代数的同値
概要
代数的同値（algebraic equivalence）とは、代数多様体 $X$ 上の代数的サイクルの間の同値関係で、非特異連結曲線 $T$ をパラメータとする $X\times T$ の部分多様体の 2 つのファイバーの差 $[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$ が生成する部分群を法として一致することをいう。パラメータを $\mathbb{P}^1$ に限った有理同値より粗く、ホモロジー同値・数値的同値より細かい。余次元 $1$ では有理同値との差が $\operatorname{Pic}^0(X)$、商が有限生成の Néron–Severi 群になる。曲線上の因子の類は次数で決まり、楕円曲線の $[P]-[Q]$ は代数的同値で $0$ だが有理同値では $0$ でなく、2 次曲面の異なる規則の直線は交叉数の違いから代数的同値でない。
前提知識: 代数的サイクル, 有理同値, 代数曲線, 平坦射, 交叉数
定義
以下、$k$ を体とし、代数多様体とは $k$ 上分離的で有限型のスキーム（代数多様体）、その部分多様体とは既約かつ被約な閉部分スキーム（整スキームである閉部分スキーム）をいう。代数多様体 $X$ の $p$ 次元部分多様体を基底とする自由アーベル群 $Z_p(X)$ の元が $p$ 次元の代数的サイクルであり、閉部分スキーム $W\subset X$ の基本サイクル $[W]=\sum_V\ell(\mathcal{O}_{W,V})\,[V]$（$V$ は $W$ の既約成分、$\ell$ は長さ(加群)）も 代数的サイクル の記事で定めたとおりとする。$X\times T$ は $k$ 上のファイバー積 $X\times_kT$ を表す。
有理同値は、射影空間 $\mathbb{P}^1$ をパラメータとする族の 2 つのファイバーを同一視する関係であった。代数的同値は、パラメータ空間を $\mathbb{P}^1$ から任意の非特異連結曲線に広げて得られる、より粗い関係である。
$X$ を代数多様体、$p\ge0$ を整数とする。次のデータを $X$ 上の $p$ 次元サイクルの代数的な族と呼ぶ。
- $k$ 上の非特異で連結な代数曲線 $T$（完備でなくてよい）と、その 2 つの $k$ 有理点 $t_0,t_1\in T(k)$。
- $X\times T$ の $(p+1)$ 次元部分多様体 $\mathcal{V}$ で、第 2 射影 $\mathcal{V}\to T$ が支配的（像が稠密）なもの。$T$ が曲線なので、これは $\mathcal{V}$ がどのファイバー $X\times\{t\}$（$t$ は $T$ の閉点）にも含まれないことと同値である。
このとき $\mathcal{V}\to T$ は平坦射であり（$T$ が正則で $1$ 次元、$\mathcal{V}$ が整だから。Har77 III, Proposition 9.7）、$t\in T(k)$ 上のファイバー $\mathcal{V}\times_T\operatorname{Spec}\kappa(t)$ を同型 $X\times\{t\}\cong X$ で $X$ に移した閉部分スキームを $\mathcal{V}(t)$ と書く。$\mathcal{V}(t)$ の既約成分はすべて $p$ 次元であり（rem-algebraic-equivalence-fiber-dimension）、基本サイクル $[\mathcal{V}(t)]\in Z_p(X)$ が定まる。
$[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$ の形のサイクル全体が生成する $Z_p(X)$ の部分群を $\operatorname{Alg}_p(X)$ と書く。サイクル $\alpha\in Z_p(X)$ が代数的同値で $0$（algebraically equivalent to zero）であるとは $\alpha\in\operatorname{Alg}_p(X)$ となることをいい、2 つのサイクル $\alpha,\beta\in Z_p(X)$ が代数的同値（algebraically equivalent）であるとは $\alpha-\beta\in\operatorname{Alg}_p(X)$ となることをいう。これを $\alpha\sim_{\mathrm{alg}}\beta$ と書く。商群
$$ B_p(X):=Z_p(X)/\operatorname{Alg}_p(X) $$
を $X$ の $p$ 次元サイクルの代数的同値類の群という。$X$ が純 $n$ 次元のときは余次元で添字づけて $\operatorname{Alg}^q(X):=\operatorname{Alg}_{n-q}(X)$、$B^q(X):=Z^q(X)/\operatorname{Alg}^q(X)$ とも書く。
$\operatorname{Alg}_p(X)$ は部分群として定めたので、代数的同値は $Z_p(X)$ 上の同値関係であり、サイクルの和と両立する。$t_0$ と $t_1$ を入れ替えれば符号が変わるだけなので、$\operatorname{Alg}_p(X)$ は $[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$ の形の元の和だけでも生成される。また $\mathcal{V}$ を $X\times T$ の $(p+1)$ 次元サイクル $\sum_jn_j[\mathcal{V}_j]$（各 $\mathcal{V}_j$ は $T$ を支配する部分多様体）に置き換え、そのファイバーを $\sum_jn_j[\mathcal{V}_j(t)]$ と定めても、生成される群は同じである。Fulton Ful98 Definition 10.3 は、パラメータ空間 $T$ を任意の非特異多様体にとり、ファイバーを Gysin写像 $t^{!}$ で定めるが、得られる同値関係は同じである（rem-algebraic-equivalence-parameter）。
$t\in T(k)$ とし、$u$ を離散付値環 $\mathcal{O}_{T,t}$ の一意化元とする。$X\times\{t\}$ は $X\times T$ の中で、$u$ を第 2 射影で引き戻した関数の零点集合として $t$ の近傍で定まるので、$\mathcal{V}(t)$ は $\mathcal{V}$ の中で $1$ つの元 $u$ で切り出される閉部分スキームである。$\mathcal{V}$ は $T$ を支配し整なので、$u$ は $\mathcal{V}$ の局所環で零因子でない。したがって Krull の標高定理（Krullの標高定理）により $\mathcal{V}(t)$ の各既約成分の次元は $\dim\mathcal{V}-1=p$ 以上である。他方、$\mathcal{V}\to T$ は平坦なので、ファイバーの各点 $x$ における局所次元は $\dim_x\mathcal{V}-\dim T=p$ である（Har77 III, Corollary 9.6）。よって $\mathcal{V}(t)$ の既約成分の次元はちょうど $p$ である。$\mathcal{V}\to T$ が支配的でなければ $\mathcal{V}$ は $1$ つのファイバー $X\times\{s\}$ に含まれ、$\mathcal{V}(s)=\mathcal{V}$ は $(p+1)$ 次元、他のファイバーは空になる。支配性を課すのはこれを除くためである。
