商空間(位相)

同義語：商空間等化空間quotient spaceidentification space

概要

商空間(位相)（quotient space）とは、位相空間 $X$ 上の同値関係 $\sim$ に対し、商集合 $X/{\sim}$ に、標準射影 $q\colon X\to X/{\sim}$ による逆像が $X$ の開集合になる部分集合を開集合とする位相（商位相）を入れた位相空間のことである。点を同一視して貼り合わせる操作を位相の言葉で表し、正方形の対辺を貼り合わせたトーラスや、球面の対蹠点を同一視した実射影空間はこの形で得られる。連結性・弧状連結性・コンパクト性は商空間に移るが、Hausdorff 性は一般には移らない（二重原点直線）。商空間が $T_1$ であることは各同値類が閉集合であることと同値であり、商空間が Hausdorff なら同値関係のグラフは閉集合で、$q$ が開写像ならその逆も成り立つ。ベクトル空間を部分空間で割る線形代数の商空間とは別の概念である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 位相空間, 同値関係, 商集合, 商写像, 連続写像

本記事の商空間は、位相空間の点を同値関係で同一視してできる位相空間である。ベクトル空間を部分空間で割って得られるベクトル空間も商空間と呼ばれるが、それは線形代数の商空間（部分空間による商ベクトル空間。商加群 の例として扱われる）であり、本記事では位相空間の商だけを扱う（両者が出会う位相ベクトル空間の場合は rem-quotient-space-tvs で触れる）。記法は 商写像 の記事に合わせ、標準射影を $q$、同値類を $[x]$、部分集合 $A$ を一点につぶした空間を $X/A$ と書く。商写像の普遍性とその証明は 商写像 の記事が持ち、本記事は商空間という空間そのものの性質と例に集中する。

定義

同値関係で割った位相空間

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間、$\sim$ を $X$ 上の同値関係とし、同値類全体の集合（商集合）を $X/{\sim}$、標準射影を $q\colon X\to X/{\sim}$、$q(x):=[x]$ とする。
$$ \mathcal{O}_\sim:=\{U\subset X/{\sim}\mid q^{-1}(U)\in\mathcal{O}\} $$
は $X/{\sim}$ 上の位相であり、これを $\sim$ による商位相という。位相空間 $(X/{\sim},\mathcal{O}_\sim)$ を $X$ の $\sim$ による商空間（quotient space）または等化空間（identification space）という。
$U\subset X/{\sim}$ について $q^{-1}(U)=\bigcup_{[x]\in U}[x]$ なので、$U$ が開集合であることは、$U$ に属する同値類の和集合が $X$ の開集合であることと同値である。
とくに次の二つの場合がよく使われる。

  1. 空でない部分集合 $A\subset X$ に対し、「$x=y$ または $x,y\in A$」で定まる同値関係による商空間を $X/A$ と書き、$A$ を一点につぶした空間という。
  2. 群 $G$ が $X$ に作用し（群の作用）、各 $g\in G$ について $x\mapsto gx$ が同相写像であるとする。「ある $g\in G$ について $y=gx$」で定まる同値関係（同値類は軌道 $Gx$）による商空間を $X/G$ と書き、作用の軌道空間（orbit space）という。

$\mathcal{O}_\sim$ が位相であること、$q$ が商写像であること、$\mathcal{O}_\sim$ が $q$ を連続写像にする $X/{\sim}$ 上の位相のうち最も細かいものであることは、商写像 の記事の命題「商位相の基本性質」による。閉集合についても同様に、$F\subset X/{\sim}$ が閉集合であることは $q^{-1}(F)$ が $X$ の閉集合であることと同値である（同記事の命題「閉集合による言い換え」）。
商空間から出る連続写像は、次の形で $X$ 上の連続写像から得られる（商写像 の記事の系「商空間からの連続写像と同相の判定」）。

  • 連続写像 $f\colon X\to Z$ が「$x\sim x'$ ならば $f(x)=f(x')$」を満たすとき、$\bar f\circ q=f$ となる連続写像 $\bar f\colon X/{\sim}\to Z$ がただ一つある。
  • さらに $f$ が全射で「$f(x)=f(x')$ ならば $x\sim x'$」も満たすとき、$\bar f$ は連続な全単射であり、$\bar f$ が同相写像であることと $f$ が商写像であることは同値である。
    したがって、具体的な空間 $Z$ が $X/{\sim}$ と同相であることを示すには、ファイバーが同値類と一致する連続全射 $f\colon X\to Z$ を作り、それが商写像であることを確かめればよい。$X$ がコンパクト空間で $Z$ が Hausdorff空間なら、連続全射はつねに商写像である（同記事の系「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全射」）。

