局所写像度

$S^n\setminus\{x\}$ は $\mathbb{R}^n$ と同相なので（球面 の記事の命題（Euclid 空間の一点コンパクト化））可縮であり、被約ホモロジーはすべて $0$ である。被約ホモロジーの対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの対の長完全列））の部分
$$ \tilde H_n(S^n\setminus\{x\})\to\tilde H_n(S^n)\xrightarrow{\ j_x\ }H_n(S^n\mid x)\to\tilde H_{n-1}(S^n\setminus\{x\}) $$
の両端は $0$ であり、$n\ge1$ なので $\tilde H_n(S^n)=H_n(S^n)$ である。よって $j_x$ は同型である。後半は、$S^n$ の点が閉集合であることから 局所ホモロジー の命題（局所ホモロジーの局所性）による。

1．定義の $W$ を、$f$ と $g$ が一致する近傍の中にとれば、同じ対の写像になる。
2．$F$ は対の写像 $(W,W\setminus\{x\})\to(S^n,S^n\setminus\{y\})$ のあいだの対としてのホモトピーなので、$F_0$ と $F_1$ は同じ準同型を誘導する（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（対のホモトピー不変性））。
3．$h^{-1}(h(x))=\{x\}$ なので $W=S^n$ ととれる。$h$ は対の写像 $(S^n,\emptyset)\to(S^n,\emptyset)$ と $(S^n,S^n\setminus\{x\})\to(S^n,S^n\setminus\{h(x)\})$ を与え、包含と可換なので $h_*\circ j_x=j_{h(x)}\circ h_*$ である。よって $h_*\mu_x=j_{h(x)}(h_*\alpha)=\deg h\cdot\mu_{h(x)}$ である。
4．$W$ を $f$ の定義の近傍とする。$h$ は単射なので $W\cap(h\circ f)^{-1}(h(y))=\{x\}$ であり、3 の計算から $(h\circ f)_*\mu_x=h_*(\deg_xf\cdot\mu_y)=\deg h\cdot\deg_xf\cdot\mu_{h(y)}$ である。後者は、$x':=h^{-1}(x)$、$W':=h^{-1}(W)$ とおくと $h$ が対の写像 $(W',W'\setminus\{x'\})\to(W,W\setminus\{x\})$ で $\mu_{x'}$ を $\deg h\cdot\mu_x$ に写す（3 と同じ計算を包含と合わせる）ことから従う。
5．$y\in V$ で、$f|_W$ は対の同相 $(W,W\setminus\{x\})\to(V,V\setminus\{y\})$ なので $H_n(W\mid x)\cong H_n(V\mid y)$ を誘導し、$\mu_x$ を生成元 $\pm\mu_y$ に写す。

$X:=S^n$、$L:=f^{-1}(y)$ とおき、$x_i$ の開近傍 $U_1,\dots,U_m$ を互いに交わらないようにとる（$X$ は Hausdorff）。$f$ は $X\setminus L$ を $X\setminus\{y\}$ に写すので、対の写像 $(X,X\setminus L)\to(X,X\setminus\{y\})$ である。
段 1（分解）．$Z:=X\setminus\bigcup_iU_i$ は閉集合で、開集合 $X\setminus L$ に含まれる。切除定理（切除定理(特異ホモロジー) の記事の定理（切除定理）の (1)）により、包含は同型 $H_n(\bigcup_iU_i,\bigcup_iU_i\setminus L)\cong H_n(X\mid L)$ を誘導する。特異単体の像は弧状連結なので、互いに交わらない開集合 $U_i$ のどれか 1 つに入る。よって鎖群は直和に分かれ、包含 $k_i\colon H_n(U_i\mid x_i)\to H_n(X\mid L)$ を並べた写像
$$ \textstyle\bigoplus_ik_i\colon\bigoplus_{i=1}^mH_n(U_i\mid x_i)\to H_n(X\mid L) $$
は同型である。$m=0$ なら $H_n(X\mid\emptyset)=H_n(X,X)=0$ である。
段 2（$j(\alpha)$ の成分）．包含が誘導する写像を $j\colon H_n(X)\to H_n(X\mid L)$、$p_i\colon H_n(X\mid L)\to H_n(X\mid x_i)$ とする。包含の合成なので $p_i\circ j=j_{x_i}$ であり、$p_i\circ k_i$ は lem-ld-generator の同型である。$i\ne l$ のとき、$U_l\subset X\setminus\{x_i\}$ なので $p_i\circ k_l$ は $H_n(U_l,U_l)=0$ を経由し、$p_i\circ k_l=0$ である。段 1 により $j(\alpha)=\sum_lk_l(a_l)$ と書け、$p_i$ を当てると $\mu_{x_i}=j_{x_i}(\alpha)=p_ik_i(a_i)$、すなわち $a_i=\mu_{x_i}$ である。よって $j(\alpha)=\sum_ik_i(\mu_{x_i})$ である。
段 3（$f$ を当てる）．$f$ と包含は可換なので $f_*\circ j=j_y\circ f_*$ であり、
$$ f_*j(\alpha)=j_y(f_*\alpha)=j_y(\deg f\cdot\alpha)=\deg f\cdot\mu_y $$
である。一方 $f_*k_i(\mu_{x_i})$ は、$W=U_i$ とした def-ld-main の写像の像なので $\deg_{x_i}f\cdot\mu_y$ である。段 2 と合わせて $\deg f\cdot\mu_y=\sum_i\deg_{x_i}f\cdot\mu_y$ となり、$\mu_y$ は無限巡回群の生成元なので主張が従う。