定義でパラメータ空間 $T$ の取り方を変えても、生成される群 $\operatorname{Alg}_p(X)$ は変わらない。
- $T$ は完備にとれる。$k$ を代数閉体とする。非特異曲線 $T$ は非特異射影曲線 $\overline{T}$ の開部分スキームである（Har77 I, Proposition 6.7）。$\mathcal{V}$ の $X\times\overline{T}$ における閉包 $\overline{\mathcal{V}}$ は $(p+1)$ 次元部分多様体で $\overline{T}$ を支配し、$X\times T$ は $X\times\overline{T}$ の開部分スキームだから、$t\in T(k)$ 上のファイバーは $\overline{\mathcal{V}}(t)=\mathcal{V}(t)$ である。したがって生成元 $[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$ は $\overline{T}$ をパラメータとしても得られる。
- $T$ は任意の非特異連結多様体にしてよい（証明の筋）。$T$ が非特異連結多様体で $\dim T=m$ のとき、$X\times T$ の $(p+m)$ 次元部分多様体 $\mathcal{V}$ と $t_0,t_1\in T(k)$ に対し、$\mathcal{V}$ のファイバー $t^{!}[\mathcal{V}]\in CH_p(X)$ を Gysin写像で定める。連結な非特異多様体の 2 点は既約曲線の連結な鎖で結べるので、各曲線の正規化 $T_i\to T$ で底変換して曲線をパラメータとする族に帰着し、鎖に沿って差を足し合わせればよい。ただしファイバーの定義が Chow 群の中で行われるため、この形の定義では有理同値で $0$ のサイクルがはじめから代数的同値で $0$ になる。詳細は Ful98 Definition 10.3 と Example 10.3.2 を見よ。
直感
有理同値では、サイクルを $\mathbb{P}^1$ 上を動く族の中で変形する。$\mathbb{P}^1$ は種数 $0$ の曲線で、その上の 2 点はつねに線型同値だから、この変形は「有理関数の零点と極」で完全に記述できる。代数的同値では、変形のパラメータとして種数が正の曲線も許す。楕円曲線 $E$ の上では、点 $P$ を $E$ 自身をパラメータとして動かせば $P$ から $Q$ へ連続的に移れるが、$[P]-[Q]$ は有理関数の因子ではない（ex-algebraic-equivalence-elliptic）。「代数的な族の中で連続的に動かして重ねられる」という関係が代数的同値であり、有理同値との差 $\operatorname{Alg}_p(X)/\operatorname{Rat}_p(X)$ は、余次元 $1$ ではアーベル多様体 $\operatorname{Pic}^0(X)$ の $k$ 点の群、すなわち「連続的なパラメータの分」に一致する（thm-algebraic-equivalence-codim-one）。それをさらに割った $B_p(X)$（余次元 $1$ では Néron–Severi群）は離散的な不変量だけを残した群であり、余次元 $1$ では有限生成である。ホモロジー同値・数値的同値はさらに粗く、サイクル類写像による位相的な類や交叉数だけを見る。
例と反例
本節と次節では $k$ を代数閉体とする。
$Q:=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を非特異2次曲面とし、$a,b\in\mathbb{P}^1(k)$ に対し $L_a:=\{a\}\times\mathbb{P}^1$、$M_b:=\mathbb{P}^1\times\{b\}$ を 2 つの規則（直線族）に属する直線とする。
- 同じ規則の 2 直線 $L_a$、$L_{a'}$ は有理同値、したがって代数的同値である。
- 異なる規則の直線 $L_a$、$M_b$ は代数的同値でない。
- $\operatorname{Alg}_1(Q)=\operatorname{Rat}_1(Q)$ であり、$B_1(Q)=CH_1(Q)=\operatorname{Pic}(Q)\cong\mathbb{Z}[L_a]\oplus\mathbb{Z}[M_b]$ である。
証明。1：$\mathbb{P}^1$ 上で $[a]-[a']$ は有理関数の因子であり、平坦な第 1 射影 $\operatorname{pr}_1\colon Q\to\mathbb{P}^1$ による引き戻し $[L_a]-[L_{a'}]=\operatorname{pr}_1^*([a]-[a'])$ も有理関数（同じ関数の引き戻し）の因子である。$Q\times\mathbb{P}^1$ の部分多様体 $\{(x,y,t)\mid x=t\}$ を用いた直接の証明は 代数的サイクル の記事の例「2 次曲面の 2 つの直線族」にある。代数的同値は prop-algebraic-equivalence-rational による。
2：$a'\ne a$ をとり、非特異曲線 $C:=L_{a'}$ との交叉数を考える。prop-algebraic-equivalence-intersection により、写像 $Z_1(Q)\to\mathbb{Z}$、$D\mapsto D\cdot C$ は $\operatorname{Alg}_1(Q)$ 上で $0$ である。$L_a\cap L_{a'}=\emptyset$ なので $L_a\cdot C=0$、$M_b$ と $L_{a'}$ は点 $(a',b)$ でただ 1 回横断的に交わるので $M_b\cdot C=1$ である（交叉理論 の記事の例「射影直線の積」）。$[L_a]-[M_b]\in\operatorname{Alg}_1(Q)$ なら $0=L_a\cdot C-M_b\cdot C=-1$ となり矛盾する。
3：$\operatorname{Pic}(Q)=\mathbb{Z}\alpha\oplus\mathbb{Z}\beta$（$\alpha=[L_a]$、$\beta=[M_b]$）である（Har77 II, Example 6.6.1）。交叉数 $\alpha\cdot\alpha=0$、$\alpha\cdot\beta=1$、$\beta\cdot\beta=0$ により、準同型 $\operatorname{Pic}(Q)\to\mathbb{Z}^2$、$[D]\mapsto(D\cdot L_{a'},\,D\cdot M_{b'})$ は $d\alpha+e\beta\mapsto(e,d)$ となって単射である。この準同型を $Z_1(Q)=\operatorname{Div}(Q)$ から見ると、核は $\operatorname{Rat}_1(Q)$ に等しい。prop-algebraic-equivalence-intersection により $\operatorname{Alg}_1(Q)$ はこの核に含まれるので、$\operatorname{Rat}_1(Q)\subset\operatorname{Alg}_1(Q)\subset\operatorname{Rat}_1(Q)$ である。$\square$
