G_δ-modification

$X$ 自身は開集合なので $X=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}X$ は $G_\delta$-集合であり、$\mathcal{G}_\delta(X)$ は $X$ を覆う。$G=\bigcap_{n}U_n$、$G'=\bigcap_{m}V_m$（$U_n,V_m$ は開集合）とすると、$G\cap G'=\bigcap_{n}U_n\cap\bigcap_{m}V_m$ は可算個の開集合 $\{U_n\}_n\cup\{V_m\}_m$ の共通部分なので $G_\delta$-集合である（G_δ-集合 の可算共通部分に関する閉包性）。$X$ の部分集合の族が $X$ を覆い有限共通部分で閉じていれば、その成員の合併全体は位相をなし、その族はこの位相の開基である。$\square$

1. 開集合 $U$ は $U=\bigcap_n U$ と書けるので $G_\delta$-集合であり、$\tau_\delta$ の開基に属する。よって $\tau\subset\tau_\delta$ である。連続性は $\tau\subset\tau_\delta$ の言い換えである。
2. 閉集合の補集合（補集合）は開集合なので (1) により $\tau_\delta$-開であり、閉集合は $\tau_\delta$-閉である。$G=\bigcap_n U_n$（$U_n$ は $X$ の開集合）を $G_\delta$-集合とすると、$G$ は $\tau_\delta$ の開基の成員なので $\tau_\delta$-開である。また $X\setminus G=\bigcup_n(X\setminus U_n)$ は $\tau_\delta$-閉集合の可算和なので、prop-g-delta-modification-p-space により $\tau_\delta$-閉であり、$G$ は $\tau_\delta$-閉でもある。よって $G$ は $X_\delta$ で開かつ閉である。
3. $(X_\delta)_\delta$ の開基は $X_\delta$ の $G_\delta$-集合全体である。prop-g-delta-modification-p-space により $X_\delta$ の $G_\delta$-集合は $X_\delta$ の開集合なので、$(X_\delta)_\delta$ の位相は $\tau_\delta$ に含まれる。逆に (1) により $\tau_\delta$ は $(X_\delta)_\delta$ の位相に含まれる。$\square$

$W_0,W_1,W_2,\dots$ を $X_\delta$ の開集合とし、$W:=\bigcap_{n}W_n$ とおく。$x\in W$ とする。各 $n$ について $W_n$ は $X$ の $G_\delta$-集合の合併なので、$x\in G_n\subset W_n$ となる $G_\delta$-集合 $G_n$ がある（可算個の $n$ について同時に選ぶので可算選択公理（可算選択公理）を用いる）。$G:=\bigcap_n G_n$ は $G_\delta$-集合の可算共通部分なので $G_\delta$-集合であり（G_δ-集合）、$x\in G\subset W$ である。よって $W$ は各点で $\tau_\delta$ の開基の成員を含み、$\tau_\delta$-開である。閉集合についての主張は補集合をとれば従う。$\square$

1. 位相を細かくしても、点を分離する開集合はそのまま開集合であり、一点集合が閉であることも保たれる。
2. $x\in X$ と $x$ を含む $G_\delta$-集合 $G=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n$（$U_n$ は $X$ の開集合）をとる。正則性を用いて $X$ の開集合の列 $V_0\supset V_1\supset\cdots$ を、$x\in V_n$、$\overline{V_{n+1}}\subset V_n\cap U_{n+1}$、$\overline{V_0}\subset U_0$ となるように帰納的にとる（正則性により、$x$ の任意の開近傍 $O$ に対し $x\in V\subset\overline{V}$（$V$ の閉包、閉包）$\subset O$ となる開集合 $V$ がある。可算個の選択を行う）。$C:=\bigcap_n V_n$ とおくと、$V_{n+1}\subset\overline{V_{n+1}}\subset V_n$ から $\bigcap_n V_n=\bigcap_n\overline{V_n}$ であり、$C$ は $X$ の $G_\delta$-集合であると同時に $X$ の閉集合である。prop-g-delta-modification-finer により $C$ は $X_\delta$ で開かつ閉であり、$x\in C\subset\bigcap_n U_n=G$ である。$G_\delta$-集合が $\tau_\delta$ の開基なので、$X_\delta$ の各開集合の各点は開かつ閉な集合 $C$ を経由して含まれ、開かつ閉な集合全体は $X_\delta$ の開基をなす。
3. 1. により $X_\delta$ は $T_1$ である。$F$ を $X_\delta$ の閉集合、$x\notin F$ とすると、(2) により $x\in C\subset X_\delta\setminus F$ となる開かつ閉な $C$ がある。$f\colon X_\delta\to[0,1]$ を $C$ 上で $0$、$X\setminus C$ 上で $1$ と定めると、$[0,1]$ の任意の部分集合の逆像は $\emptyset$、$C$、$X\setminus C$、$X$ のいずれかで、すべて開集合なので $f$ は連続である。$f(x)=0$、$f|_F\equiv1$ なので $X_\delta$ は完全正則（完全正則空間）であり、$T_1$ と合わせて Tychonoff 空間である。prop-g-delta-modification-p-space と合わせて Tychonoff な $P$-空間である。$\square$