直感

商空間は「貼り合わせ」の数学的な定式化である。紙の正方形の上下の辺を貼り合わせると筒ができ、さらに左右の辺を貼り合わせると浮き輪の表面（トーラス）ができる。貼り合わせた後の空間の点は元の空間の点の組（同値類）であり、貼り合わせた後の空間で「開いている」とは、元の空間に戻して開いていることだと定めるのが商位相である。この定め方は、貼り合わせの前に連続だった写像のうち、貼り合わせる点で同じ値をとるものが、貼り合わせた後でも連続になるように選ばれている。一方、商位相は同値類をどれほど乱暴に選んでも定義できるので、元の空間がよい性質をもっていても、商空間は二点を開集合で分けられない空間になることがある（ex-quotient-space-line-two-origins）。

例と反例

以下、$S^1:=\{v\in\mathbb{R}^2\mid\|v\|=1\}$ を円周とし、$e\colon\mathbb{R}\to S^1$、$e(s):=(\cos2\pi s,\sin2\pi s)$ とおく。$[0,1]$ 上で $e(s)=e(s')$ となるのは $s=s'$ または $\{s,s'\}=\{0,1\}$ のときに限る（商写像 の記事の例「閉区間の両端をつぶした円周」）。
区間の両端を同一視する商写像と単位円周への対応 区間の両端を同一視する商写像と単位円周への対応
図では $0\sim1$ とし、$0< s<1$ の点は互いに区別する。商写像 $q\colon[0,1]\to Q:=[0,1]/{\sim}$ は $s$ を同値類 $[s]$ に送る。$e|_{[0,1]}$ の各ファイバーがこの同値類に一致するため、$e|_{[0,1]}=\bar e\circ q$ を満たす連続な全単射 $\bar e\colon Q\to S^1$ が定まる。$[0,1]$ はコンパクトで $S^1$ は Hausdorff なので、上記の商写像の判定基準から $\bar e$ は同相写像である。図の環状の $Q$ はこの結論を表す模式図である。

正方形の対辺を貼り合わせた空間

正方形 $I^2:=[0,1]\times[0,1]$（直積位相）上で、$(s,0)\sim(s,1)$（$0\le s\le1$）と $(0,t)\sim(1,t)$（$0\le t\le1$）が生成する同値関係を考える。同値類は、内部の点 $\{(s,t)\}$（$0< s,t<1$）、辺の点の対 $\{(s,0),(s,1)\}$（$0< s<1$）と $\{(0,t),(1,t)\}$（$0< t<1$）、および四隅 $\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ である。このとき商空間 $I^2/{\sim}$ は、$S^1\times S^1$（直積位相。これは $\mathbb{R}^4$ の部分空間としての位相と一致する）と同相である。$S^1\times S^1$ を 2 次元トーラスという。
証明。$f\colon I^2\to S^1\times S^1$ を $f(s,t):=(e(s),e(t))$ で定める。$f$ は成分が連続なので連続であり、$e|_{[0,1]}$ が全射なので全射である。上の注意により、$f(s,t)=f(s',t')$ は「$s=s'$ または $\{s,s'\}=\{0,1\}$」かつ「$t=t'$ または $\{t,t'\}=\{0,1\}$」と同値であり、これは $(s,t)\sim(s',t')$ と同値である（四隅は四つとも互いに同値で、辺の点は向かいの辺の対応する点とだけ同値である）。$I^2$ は $\mathbb{R}^2$ の有界閉集合なのでコンパクトであり（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）、$S^1\times S^1$ は $\mathbb{R}^4$ の部分空間なので Hausdorff である。よって定義の直後に述べた判定法により、$f$ は商写像であり、$f$ が誘導する $\bar f\colon I^2/{\sim}\to S^1\times S^1$ は同相写像である。$\square$
貼り合わせ方を変えると別の空間が得られる。$(0,t)\sim(1,1-t)$ だけで貼ると Möbiusの帯、$(s,0)\sim(s,1)$ と $(0,t)\sim(1,1-t)$ で貼ると Kleinの壺、$(s,0)\sim(1-s,1)$ と $(0,t)\sim(1,1-t)$ で貼ると実射影空間 $\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ と同相な空間になる（Hat02 Chapter 0）。

