_n)^+$ であり、$0\le(u-u_n)^+\le u$ と $(u-u_n)^+\to0$ から 優収束定理 により $\int(u-u_n)^+\,dP\to0$ である。よって $\int|u_n-u|\,dP\to0$ であり、3 が示された。

段 5（エルゴード的な場合）。 一般の $(f_n)$ に戻り、$f_*$ を 1 の極限とする。$f_*\circ T=f_*$ がほとんど確実に成り立つので、有理数 $a$ について $E_a:=\{f_*>a\}$ は $P(T^{-1}E_a\,\triangle\,E_a)=0$ を満たし、帰納法で $P(T^{-j}E_a\,\triangle\,E_a)=0$（$j\ge0$）である。$E_a':=\bigcap_{k\ge0}\bigcup_{j\ge k}T^{-j}E_a$ とおくと、$T^{-1}E_a'=\bigcap_{k\ge0}\bigcup_{j\ge k+1}T^{-j}E_a=E_a'$ なので $E_a'\in\mathcal I$ であり、$P(E_a'\,\triangle\,E_a)=0$ である。エルゴード性から $P(f_*>a)\in\{0,1\}$ がすべての有理数 $a$ で成り立つ。$c:=\sup\{a\in\mathbb Q\mid P(f_*>a)=1\}$（空なら $-\infty$）とおくと、$a< c$ なら $P(f_*>a)=1$、$a>c$ なら $P(f_*>a)=0$ である。$f_*^+$ は可積分なので $c< \infty$ であり、ほとんど確実に $f_*=c$ である。2 により $c=\int f_*\,dP=\gamma$ である（$c=-\infty$ と $\gamma=-\infty$ は同値）。$\square$