第1可算な $T_1$ 空間では各一点集合 $\{x\}$ が $G_\delta$-集合である（G_δ-集合 の「一点集合が $G_\delta$-集合になる条件」：$x$ の可算基本近傍系 $\{V_n\}$ の内部（内部） $U_n$ をとると、$T_1$ 性により $y\ne x$ に対し $y\notin U_n$ となる $n$ があるので $\bigcap_n U_n=\{x\}$）。よって $\{x\}$ は $X_\delta$ の開集合であり、$X_\delta$ は離散である。距離空間は第1可算な Hausdorff 空間なので後半が従う。$\square$

$\mathbb{R}$ の開集合 $U$ は、端点が有理数の開区間で $U$ に含まれるものの合併に等しい。よって $U\mapsto\{(p,q)\mid p< q,\ p,q\in\mathbb{Q},\ (p,q)\subset U\}$ は開集合全体から可算集合 $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ の部分集合全体への単射（単射）であり、開集合は高々 $2^{\aleph_0}$ 個である。$G_\delta$-集合は開集合の列 $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の共通部分として得られるので、$G_\delta$-集合の個数は高々 $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ である。一方、一点集合はすべて $G_\delta$-集合（閉集合であり、G_δ-集合 の距離空間に関する命題）なので少なくとも $2^{\aleph_0}$ 個ある。Cantor の定理（Cantorの定理、Jec03 Theorem 3.1）により $\mathbb{R}$ の部分集合は $2^{2^{\aleph_0}}>2^{\aleph_0}$ 個あるので、$G_\delta$-集合でない部分集合が存在する。$\square$

1. $\alpha=0$ または $\alpha$ が後続順序数（後続順序数）なら $\{\alpha\}$ は順序位相で開集合である。$\alpha<\omega_1$ が極限順序数（極限順序数）なら、$\alpha$ は可算順序数なので $\alpha$ に収束（収束）する狭義単調増加列 $(\beta_n)_{n\in\mathbb{N}}$ がある（共終数 $\operatorname{cf}(\alpha)=\omega$）。このとき $\{\alpha\}=\bigcap_n(\beta_n,\alpha]$ であり、各 $(\beta_n,\alpha]=(\beta_n,\alpha+1)$ は開集合なので $\{\alpha\}$ は $G_\delta$-集合である。
2. $G=\bigcap_n U_n$、$\omega_1\in U_n$（開集合）とする。順序位相で $\omega_1$ の開近傍 $U_n$ はある区間 $(\beta_n,\omega_1]$ を含む。$\{\beta_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ は可算個の可算順序数の集合なので、その上限 $\beta:=\sup_n\beta_n$ は可算順序数、すなわち $\beta<\omega_1$ である（$\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1>\omega$、Jec03 Chapter 3）。よって $(\beta,\omega_1]\subset\bigcap_n(\beta_n,\omega_1]\subset G$ である。$(\beta,\omega_1]=(\beta,\omega_1+1)$ は開集合である。$X_\delta$ の近傍の主張は、$G_\delta$-集合が $X_\delta$ の開基であることから従う。
3. $\mathcal{U}$ を $X_\delta$ の開被覆（開被覆）とする。$\omega_1$ を含む成員 $U\in\mathcal{U}$ は (2) によりある $(\beta,\omega_1]$ を含む。残る $[0,\beta]$ は可算集合なので、各点を含む成員を一つずつ選べば、$U$ と合わせて可算な部分被覆を得る。第1可算でないこと：$\omega_1$ の可算な近傍の族 $\{N_n\}_n$ をとると、(2) により各 $N_n$ は $(\beta_n,\omega_1]$ を含み、$\beta:=\sup_n\beta_n<\omega_1$ に対し近傍 $(\beta+1,\omega_1]$ はどの $N_n$ も含まない（$\beta+1\in N_n$ かつ $\beta+1\notin(\beta+1,\omega_1]$）。よって可算な基本近傍系は存在しない。$\square$