したがって $Q$ 上の因子については有理同値・代数的同値・数値的同値がすべて一致し、$\operatorname{Pic}^0(Q)=0$、$\operatorname{NS}(Q)=\operatorname{Pic}(Q)\cong\mathbb{Z}^2$ である（thm-algebraic-equivalence-codim-one）。これは $H^1(Q,\mathcal{O}_Q)=0$ と整合する（Néron–Severi群）。
$E$ を $k$ 上の楕円曲線、$P\ne Q$ を $E$ の閉点とする。$0$ サイクル $[P]-[Q]\in Z_0(E)$ は次数 $0$ なので、thm-algebraic-equivalence-curve により代数的同値で $0$ である。直接には、$T:=E$、$\mathcal{V}:=\Delta_E\subset E\times E$（対角線）ととれば、$\mathcal{V}\to T$ は同型、$\mathcal{V}(t)=\{t\}$ だから $[P]-[Q]=[\mathcal{V}(P)]-[\mathcal{V}(Q)]\in\operatorname{Alg}_0(E)$ である。
しかし $[P]-[Q]$ は有理同値で $0$ でない。$[P]-[Q]=\operatorname{div}(r)$ なら $r$ の定める射 $E\to\mathbb{P}^1$ は次数 $1$ となって同型になり、$E$ の種数 $1$ と $\mathbb{P}^1$ の種数 $0$ が食い違うからである（証明は Chow環 の記事の反例「代数的同値だが有理同値でないサイクル」、および 有理同値）。同じことは、$P\mapsto[P]-[O]$ が全単射 $E(k)\to\operatorname{Pic}^0(E)$ を与えること（Sil09 III, Proposition 3.4）からも従う。したがって
$$
CH_0(E)\cong\mathbb{Z}\oplus E(k)\supsetneq B_0(E)\cong\mathbb{Z}
$$
であり、$\operatorname{Alg}_0(E)/\operatorname{Rat}_0(E)\cong E(k)$ である。このサイクルは「代数的同値で $0$」という性質を満たすが「有理同値で $0$」という性質を満たさず、「代数的同値ならば有理同値」という含意を破る。
$k=\mathbb{C}$ とし、$X\subset\mathbb{P}^4$ を一般の 5 次超曲面（3 次元）とする。$X$ 上の異なる 2 本の直線 $L,L'$ に対し $[L]-[L']\in Z^2(X)$ を考える。Lefschetzの超平面定理により $H_2(X,\mathbb{Z})\cong H_2(\mathbb{P}^4,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ で、直線の類はいずれも生成元なので、$[L]-[L']$ はホモロジー同値で $0$ である。Ceresa と Collino は、Griffiths の反転定理（Gri69）を用い、一般の $X$ 上の異なる直線は代数的同値でないことを示した（CC83 §III）。証明は Abel–Jacobi 写像と Hodge 理論を使うもので、本記事の範囲を超える。さらに Clemens は、一般の五次三次元多様体の Griffiths 群（def-algebraic-equivalence-griffiths-group）が有限生成ですらないことを示した（Cle83）。このサイクルは「ホモロジー同値で $0$」という性質を満たすが「代数的同値で $0$」という性質を満たさず、「ホモロジー同値ならば代数的同値」という含意を破る。余次元 $1$ ではこの含意は成り立つ（thm-algebraic-equivalence-hierarchy）。
$k=\mathbb{C}$ とし、$S$ を Enriques曲面、すなわち $h^1(S,\mathcal{O}_S)=0$、$h^0(S,\omega_S)=0$、$2K_S\sim0$ を満たす非特異射影曲面とする（Bea96 Chapter VIII）。標準因子 $K_S$ は $2K_S\sim0$ だから、任意の曲線 $C$ に対し $2(K_S\cdot C)=0$、すなわち $K_S\cdot C=0$ であり、$K_S$ は数値的同値で $0$ である。しかし $K_S$ は代数的同値で $0$ でない。実際 $h^1(S,\mathcal{O}_S)=0$ から $\operatorname{Pic}^0(S)=0$ である（Néron–Severi群 の記事の例「1 次コホモロジーが消える場合」）ので、thm-algebraic-equivalence-codim-one により $\operatorname{Alg}^1(S)=\operatorname{Rat}^1(S)$ であるが、$h^0(S,\omega_S)=0$ より $\omega_S\not\cong\mathcal{O}_S$、すなわち $K_S\not\sim0$ である。$\operatorname{NS}(S)=\operatorname{Pic}(S)\cong\mathbb{Z}^{10}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で $K_S$ が捩れ元である（Bea96 Chapter VIII）。この因子は「数値的同値で $0$」という性質を満たすが「代数的同値で $0$」という性質を満たさず、「数値的同値ならば代数的同値」という含意を破る。余次元 $1$ での 2 つの同値の差は、つねに $\operatorname{NS}(X)$ の捩れ部分群に限られる（Matsusaka の定理、thm-algebraic-equivalence-hierarchy）。
性質
有理同値との関係
任意の代数多様体 $X$ と $p\ge0$ に対し $\operatorname{Rat}_p(X)\subset\operatorname{Alg}_p(X)$ である。したがって有理同値なサイクルは代数的同値であり、全射 $CH_p(X)\to B_p(X)$ が誘導される。