1．$(z,s)\mapsto z+sv$ を $(N,s)\mapsto N$ で延ばした写像は、$\lvert z+sv\rvert\ge\lvert z\rvert-\lvert v\rvert$ により $S^n\times[0,1]$ の上で連続であり、恒等写像から $\hat\tau_v$ へのホモトピーである。
2．$\sigma(Bx',x_{n+1})=Bx'/(1-x_{n+1})=B\sigma(x',x_{n+1})$ なので、$\hat B$ は $(n+1)$ 次の直交行列 $\operatorname{diag}(B,1)$ による $S^n$ の写像である。写像度 の記事の命題（直交変換の写像度）により、その写像度は $\det\operatorname{diag}(B,1)=\det B$ である。

$A^{-1}(0)=\{0\}$ で、$A$ は $\hat A$ と $\mathbb{R}^n$ の上で一致するので、prop-ld-basic の 1・3 により $\deg_0A=\deg\hat A$ である。
段 1（対角行列への道）．行 $i$ に行 $l$ の $c$ 倍を加える基本変形の行列 $E_{il}(c):=I+ce_{il}$（$i\ne l$、$e_{il}$ は $(i,l)$ 成分だけが $1$ の行列）を左から有限回掛けると、$A$ は対角行列 $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ になる（下の「詳細」）。$E_k\cdots E_1A=D$、$E_r=E_{i_rl_r}(c_r)$ とすると、$E_{il}(c)^{-1}=E_{il}(-c)$ なので
$$ A_s:=E_{i_1l_1}(-sc_1)\cdots E_{i_kl_k}(-sc_k)\,D\qquad(0\le s\le1) $$
は $A_1=A$、$A_0=D$ を満たし、$\det A_s=\det D\ne0$ である。続いて $D_s:=\operatorname{diag}\bigl((1-s)d_i+s\operatorname{sgn}d_i\bigr)$ は $D$ と $\operatorname{diag}(\operatorname{sgn}d_1,\dots,\operatorname{sgn}d_n)$ を可逆行列のまま結ぶ。
段 2（ホモトピー）．段 1 の道をつないだ可逆行列の連続な族を $(C_s)_{0\le s\le1}$ とする。$s\mapsto C_s^{-1}$ は連続なので $K:=\max_s\| C_s^{-1}\|< \infty$ であり、$\lvert C_sz\rvert\ge\lvert z\rvert/K$ である。よって $\hat C_s$ をまとめた写像 $S^n\times[0,1]\to S^n$ は $N$ の近くでも連続で、$\hat A$ と $\hat Q$（$Q:=\operatorname{diag}(\operatorname{sgn}d_i)$）を結ぶホモトピーである。
段 3（計算）．$Q$ は直交行列なので、lem-ld-extension の 2 と 写像度 の記事の命題（写像度の基本性質）の (ii) により $\deg\hat A=\deg\hat Q=\det Q=\prod_i\operatorname{sgn}d_i=\operatorname{sgn}\det D$ である。$\det E_{il}(c)=1$ なので $\det D=\det A$ であり、主張が従う。