軌道空間としての円周・トーラス・射影空間
  1. 加法群 $\mathbb{Z}$ が $\mathbb{R}$ に平行移動 $x\mapsto x+n$ で作用するとき、軌道空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は $S^1$ と同相である（商写像 の記事の例「実数直線の整数による商」）。同様に $\mathbb{Z}^n$ の平行移動による $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ は $n$ 個の $S^1$ の直積（$n$ 次元トーラス）と同相である。実際、同記事の例で $e$ は連続な開全射であることが示されており、$f(x_1,\dots,x_n):=(e(x_1),\dots,e(x_n))$ は開区間の直積を開集合の直積に移すので開写像でもある。連続な開全射は商写像なので（商写像 の記事の命題「連続な開全射と閉全射」）$f$ は商写像であり、$f$ のファイバーは $\mathbb{Z}^n$ の軌道なので、同記事の系「商空間からの連続写像と同相の判定」の 3 により $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\to(S^1)^n$ は同相写像である。
  2. 2 元群 $\{\pm1\}$ が球面 $S^n$ に $x\mapsto\pm x$ で作用するとき、軌道空間 $S^n/\{\pm1\}$（対蹠点を同一視した空間）は $n$ 次元実射影空間 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$ と同相である（射影空間 の記事の命題「球面の商としての射影空間」）。$S^n/\{\pm1\}$ が Hausdorff であることは、prop-quotient-space-group-action の 2 からも従う。
反例：二重原点直線

$\mathbb{R}^2$ の部分空間 $X:=\mathbb{R}\times\{a,b\}$（$a=0$、$b=1$。二本の実数直線の非交和）上で、$t\neq0$ について $(t,a)\sim(t,b)$ とし、それ以外は自分自身とだけ同値とする。商空間 $D:=X/{\sim}$ を二重原点直線といい、$0_a:=q(0,a)$、$0_b:=q(0,b)$ とおく（$0_a\neq0_b$）。

  1. $D$ は T1空間 である。同値類は有限集合 $\{(t,a),(t,b)\}$（$t\neq0$）と $\{(0,a)\}$、$\{(0,b)\}$ であり、Hausdorff 空間 $X$ の有限集合は閉集合なので、prop-quotient-space-t1 による。
  2. $D$ は Hausdorff でない。$U\ni0_a$、$V\ni0_b$ を開集合とすると、$q^{-1}(U)$ は $(0,a)$ を含む $X$ の開集合なので、ある $\varepsilon>0$ について $(-\varepsilon,\varepsilon)\times\{a\}\subset q^{-1}(U)$ となり、同様に $(-\varepsilon',\varepsilon')\times\{b\}\subset q^{-1}(V)$ となる $\varepsilon'>0$ がある。$0< t<\min\{\varepsilon,\varepsilon'\}$ をとると $q(t,a)=q(t,b)\in U\cap V$ なので、$U\cap V\neq\emptyset$ である。
  3. $D$ の各点は $\mathbb{R}$ と同相な開近傍をもつ。$U\subset X$ が開集合なら、$q^{-1}(q(U))$ は $U$ と、$U$ の $t\neq0$ の部分を $a,b$ を入れ替えて写した集合との和集合であり、開集合である。よって $q$ は開写像である。$q(\mathbb{R}\times\{a\})$ は開集合 $\mathbb{R}\times\{a\}$ の像なので開であり、$q$ の $\mathbb{R}\times\{a\}$ への制限はこの開集合への連続な開全単射、すなわち同相写像である。$\mathbb{R}\times\{b\}$ についても同様である。

満たす性質：$X$ は距離空間（とくに Hausdorff）であり、$D$ は $T_1$ で、各点が $\mathbb{R}$ と同相な開近傍をもつ。満たさない性質：$D$ の Hausdorff 性。破る含意：「Hausdorff 空間の商空間は Hausdorff である」「局所的に $\mathbb{R}$ と同相な空間は Hausdorff である」。多様体の定義で Hausdorff 性を別に課すのはこの例のためである。

性質

商空間に移る性質と移らない性質

標準射影の像として移る性質

$X$ を位相空間、$\sim$ を同値関係とする。$X$ が連結空間・弧状連結空間・コンパクト空間であれば、$X/{\sim}$ もそれぞれ連結・弧状連結・コンパクトである。

$q\colon X\to X/{\sim}$ は連続な全射なので、$X/{\sim}=q(X)$ は $X$ の連続像である。連結性は 連結空間 の記事の定理「連続像は連結」により、コンパクト性は コンパクト空間 の記事の命題「保存と閉性」により連続像に移る。弧状連結性：$X/{\sim}$ の二点を $q(x)$、$q(y)$ と書き、$X$ で $x$ と $y$ を結ぶ道 $\gamma\colon[0,1]\to X$ をとると、$q\circ\gamma$ は $q(x)$ と $q(y)$ を結ぶ道である。$\square$