有理同値 の記事の命題「射影直線の族による有理同値の特徴づけ」（Ful98 Proposition 1.6）により、$\operatorname{Rat}_p(X)$ は、$X\times\mathbb{P}^1$ の $(p+1)$ 次元部分多様体 $\mathcal{V}$ で第 2 射影 $\mathcal{V}\to\mathbb{P}^1$ が支配的なものに対する $[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ の全体で生成される（$(p+1)$ 次元部分多様体 $W\subset X$ 上の有理関数 $r$ に対し、$r$ のグラフの閉包 $\mathcal{V}\subset W\times\mathbb{P}^1$ が $\operatorname{div}_W(r)=[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ を満たす）。$\mathbb{P}^1$ は $k$ 上の非特異で連結な代数曲線であり、$0,\infty\in\mathbb{P}^1(k)$ である。したがって上の $\mathcal{V}$、$t_0=0$、$t_1=\infty$ は def-algebraic-equivalence の意味での代数的な族であり、各生成元 $[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ は $\operatorname{Alg}_p(X)$ に属する。$\operatorname{Alg}_p(X)$ は部分群なので $\operatorname{Rat}_p(X)\subset\operatorname{Alg}_p(X)$ である。$\square$
逆の包含は一般に成り立たない（ex-algebraic-equivalence-elliptic）。$\operatorname{Alg}_p(X)/\operatorname{Rat}_p(X)$ は「代数的同値で $0$」なサイクルの Chow 群の中での像であり、余次元 $1$ では $\operatorname{Pic}^0(X)$ に一致する（thm-algebraic-equivalence-codim-one）。両者が一致する例もある。$X=\mathbb{P}^n$ では $CH_p(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ が次数写像で与えられ（Chow環 の記事の定理「射影空間の Chow 環」）、次数は $(n-p)$ 次元線型部分空間との交叉数なので代数的同値で不変であり（thm-algebraic-equivalence-hierarchy）、$\operatorname{Rat}_p(\mathbb{P}^n)=\operatorname{Alg}_p(\mathbb{P}^n)$、$B_p(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ である。とくに $\mathbb{P}^n$ の同じ次数の超曲面はすべて代数的同値で、次数の異なる超曲面は代数的同値でない。
余次元1の族の制限
以下 $k$ を代数閉体とする。余次元 $1$ の族については、ファイバーは Cartier因子として直接記述できる。
$X$ を $k$ 上の既約な非特異代数多様体（滑らかな射 $X\to\operatorname{Spec}k$ をもつ既約な代数多様体）、$T$ を非特異連結曲線、$\mathcal{V}\subset S:=X\times T$ を $T$ を支配する素因子（余次元 $1$ の部分多様体）とし、$t\in T(k)$、$F_t:=X\times\{t\}\cong X$ とする。
- $F_t\not\subset\mathcal{V}$ であり、$\mathcal{V}(t)=\mathcal{V}\cap F_t$ は $X$ 上の有効 Cartier 因子である。
- 可逆層の同型 $\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{F_t}\cong\mathcal{O}_X(\mathcal{V}(t))$ がある。
- サイクル $[\mathcal{V}(t)]\in Z^1(X)$ は、Cartier 因子 $\mathcal{V}(t)$ に対応する Weil 因子に等しい。
$S=X\times T$ は既約かつ非特異（$k$ が代数閉体なので既約多様体の積は既約、非特異性は Har77 III, Proposition 10.1）、したがって正則で、正則局所環は一意分解整域である（Auslander–Buchsbaum の定理、Har77 II §6）から、素因子 $\mathcal{V}$ は $S$ の各点の近傍で $1$ つの元 $g$ で定義される Cartier 因子であり、$\mathcal{O}_S(\mathcal{V})$ はその近傍で $g^{-1}$ を局所生成元とする可逆層である（Har77 II, Proposition 6.11、6.13）。
1：$F_t$ は $X$ に同型なので既約で $\dim F_t=\dim X=\dim\mathcal{V}$ である。$F_t\subset\mathcal{V}$ なら既約閉集合の次元の比較から $F_t=\mathcal{V}$ となり、$\mathcal{V}$ が $T$ を支配することに反する。$F_t$ は整なので、$g$ の $\mathcal{O}_{F_t}$ への像 $\bar g$ は各点で零因子でなく、$\bar g$ の定める閉部分スキームが有効 Cartier 因子である。$u$ を $\mathcal{O}_{T,t}$ の一意化元とすると、局所的に $\mathcal{V}\cap F_t=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_S/(g,u)=\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{F_t}/(\bar g)$ であり、これは $\bar g$ の定める閉部分スキームにほかならない。
2：$\mathcal{O}_S(\mathcal{V})$ の局所生成元 $g^{-1}$ を $F_t$ に制限すると $\bar g^{-1}$ となり、これは $\mathcal{O}_X(\mathcal{V}(t))$ の局所生成元である。生成元どうしの取り替えは単元倍なので、この対応は可逆層の同型 $\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{F_t}\cong\mathcal{O}_X(\mathcal{V}(t))$ を与える。
3：Cartier 因子 $(\bar g)$ に対応する Weil 因子は、$X$ の余次元 $1$ の部分多様体 $W$ ごとに $\operatorname{ord}_W(\bar g)=\ell(\mathcal{O}_{X,W}/(\bar g))$ を係数とする $\sum_W\operatorname{ord}_W(\bar g)[W]$ である（Har77 II, Proposition 6.11、Weil因子）。他方、閉部分スキーム $\mathcal{V}(t)$ の $W$ の生成点における局所環は $\mathcal{O}_{X,W}/(\bar g)$ なので、基本サイクル $[\mathcal{V}(t)]$ の $[W]$ の係数も $\ell(\mathcal{O}_{X,W}/(\bar g))$ である。$\square$