$y:=f(x)$、$\kappa:=1/\| A^{-1}\|$ とおくと、$\lvert Ah\rvert\ge\kappa\lvert h\rvert$ である。微分可能性により、$r>0$ を、開球 $W:=\{\lvert z-x\rvert< r\}$ が $U$ に含まれ、$z\in W$ で $\lvert f(z)-y-A(z-x)\rvert\le\tfrac{\kappa}{2}\lvert z-x\rvert$ となるようにとれる。$z\in W$、$t\in[0,1]$ について
$$ F(z,t):=y+A(z-x)+(1-t)\bigl(f(z)-y-A(z-x)\bigr) $$
とおくと、
$$ \lvert F(z,t)-y\rvert\ge\kappa\lvert z-x\rvert-\tfrac{\kappa}{2}\lvert z-x\rvert=\tfrac{\kappa}{2}\lvert z-x\rvert $$
なので、$z\ne x$ なら $F(z,t)\ne y$ であり、$F(x,t)=y$ である。$t=0$ から $f(z)\ne y$（$z\in W\setminus\{x\}$）が分かり、$x$ は孤立点である。prop-ld-basic の 2 により、$\deg_xf$ は $g(z):=y+A(z-x)$ の $x$ での局所写像度に等しい。$g=\tau_y\circ A\circ\tau_{-x}$ は $S^n$ の同相写像 $\hat g=\hat\tau_y\circ\hat A\circ\hat\tau_{-x}$ に延びるので、prop-ld-basic の 1・3、lem-ld-extension の 1、thm-ld-linear と写像度の積の性質により
$$ \deg_xg=\deg\hat g=\deg\hat\tau_y\cdot\deg\hat A\cdot\deg\hat\tau_{-x}=\operatorname{sgn}\det A $$
である。

$S^n\setminus\{N\}$ と $\mathbb{R}^n$ の同一視のもとで $\deg_{x_i}f=\deg_{\sigma(x_i)}f_\sigma$ である。thm-ld-sum と thm-ld-differentiable による。

$\lvert z\rvert\ge1$ のとき $\lvert p(z)\rvert\ge\lvert a_d\rvert\lvert z\rvert^d-\bigl(\sum_{l< d}\lvert a_l\rvert\bigr)\lvert z\rvert^{d-1}$ なので、$\lvert z\rvert\to\infty$ で $\lvert p(z)\rvert\to\infty$ となり、$\hat p$ は連続である。
1．$H(z,t):=a_dz^d+t\sum_{l< d}a_lz^l$、$H(\infty,t):=\infty$ とおく。上と同じ評価が $t\in[0,1]$ について一様に成り立つので、$H$ は $S^2\times[0,1]$ の上で連続であり、$\hat p$ と $z\mapsto a_dz^d$ の延長を結ぶ。後者は $a_d$ 倍と $P_d$ の延長の合成なので、写像度は $1\cdot d=d$ である（ex-ld-power と 写像度 の記事の命題（写像度の基本性質）の (ii)(iii)）。
2．$p(z)=(z-a)^mg(z)$、$g$ は多項式で $g(a)\ne0$ と書ける。$r>0$ を、$\lvert z-a\rvert< r$ で $\lvert g(z)-g(a)\rvert< \lvert g(a)\rvert$ となるようにとり、$W:=\{\lvert z-a\rvert< r\}$ の上で
$$ F(z,t):=(z-a)^m\bigl((1-t)g(z)+tg(a)\bigr) $$
とおく。$\lvert(1-t)g(z)+tg(a)-g(a)\rvert=(1-t)\lvert g(z)-g(a)\rvert< \lvert g(a)\rvert$ なので括弧の中は $0$ でなく、$F(z,t)=0$ となるのは $z=a$ のときに限る。prop-ld-basic の 2 により、$\deg_a\hat p=\deg_ap$ は $q(z):=g(a)(z-a)^m$ の $a$ での局所写像度に等しい。$q$ は $\tau_{-a}$、$P_m$、$g(a)$ 倍の合成なので、prop-ld-basic の 4、ex-ld-power、lem-ld-extension の 1 と、節の冒頭の $c$ 倍の写像度により $\deg_aq=1\cdot m\cdot1=m$ である。
3．$\hat p(\infty)=\infty\ne0$ なので、$\hat p$ の $0$ の逆像は $p$ の根の集合で、$p$ は $0$ でない多項式なので根は高々 $d$ 個である。根がなければ thm-ld-sum により $\deg\hat p=0$ となり、1 の $\deg\hat p=d\ge1$ に反する。根があるとき、thm-ld-sum と 2 により重複度の総和は $\deg\hat p=d$ に等しい。