分離性や可算性は一般には商空間に移らない。Hausdorff 性は ex-quotient-space-line-two-origins で、$T_1$ 性は $\mathbb{R}$ の $\mathbb{Q}$ を一点につぶした空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ で（商写像 の記事の注意「反例：商空間はHausdorffとは限らない」）、第 1 可算性は $\mathbb{R}$ の $\mathbb{Z}$ を一点につぶした空間で（第1可算公理 の記事の注意「反例：整数全体を一点につぶした商空間」）破れる。どの性質が保たれるかは同値関係の選び方に依存するので、次の判定法が使われる。

$T_1$ 性の判定

商空間 $X/{\sim}$ が T1空間（一点集合がすべて閉集合である空間）であることと、$\sim$ の各同値類が $X$ の閉集合であることは同値である。

$[x]\in X/{\sim}$ について $q^{-1}(\{[x]\})=[x]$ である。商位相では $F\subset X/{\sim}$ が閉集合であることと $q^{-1}(F)$ が閉集合であることが同値なので、一点集合 $\{[x]\}$ が閉集合であることは同値類 $[x]$ が $X$ の閉集合であることと同値である。すべての点についてこれを並べればよい。$\square$

Hausdorff性と同値関係のグラフ

$X$ を位相空間、$\sim$ を同値関係とし、$R:=\{(x,y)\in X\times X\mid x\sim y\}$ に $X\times X$ の直積位相からの部分空間の位相を考える。

  1. $X/{\sim}$ が Hausdorff ならば、$R$ は $X\times X$ の閉集合である。
  2. 標準射影 $q$ が開写像であり、$R$ が $X\times X$ の閉集合ならば、$X/{\sim}$ は Hausdorff である。

1：$Y:=X/{\sim}$ とし、対角線 $\Delta_Y:=\{(u,u)\mid u\in Y\}$ が $Y\times Y$ の閉集合であることを示す。$(u,v)\notin\Delta_Y$ なら $u\neq v$ なので、交わらない開集合 $U\ni u$、$V\ni v$ があり、開集合 $U\times V$ は $(u,v)$ を含み $\Delta_Y$ と交わらない。よって $\Delta_Y$ の補集合は開集合である。$q\times q\colon X\times X\to Y\times Y$、$(x,y)\mapsto(q(x),q(y))$ は各成分が連続なので連続であり、$R=(q\times q)^{-1}(\Delta_Y)$ である（$x\sim y$ と $q(x)=q(y)$ は同値）。閉集合の逆像なので $R$ は閉集合である。
2：$[x]\neq[y]$ とすると $(x,y)\notin R$ である。$R$ の補集合は開集合なので、直積位相の定義から、$x$ の開近傍 $U$ と $y$ の開近傍 $W$ で $(U\times W)\cap R=\emptyset$ となるものがある。$q$ は開写像なので $q(U)$、$q(W)$ は $[x]$、$[y]$ を含む開集合である。$q(u)=q(w)$ となる $u\in U$、$w\in W$ があれば $(u,w)\in(U\times W)\cap R$ となり矛盾するので、$q(U)\cap q(W)=\emptyset$ である。$\square$

ex-quotient-space-line-two-origins では $q$ は開写像であり、$R$ は点 $((t,a),(t,b))$（$t\neq0$）の $t\to0$ での極限 $((0,a),(0,b))$ を含まないので閉集合でない。1 の対偶により（$q$ の開性は使わない）、Hausdorff でないことがここからも分かる。射影空間 の記事の命題「球面の商としての射影空間」の 2 の証明は、2 を射影空間の場合に行ったものである。