曲線の場合
$X$ を完備な代数多様体（完備多様体。構造射が固有射）、$T$ を非特異連結曲線、$\mathcal{V}\subset X\times T$ を $T$ を支配する $1$ 次元部分多様体とし、$\pi\colon\mathcal{V}\to T$ を第 2 射影とする。このとき $\pi$ は有限で平坦な全射であり、$\pi_*\mathcal{O}_{\mathcal{V}}$ はある階数 $r$ の局所自由層である。さらに任意の $t\in T(k)$ に対し、$0$ サイクル $[\mathcal{V}(t)]$ の次数
$$
\deg[\mathcal{V}(t)]:=\sum_{P}\ell(\mathcal{O}_{\mathcal{V}(t),P})\,[\kappa(P):k]
$$
（$P$ は $\mathcal{V}(t)$ の点を走る）は $r$ に等しい。とくに $\deg[\mathcal{V}(t)]$ は $t$ によらない。
$X\to\operatorname{Spec}k$ が固有なので、その底変換 $X\times T\to T$ は固有であり、閉埋め込み $\mathcal{V}\hookrightarrow X\times T$ との合成 $\pi$ も固有である。$\mathcal{V}$ は $T$ を支配し、$T$ は $1$ 次元なので $\pi$ は全射である。$t\in T$ を閉点とすると、$\pi^{-1}(t)$ は $\mathcal{V}$ の真の閉部分集合であり（$\mathcal{V}$ は既約で $T$ を支配する）、$1$ 次元既約な $\mathcal{V}$ の真の閉部分集合は有限集合なので、$\pi$ は準有限である。固有かつ準有限な射は有限である（EGA3 Théorème 4.4.2、Har77 III, Exercise 11.2）。$\pi$ は平坦である（Har77 III, Proposition 9.7）。$\pi$ が有限なので $\pi_*\mathcal{O}_{\mathcal{V}}$ は $T$ 上の連接層であり、平坦な連接層は局所自由なので（Har77 III, Proposition 9.2）、$\pi_*\mathcal{O}_{\mathcal{V}}$ は局所自由である。$T$ は連結だからその階数 $r$ は一定である。
$t\in T(k)$ とする。$\pi$ は有限なので、ファイバー $\pi^{-1}(t)=\mathcal{V}(t)$ は $k$ 代数 $A_t:=(\pi_*\mathcal{O}_{\mathcal{V}})_t\otimes_{\mathcal{O}_{T,t}}\kappa(t)$ のスペクトルであり、$\kappa(t)=k$ と局所自由性から $\dim_kA_t=r$ である。$A_t$ は有限次元 $k$ 代数だからArtin環であり、有限個の極大イデアル（$\mathcal{V}(t)$ の点 $P$ に対応）による局所環の直積 $A_t=\prod_PA_{t,P}$ に分解する。各 $A_{t,P}=\mathcal{O}_{\mathcal{V}(t),P}$ は長さ $\ell(A_{t,P})$ の組成列をもち、その各因子は剰余体 $\kappa(P)$ に同型なので $\dim_kA_{t,P}=\ell(A_{t,P})\,[\kappa(P):k]$ である。よって
$$
r=\dim_kA_t=\sum_P\ell(\mathcal{O}_{\mathcal{V}(t),P})\,[\kappa(P):k]=\deg[\mathcal{V}(t)]
$$
である。$\square$
$C$ を代数閉体 $k$ 上の非特異射影曲線とする。$0$ サイクル（因子）$D=\sum_Pn_P[P]\in Z_0(C)$ について、次は同値である。
- $D$ は代数的同値で $0$ である。
- $\deg D=\sum_Pn_P=0$ である。
したがって $\operatorname{Alg}_0(C)=\ker(\deg)$ であり、$\deg\colon B_0(C)\to\mathbb{Z}$ は同型である。
1 ならば 2：$\operatorname{Alg}_0(C)$ の生成元 $[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$（$T$ は非特異連結曲線、$\mathcal{V}\subset C\times T$ は $T$ を支配する $1$ 次元部分多様体）をとる。$C$ は完備なので lem-algebraic-equivalence-fiber-degree が使え、$\deg[\mathcal{V}(t_0)]=r=\deg[\mathcal{V}(t_1)]$ である。$k$ が代数閉体なので $[\kappa(P):k]=1$ であり、この $\deg$ は主張の $\deg$ に一致する。$\deg\colon Z_0(C)\to\mathbb{Z}$ は準同型だから、生成元で $0$ なら $\operatorname{Alg}_0(C)$ 全体で $0$ である。
2 ならば 1：$P_0\in C(k)$ を 1 つ固定する。$\sum_Pn_P=0$ なので
$$
D=\sum_Pn_P[P]-\Bigl(\sum_Pn_P\Bigr)[P_0]=\sum_Pn_P\bigl([P]-[P_0]\bigr)
$$
であり、各 $[P]-[P_0]$ が $\operatorname{Alg}_0(C)$ に属することを示せばよい。$T:=C$（非特異連結曲線）、$t_0:=P$、$t_1:=P_0$ とし、$\mathcal{V}:=\Delta_C\subset C\times C$ を対角線とする。$C$ は分離的なので $\Delta_C$ は閉部分スキームであり、第 2 射影 $\Delta_C\to C$ は同型だから、$\Delta_C$ は $T$ を支配する $1$ 次元部分多様体で、$t\in C(k)$ 上のファイバーは同型の $1$ 点ファイバー、すなわち被約な $1$ 点 $\{(t,t)\}$ である。第 1 射影で $C$ に移せば $\mathcal{V}(t)=\{t\}$、$[\mathcal{V}(t)]=[t]$ となる。よって $[P]-[P_0]=[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]\in\operatorname{Alg}_0(C)$ である。$\square$
