余可算位相

まず、高々可算な二つの集合 $A,B$ の合併が高々可算であることを見る。単射 $f\colon A\to\mathbb{N}$ と $g\colon B\to\mathbb{N}$ をそれぞれ一つ取り、$h\colon A\cup B\to\mathbb{N}$ を、$x\in A$ のとき $h(x)=2f(x)$、$x\in B\setminus A$ のとき $h(x)=2g(x)+1$ と定める。偶数と奇数は一致せず、$f$ と $g$ は単射なので $h$ は単射である。よって $A\cup B$ は高々可算である。二つの集合について単射を選ぶだけなので、選択公理は使わない。
(1) $\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は定義による。$X\setminus X=\emptyset$ は有限なので $X\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。
(2) 任意合併について。$\{U_i\}_{i\in I}$ を $\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ の元の族とし、$U=\bigcup_{i\in I}U_i$ とおく。すべての $U_i$ が空なら $U=\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。そうでなければ $U_{i_0}\neq\emptyset$ となる $i_0\in I$ を一つ取る（空でない一つの集合から元を一つ取るだけなので選択公理は使わない）。定義より $X\setminus U_{i_0}$ は高々可算である。de Morgan の法則から
$$X\setminus U=\bigcap_{i\in I}(X\setminus U_i)\subset X\setminus U_{i_0}$$
であり、高々可算な集合の部分集合は高々可算なので $X\setminus U$ は高々可算である。よって $U\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。
(3) 有限交叉について。$U,V\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ とする。どちらかが空なら $U\cap V=\emptyset\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。ともに空でなければ $X\setminus U$ と $X\setminus V$ はいずれも高々可算で、
$$X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$$
は冒頭で示したことから高々可算である。よって $U\cap V\in\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ である。二つの元についての交叉が閉じていれば有限個についても帰納法で従う。$\square$

$X\setminus\{x\}$ の補集合は $\{x\}$ であり、これは有限なので高々可算である。したがって $X\setminus\{x\}$ は開集合であり、$\{x\}$ は閉集合である。相異なる二点 $x\neq y$ に対し、$X\setminus\{y\}$ は $x$ を含み $y$ を含まない開集合なので、$T_1$ の条件が満たされる。$\square$

$U,V$ が空でない開集合なら、定義より $X\setminus U$ と $X\setminus V$ は高々可算である。$U\cap V=\emptyset$ と仮定すると
$$X=X\setminus(U\cap V)=(X\setminus U)\cup(X\setminus V)$$
となり、prf-cocountable-topology-axioms の冒頭で示したことから $X$ は高々可算になる。これは $X$ が非可算であることに反する。よって $U\cap V\neq\emptyset$ である。$\square$

1. $X$ は非可算なので相異なる二点 $x\neq y$ が取れる。$U$ を $x$ を含む開集合、$V$ を $y$ を含む開集合とすると、$U,V$ はいずれも空でないので prop-cocountable-topology-hyperconnected より $U\cap V\neq\emptyset$ である。よって $x$ と $y$ を交わらない開近傍で分離できず、$X$ は Hausdorff でない。
2. $X=U\cup V$、$U\cap V=\emptyset$、$U$ と $V$ はともに空でない開集合、という分割があったとすると prop-cocountable-topology-hyperconnected に反する。よって $X$ は連結である。
3. まず、距離空間 $(Y,d)$ は Hausdorff である。実際、$y\neq y'$ に対し $r=d(y,y')/2>0$ とおくと、開球 $B(y,r)$ と $B(y',r)$ は交わらない。もし $z$ が両方に属せば、三角不等式より
   $$d(y,y')\le d(y,z)+d(z,y')< r+r=d(y,y')$$
   となって矛盾するからである。Hausdorff であることは位相だけで決まる性質なので、1 と合わせて $X$ の位相は距離から定まらない。$\square$

$A$ が高々可算のときは $X\setminus A$ が開集合なので $A$ は閉集合であり、$\overline{A}=A$ である。
$A$ が非可算とする。$x\in X$ を任意に取り、$U$ を $x$ を含む開集合とする。$U\neq\emptyset$ なので $X\setminus U$ は高々可算である。$A\subset X\setminus U$ とすると $A$ が高々可算になって仮定に反するので、$A\not\subset X\setminus U$、すなわち $A\cap U\neq\emptyset$ である。$x$ の任意の開近傍が $A$ と交わるので $x\in\overline{A}$ であり、$x$ は任意だったから $\overline{A}=X$ である。$\square$

$X$ が高々可算ならば、任意の $U\subset X$ に対し $X\setminus U$ は高々可算なので $U$ は開集合であり、$\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は離散位相である。
逆を対偶で示す。$X$ が非可算とし、$x\in X$ を取る。$X\setminus\{x\}$ が高々可算だと仮定すると、$X=(X\setminus\{x\})\cup\{x\}$ は高々可算な二つの集合の合併なので高々可算となり、仮定に反する。よって $X\setminus\{x\}$ は非可算である。$\{x\}$ は空でなく補集合が高々可算でないので、$\{x\}$ は開集合でない。したがって $\tau_{\mathrm{coc}}(X)$ は離散位相でない。$\square$

ある $N$ から先が $x$ に等しいならば、$x$ を含むどの開集合 $U$ についても $n\ge N$ で $x_n=x\in U$ なので、$(x_n)$ は $x$ に収束する（この向きは位相の取り方によらない）。
逆に $(x_n)$ が $x$ に収束するとし、$D=\{x_n\mid n\ge1,\ x_n\neq x\}$ とおく。$D$ は高々可算である。実際、$d\in D$ に対し $\varphi(d)=\min\{n\ge1\mid x_n=d\}$ とおくと（$\mathbb{N}$ の空でない部分集合には最小元があるので定義でき、選択公理は使わない）、$\varphi(d)=\varphi(d')$ なら $d=x_{\varphi(d)}=d'$ なので $\varphi\colon D\to\mathbb{N}$ は単射である。よって $U=X\setminus D$ は開集合であり、$x\notin D$ だから $x\in U$ である。収束の定義より、ある $N$ が存在して $n\ge N$ ならば $x_n\in U$、すなわち $x_n\notin D$ である。$x_n\neq x$ であれば $D$ の定義から $x_n\in D$ となるので、$n\ge N$ では $x_n=x$ でなければならない。$\square$