群の作用による商

軌道空間の開性と有限群の場合の分離性

群 $G$ が位相空間 $X$ に同相写像で作用しているとし、$q\colon X\to X/G$ を標準射影とする。

  1. $q$ は開写像である。
  2. $G$ が有限群で $X$ が Hausdorff ならば、$X/G$ は Hausdorff である。

1：$U\subset X$ を開集合とすると、$q^{-1}(q(U))=\{x\mid\text{ある }g\text{ について }gx\in U\}=\bigcup_{g\in G}g^{-1}U$ である。各 $g^{-1}U$ は同相写像 $x\mapsto g^{-1}x$ による開集合の像なので開集合であり、その和集合も開集合である。商位相の定義により $q(U)$ は開集合である。
2：$q(x)\neq q(y)$ とすると、すべての $g\in G$ について $gy\neq x$ である。Hausdorff 性により、各 $g$ について交わらない開集合 $U_g\ni x$、$W_g\ni gy$ をとり、
$$ U:=\bigcap_{g\in G}U_g,\qquad V:=\bigcap_{g\in G}g^{-1}W_g $$
とおく。$G$ は有限なので $U$ は $x$ を含む開集合、$V$ は $y$ を含む開集合である（$gy\in W_g$ より $y\in g^{-1}W_g$）。$q(U)\cap q(V)\neq\emptyset$ と仮定すると、$hu=kv$ となる $u\in U$、$v\in V$、$h,k\in G$ がある。$g:=h^{-1}k$ とおくと $u=gv$ であり、$v\in g^{-1}W_g$ から $gv\in W_g$、また $u\in U\subset U_g$ なので $u\in U_g\cap W_g=\emptyset$ となり矛盾する。よって $q(U)$、$q(V)$ は 1 により $q(x)$、$q(y)$ を分離する交わらない開集合である。$\square$

2 の有限性の仮定は外せない。加法群 $\mathbb{Q}$ が $\mathbb{R}$ に平行移動 $x\mapsto x+r$ で作用するときの軌道空間を考える（これは剰余群 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ に商位相を入れたもので、上で触れた「$\mathbb{Q}$ を一点につぶした空間」とは別物である）。空でない開集合 $O\subset\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ をとると、$q^{-1}(O)$ は開区間 $I$ を含み、軌道の和集合なので $I+\mathbb{Q}$ を含む。任意の $x\in\mathbb{R}$ について開区間 $x-I$ は有理数 $r$ を含むので（有理数の稠密性）$x\in I+r$ であり、$I+\mathbb{Q}=\mathbb{R}$ となる。よって $O$ は全体であり、軌道空間の位相は密着位相である。軌道は無限個（非可算個）あるので、この空間は Hausdorff でも $T_1$ でもない（軌道 $x+\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で閉集合でなく、prop-quotient-space-t1 に合う）。この例は「Hausdorff 空間を、同相写像で作用する群で割る」という性質を満たすが「群が有限」という性質を満たさず、「Hausdorff 空間の軌道空間は Hausdorff である」という含意を破る。

補足

位相ベクトル空間の商

位相ベクトル空間 $V$ とその線形部分空間 $W$ に対し、商ベクトル空間 $V/W$ に商位相を入れる。$W$ は平行移動 $v\mapsto v+w$ で $V$ に同相写像として作用し、その軌道は剰余類 $v+W$ なので、$V/W$ はこの作用の軌道空間であり、prop-quotient-space-group-action の 1 により標準射影は開写像である。同値関係のグラフ $R=\{(v,v')\mid v-v'\in W\}$ は連続写像 $(v,v')\mapsto v-v'$ による $W$ の逆像である。したがって $W$ が閉集合なら $R$ は閉集合で、prop-quotient-space-hausdorff の 2 により $V/W$ は Hausdorff である。逆に $V/W$ が Hausdorff なら、1 により $R$ は閉集合であり、$W=\{v\mid(v,0)\in R\}$ は連続写像 $v\mapsto(v,0)$ による $R$ の逆像として閉集合である。すなわち $V/W$ が Hausdorff であることは $W$ が閉部分空間であることと同値である。線形代数だけの商空間は位相を考えない（商加群 の例として扱われる商ベクトル空間）。

商空間による構成

代数的位相幾何学の基本的な空間の多くは商空間として構成される。錐(位相)・懸垂（商写像 の記事の例「錐と懸垂」）、二つの基点付き空間の基点を貼り合わせたウェッジ和、$n\ge1$ について閉球の境界の球面を一点につぶした $D^n/S^{n-1}$（$S^n$ と同相）、胞体を貼り合わせて作る CW複体 がその例である（Hat02 Chapter 0）。位相群 $G$ の部分群 $H$ による剰余類の空間 $G/H$ も、$H$ が $x\mapsto xh^{-1}$ で作用するときの軌道空間であり（軌道は左剰余類 $xH$）、prop-quotient-space-group-action の 1 と同じ議論により標準射影は開写像である。
一方で、商空間は直積と相性がよくない。商写像と恒等写像の直積が商写像になるとは限らないことは 商写像 の記事の補足「直積との相性」が扱う。

本記事の定義と基本性質は Mun00 §22 に、貼り合わせによる空間の構成は Hat02 Chapter 0 に従う。

関連項目

参考文献

[1]
James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, §22（The Quotient Topology：商位相・商空間・商写像）
[2]
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, Chapter 0（正方形の辺の貼り合わせによるトーラス・Klein の壺・射影平面、錐・懸垂・ウェッジ和・胞体複体）

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