この定理と 有理同値（$CH_0(C)=\operatorname{Pic}(C)$）を合わせると、$\operatorname{Alg}_0(C)/\operatorname{Rat}_0(C)=\operatorname{Pic}^0(C)$ は次数 $0$ の因子類群であり、$C$ の種数が $g$ なら $g$ 次元のアーベル多様体（Jacobi多様体）の $k$ 点の群である。$g=0$ のときだけ $\operatorname{Alg}_0=\operatorname{Rat}_0$ で、$g\ge1$ では ex-algebraic-equivalence-elliptic と同じ理由で両者は異なる。
曲面上の交叉数の不変性
$C$ を非特異射影曲線、$T$ を非特異連結曲線、$\mathcal{M}$ を $C\times T$ 上の可逆層とし、$t\in T(k)$ に対し $F_t:=C\times\{t\}\cong C$ とおく。このとき次数 $\deg_C(\mathcal{M}|_{F_t})$ は $t$ によらない。
$S:=C\times T$ は非特異曲面であり（Har77 III, Proposition 10.1）、lem-algebraic-equivalence-restriction の証明の冒頭と同じ理由で Weil 因子と Cartier 因子と可逆層が対応する（Har77 II, Proposition 6.11、Corollary 6.16）。よって $S$ 上の Weil 因子 $\mathcal{W}=\sum_in_i\mathcal{W}_i$（$\mathcal{W}_i$ は相異なる素因子）で $\mathcal{M}\cong\mathcal{O}_S(\mathcal{W})$ となるものがある。$\mathcal{O}_S(\mathcal{W})=\bigotimes_i\mathcal{O}_S(\mathcal{W}_i)^{\otimes n_i}$ と、曲線上の可逆層の次数の加法性により、各素因子 $\mathcal{W}_i$ について $\deg_C(\mathcal{O}_S(\mathcal{W}_i)|_{F_t})$ が $t$ によらないことを示せばよい。素因子 $\mathcal{W}_i$ は既約曲線であり、第 2 射影による像は $T$ の既約閉集合なので、$T$ 全体（$\mathcal{W}_i$ は $T$ を支配する）か $1$ 点 $\{s\}$ かのいずれかである。
$\mathcal{W}_i$ が $1$ 点 $s$ に写る場合。$\mathcal{W}_i\subset C\times\{s\}$ であり、$C\times\{s\}$ は既約な曲線なので $\mathcal{W}_i=C\times\{s\}=F_s$ である。$u$ を $\mathcal{O}_{T,s}$ の一意化元とすると、$F_s$ は $\operatorname{pr}_2^*u$ で定義される Cartier 因子である（$\operatorname{pr}_2^{-1}(s)=C\times\operatorname{Spec}\kappa(s)=F_s$ は被約）。すなわち $\mathcal{O}_S(F_s)\cong\operatorname{pr}_2^*\mathcal{O}_T(s)$ である。これを $F_t$ に制限すると、合成 $F_t\to\{t\}\to T$ による $\mathcal{O}_T(s)$ の引き戻し、すなわち $\operatorname{Spec}k$ 上の可逆層の引き戻しになるので自明である。よって $\deg_C(\mathcal{O}_S(\mathcal{W}_i)|_{F_t})=0$ が任意の $t$ で成り立つ。
$\mathcal{W}_i$ が $T$ を支配する場合。$C$ は完備なので lem-algebraic-equivalence-fiber-degree により $\mathcal{W}_i\to T$ は有限平坦であり、ファイバーの次数 $d_i:=\deg[\mathcal{W}_i(t)]$ は $t$ によらない。lem-algebraic-equivalence-restriction（$X=C$）により $\mathcal{O}_S(\mathcal{W}_i)|_{F_t}\cong\mathcal{O}_C(\mathcal{W}_i(t))$ であり、$\mathcal{W}_i(t)$ は $C$ 上の有効 Cartier 因子で、その Weil 因子はサイクル $[\mathcal{W}_i(t)]=\sum_P\ell(\mathcal{O}_{\mathcal{W}_i(t),P})[P]$ である。非特異曲線 $C$ 上で因子に対応する可逆層の次数は因子の次数なので（Har77 II §6）、$\deg_C(\mathcal{O}_S(\mathcal{W}_i)|_{F_t})=\deg[\mathcal{W}_i(t)]=d_i$ であり、これは $t$ によらない。
以上より $\deg_C(\mathcal{M}|_{F_t})=\sum_{\mathcal{W}_i\text{ が }T\text{ を支配}}n_id_i$ であり、$t$ によらない。$\square$
$X$ を非特異射影曲面、$C\subset X$ を非特異曲線とする。$T$ を非特異連結曲線、$\mathcal{V}\subset X\times T$ を $T$ を支配する $2$ 次元部分多様体とすると、交叉数 $[\mathcal{V}(t)]\cdot C$ は $t\in T(k)$ によらない。したがって、$X$ 上の因子 $D,D'$ が代数的同値なら任意の非特異曲線 $C$ に対して $D\cdot C=D'\cdot C$ であり、交叉形式 $\operatorname{Div}(X)\times\operatorname{Div}(X)\to\mathbb{Z}$ は $B_1(X)\times B_1(X)\to\mathbb{Z}$ を誘導する。
$S:=X\times T$ とおく。lem-algebraic-equivalence-restriction により、$F_t:=X\times\{t\}\cong X$ の上で $\mathcal{V}(t)$ は有効 Cartier 因子、$\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{F_t}\cong\mathcal{O}_X(\mathcal{V}(t))$ であり、サイクル $[\mathcal{V}(t)]$ はこの Cartier 因子の Weil 因子に等しい。交叉理論 の記事の命題「交叉数と可逆層の次数」（Har77 V §1）により、非特異曲線 $C$ と任意の因子 $D$ に対し $D\cdot C=\deg_C(\mathcal{O}_X(D)|_C)$ なので
$$
[\mathcal{V}(t)]\cdot C=\deg_C\bigl(\mathcal{O}_X(\mathcal{V}(t))|_C\bigr)=\deg_C\bigl(\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{C\times\{t\}}\bigr)
$$
である。$\mathcal{M}:=\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{C\times T}$ は $C\times T$ 上の可逆層で、$\mathcal{O}_S(\mathcal{V})|_{C\times\{t\}}=\mathcal{M}|_{C\times\{t\}}$ だから、lem-algebraic-equivalence-line-bundle-degree により右辺は $t$ によらない。
後半：$\operatorname{Alg}_1(X)$ の生成元 $[\mathcal{V}(t_0)]-[\mathcal{V}(t_1)]$ は、前半により任意の非特異曲線 $C$ と交叉数 $0$ をもつ。交叉形式は双線型（交叉理論 の記事の定理「曲面の交叉形式」）なので、$\operatorname{Alg}_1(X)$ の任意の元と $C$ の交叉数は $0$ である。$X$ 上の任意の因子 $E$ は非特異曲線の差 $E\sim C_1-C_2$ に線型同値であり（Har77 V, Lemma 1.2）、交叉数は線型同値類にしかよらないので、$\operatorname{Alg}_1(X)$ の元と任意の因子との交叉数も $0$ である。よって交叉形式は $B_1(X)=\operatorname{Div}(X)/\operatorname{Alg}_1(X)$ の上に誘導される。$\square$
この命題は、曲面の因子については「代数的同値ならば数値的同値」を証明している。ex-algebraic-equivalence-quadric はこれを使って、$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の異なる規則の直線が代数的同値でないことを示した。
関手性
- $f\colon X\to Y$ を代数多様体の固有射とすると、サイクルの押し出し $f_*\colon Z_p(X)\to Z_p(Y)$ は $\operatorname{Alg}_p(X)$ を $\operatorname{Alg}_p(Y)$ に移す。したがって $f_*\colon B_p(X)\to B_p(Y)$ が誘導される。
- $f\colon X\to Y$ を相対次元 $m$ の平坦射とすると、平坦引き戻し $f^*\colon Z_p(Y)\to Z_{p+m}(X)$ は $\operatorname{Alg}_p(Y)$ を $\operatorname{Alg}_{p+m}(X)$ に移す。したがって $f^*\colon B_p(Y)\to B_{p+m}(X)$ が誘導される。
- $\alpha\in Z_p(X)$ が代数的同値で $0$ なら、任意の $\beta\in Z_q(Y)$ に対し外積 $\alpha\times\beta\in Z_{p+q}(X\times Y)$ も代数的同値で $0$ である。
Ful98 Proposition 10.3。押し出しについては、$f\times\mathrm{id}_T\colon X\times T\to Y\times T$ が固有であり、$\mathcal{V}$ の像 $\mathcal{W}:=(f\times\mathrm{id}_T)(\mathcal{V})$ が $T$ を支配する部分多様体で、$(f\times\mathrm{id}_T)_*[\mathcal{V}]=d[\mathcal{W}]$（$d$ は次数、$\dim\mathcal{W}<\dim\mathcal{V}$ なら $0$）のファイバーが $f_*[\mathcal{V}(t)]$ に一致すること、すなわちファイバーをとる操作（Gysin 写像）が固有押し出しと可換なこと（Ful98 Proposition 10.1 (a)、Theorem 6.2 (a)）が要点である。平坦引き戻しについても同様に、$\mathcal{V}$ の $f\times\mathrm{id}_T$ による引き戻しのファイバーが $f^*[\mathcal{V}(t)]$ に一致すること（Ful98 Proposition 10.1 (b)）による。押し出し・引き戻しがサイクルの群 $Z_*$ の上でどう定義されるかは 代数的サイクル を、それらが有理同値を保つことは 有理同値 を参照。
余次元1の場合
$X$ を代数閉体 $k$ 上の非特異射影多様体とする。
- 代数的同値で $0$ の因子の線型同値類のなす $\operatorname{Pic}(X)$ の部分群 $\operatorname{Pic}^0(X):=\operatorname{Alg}^1(X)/\operatorname{Rat}^1(X)$ は、Picardスキーム $\operatorname{Pic}_{X/k}$ の単位元を含む連結成分 $\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ の $k$ 点の群に等しい。$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ の被約化はアーベル多様体（$X$ の Picard 多様体）であり、とくに $\operatorname{Pic}^0(X)$ は可除群である。
- 商群 $\operatorname{NS}(X):=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)=Z^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)=B^1(X)$ は有限生成アーベル群である（Néron–Severi の定理）。その階数 $\rho(X)$ を $X$ の Picard 数という。
- $X$ が種数 $g$ の曲線なら $\operatorname{Pic}^0(X)$ は $g$ 次元アーベル多様体（Jacobi 多様体）の $k$ 点の群で、$\operatorname{NS}(X)\cong\mathbb{Z}$ である。
1 と 2 は Néron–Severi群 の記事、FGAex Chapter 9（Kleiman による Picard スキームの解説）、Kle68 §3、曲面については Har77 V, Exercise 1.7 を見よ。3 は thm-algebraic-equivalence-curve と、$\operatorname{Pic}^0(C)$ が Jacobi 多様体の $k$ 点の群であること（FGAex Chapter 9、Jacobi多様体）による。
Néron–Severi群 の記事では、因子の代数的同値を「連結な $T$ と $X\times T$ 上の可逆層 $\mathcal{N}$ で $\mathcal{N}|_{X\times\{t_0\}}\cong\mathcal{O}(D)$、$\mathcal{N}|_{X\times\{t_1\}}\cong\mathcal{O}(D')$ となるものがある」という可逆層の族で定めている。$X$ が非特異で $T$ が非特異曲線のとき、この定義が本記事の定義と線型同値を除いて一致することは次のようにわかる。$\mathcal{V}$ を本記事の族とすれば $\mathcal{N}:=\mathcal{O}_{X\times T}(\mathcal{V})$ が lem-algebraic-equivalence-restriction により可逆層の族を与える。逆に可逆層の族 $\mathcal{N}$ が与えられたとき、非特異な $X\times T$ 上で $\mathcal{N}\cong\mathcal{O}(\mathcal{W})$ となる Weil 因子 $\mathcal{W}$ をとり、$\mathcal{W}$ を $T$ を支配する成分の和 $\mathcal{W}_h$ と、ファイバー $X\times\{s\}$ の形の成分の和に分ける。lem-algebraic-equivalence-line-bundle-degree の証明と同じ計算で、ファイバー型の成分は $X\times\{t\}$ に制限すると自明な可逆層を与えるので、$\mathcal{O}(D)\cong\mathcal{N}|_{X\times\{t_0\}}\cong\mathcal{O}_X(\mathcal{W}_h(t_0))$、同様に $\mathcal{O}(D')\cong\mathcal{O}_X(\mathcal{W}_h(t_1))$ である。よって $D-D'\sim[\mathcal{W}_h(t_0)]-[\mathcal{W}_h(t_1)]\in\operatorname{Alg}^1(X)$ となり、prop-algebraic-equivalence-rational により $D-D'\in\operatorname{Alg}^1(X)$ である。一般の連結な $T$ については、rem-algebraic-equivalence-parameter のように曲線の鎖に帰着する。
同値関係の階層
$X$ を代数閉体 $k$ 上の純 $n$ 次元非特異射影多様体とし、Weilコホモロジー $H^*$（$k=\mathbb{C}$ なら有理係数の特異コホモロジー）とそのサイクル類写像 $\mathrm{cl}\colon Z^q(X)\to H^{2q}(X)$ を固定する。$\operatorname{Hom}^q(X):=\ker\mathrm{cl}$ をホモロジー同値で $0$ のサイクルの群、$\operatorname{Num}^q(X)$ を数値的同値で $0$ のサイクル（任意の $\beta\in Z^{n-q}(X)$ に対し $\deg(\alpha\cdot\beta)=0$ となる $\alpha$）の群とする。
- $\operatorname{Rat}^q(X)\subset\operatorname{Alg}^q(X)\subset\operatorname{Hom}^q(X)\subset\operatorname{Num}^q(X)$ である。
- $q=1$ では $\operatorname{Hom}^1(X)=\operatorname{Num}^1(X)$ であり、$\operatorname{Num}^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ は $\operatorname{NS}(X)$ の捩れ部分群に等しい（Matsusaka の定理）。
- $Z^q(X)/\operatorname{Num}^q(X)$ は有限生成自由アーベル群である。
1 の第 1 の包含は prop-algebraic-equivalence-rational である。第 2 の包含は、族 $\mathcal{V}$ のファイバーのコホモロジー類が $t$ によらないことによる。$k=\mathbb{C}$ で特異コホモロジーの場合の証明は サイクル類写像 の記事の系「代数的同値での不変性」にあり、一般の Weil コホモロジーについては Ful98 Chapter 19、Kle68 §1 を見よ。第 3 の包含は、サイクル類写像が交叉積をカップ積に、次数をトレース写像に移すことによる（Kle68 §1）。代数的同値ならば数値的同値であることは、コホモロジーを経由せずに「数の保存則」（$\deg([\mathcal{V}(t)]\cdot\beta)$ が $t$ によらないこと。Ful98 §10.2、Proposition 10.2）からも従い、曲面の因子については prop-algebraic-equivalence-intersection で証明した。2 は Mat57、Kle68 §3、Néron–Severi群 を、3 は Kle68 §3 を見よ。$q\ge2$ では $\operatorname{Hom}^q(X)=\operatorname{Num}^q(X)$ かどうかは Grothendieck の標準予想 D であり、2026 年現在一般には未解決である。
thm-algebraic-equivalence-hierarchy の状況で、商群
$$
\operatorname{Griff}^q(X):=\operatorname{Hom}^q(X)/\operatorname{Alg}^q(X)
$$
を $X$ の余次元 $q$ の Griffiths 群（Griffiths group、Griffiths群）という。
$q=1$ では thm-algebraic-equivalence-hierarchy の 2 により $\operatorname{Griff}^1(X)$ は $\operatorname{NS}(X)$ の捩れ部分群に等しく、有限群である。$q\ge2$ では $\operatorname{Griff}^q(X)$ は $0$ でないことがあり（ex-algebraic-equivalence-griffiths、Gri69）、有限生成でないこともある（Cle83）。$k=\mathbb{C}$ では、ホモロジー同値で $0$ のサイクルに Abel–Jacobi写像で中間 Jacobi 多様体 $J^q(X)$ の点を対応させることができ、代数的同値で $0$ のサイクルの像は $J^q(X)$ の部分アーベル多様体 $J^q_{\mathrm{alg}}(X)$ に入る。したがって $\operatorname{Griff}^q(X)\to J^q(X)/J^q_{\mathrm{alg}}(X)$ が誘導され、Griffiths の例はこの写像の像が $0$ でないことで検出される（Voi03 Chapter 8）。Griffiths 群と Chow 群の構造は、Hodge予想・標準予想とともに代数的サイクルの理論の中心的な未解決問題である。
関連項目
- 前提: 代数的サイクル, 有理同値, 代数曲線, 平坦射, 交叉数
- 比較: 有理同値, 線型同値, ホモロジー同値, 数値的同値
- 直後に読む: Chow群, Chow環, Picard群, Néron–Severi群, サイクル類写像, 交叉理論
- 発展: Griffiths群, Abel–Jacobi写像, 中間Jacobi多様体, Picardスキーム, Hodge予想, 標準予想
参考文献
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