整拡大

1 ⇒ 2：$b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0$（$a_i\in A$、$n\ge1$）とし、$M:=A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}$ とおく。$k$ についての帰納法で $b^k\in M$（$k\ge0$）を示す。$k< n$ なら明らかである。$k\ge n$ で $j< k$ について $b^j\in M$ とすると、
$$ b^k=b^{k-n}b^n=-\bigl(a_{n-1}b^{k-1}+a_{n-2}b^{k-2}+\cdots+a_0b^{k-n}\bigr)\in M $$
である。$A[b]$ の元は $b$ の冪の $A$ 係数の 1 次結合なので、$A[b]=M$ は $A$ 上有限である。
2 ⇒ 3：$C=A[b]$ とすればよい。
3 ⇒ 4：$M=C$ とする。$C$ は $A$ 上有限な部分環で $b\in C$ なので $bC\subset C$ である。$y\in A[b]$ が $yC=0$ を満たせば、$1\in C$ なので $y=y\cdot1=0$ である。
4 ⇒ 1：$M=Am_1+\cdots+Am_r$ とする。$r=0$、すなわち $M=0$ なら、$y=1$ が $yM=0$ を満たすので $1=0$ であり、$B=0$ で $b=0$ は $x$ の根である。$r\ge1$ とする。$bm_i\in M$ なので、$a_{ij}\in A$ によって
$$ bm_i=\sum_{j=1}^ra_{ij}m_j\qquad(i=1,\dots,r) $$
と書ける。$\delta_{ij}$ を Kronecker の記号として、可換環 $A[b]$ を成分とする $r\times r$ 行列 $X:=(\delta_{ij}b-a_{ij})_{i,j}$ を考えると、$m:={}^t(m_1,\dots,m_r)\in M^r$ について $Xm=0$ である。$X$ の余因子行列 $\operatorname{adj}X$ は $(\operatorname{adj}X)X=(\det X)I_r$ を満たす（行列式 の記事の定理「余因子行列と逆行列の公式」の 1。同記事の注意「可換環上の行列式」により成分が可換環でも成り立ち、$r=1$ では $\operatorname{adj}X=(1)$ とすればよい）。左から $\operatorname{adj}X$ を掛けると $(\det X)m_j=0$（$j=1,\dots,r$）となり、$\det X\in A[b]$ は $M$ を零化するので $\det X=0$ である。$\chi(x):=\det\bigl(xI_r-(a_{ij})\bigr)\in A[x]$ は、Leibniz の公式で展開すると対角成分の積 $\prod_i(x-a_{ii})$ から $x^r$ が 1 回だけ現れ、他の項は $x$ について $r-2$ 次以下なので、$r$ 次のモニックな多項式である。$\chi(b)=\det X=0$ なので、$b$ は $A$ 上整である。$\square$

$B=\sum_{i=1}^rAb_i$、$C=\sum_{j=1}^sBc_j$ とする。$c\in C$ は $c=\sum_j\beta_jc_j$（$\beta_j\in B$）と書け、各 $\beta_j=\sum_i\alpha_{ij}b_i$（$\alpha_{ij}\in A$）なので $c=\sum_{i,j}\alpha_{ij}b_ic_j$ である。よって $C=\sum_{i,j}Ab_ic_j$ は $A$ 上有限である。$\square$

1：$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $A[\,]=A=A\cdot1$ である。$B_{n-1}:=A[b_1,\dots,b_{n-1}]$ が $A$ 上有限であるとする。$b_n$ は $A$ 上整なので $B_{n-1}$ 上整でもあり（同じモニックな多項式を $B_{n-1}$ 係数とみる）、thm-integral-extension-module の 1 ⇒ 2 により $B_{n-1}[b_n]=A[b_1,\dots,b_n]$ は $B_{n-1}$ 上有限である。lem-integral-extension-finite-tower により $A$ 上有限である。
2：$b\in B$ について、$C=B$ は $A[b]$ を含み $A$ 上有限な部分環なので、thm-integral-extension-module の 3 ⇒ 1 により $b$ は $A$ 上整である。
3：1 から従う。$\square$

cor-integral-extension-finite の 1 により $C:=A[b,c]$ は $A$ 上有限な $B$ の部分環である。$d$ を $b+c$、$b-c$、$bc$ のいずれかとすると $d\in C$ なので $A[d]\subset C$ であり、thm-integral-extension-module の 3 ⇒ 1 により $d$ は $A$ 上整である。$A$ の元は整なので $A\subset A'$、とくに $1\in A'$ である。$\square$

$c\in C$ とし、$c^n+\beta_{n-1}c^{n-1}+\cdots+\beta_0=0$（$\beta_i\in B$、$n\ge1$）とする。$B':=A[\beta_0,\dots,\beta_{n-1}]$ とおくと、各 $\beta_i$ は $A$ 上整なので、cor-integral-extension-finite の 1 により $B'$ は $A$ 上有限である。$c$ は $B'$ 上整なので、thm-integral-extension-module の 1 ⇒ 2 により $B'[c]$ は $B'$ 上有限である。lem-integral-extension-finite-tower により $B'[c]$ は $A$ 上有限な部分環で $A[c]$ を含むので、thm-integral-extension-module の 3 ⇒ 1 により $c$ は $A$ 上整である。$\square$

$b\in B$ が $A'$ 上整なら、$A\subset A'\subset A'[b]$ において $A'$ は $A$ 上整、$A'[b]$ は $A'$ 上整（cor-integral-extension-finite の 2 と thm-integral-extension-module の 1 ⇒ 2）なので、prop-integral-extension-transitive により $b$ は $A$ 上整であり、$b\in A'$ である。$\square$

1：$A\to B\to B/J$ の核は $J\cap A=I$ なので、$A/I\to B/J$ は単射である。$b\in B$ が $b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0$（$a_i\in A$）を満たせば、$J$ を法として還元した等式により $b+J$ は $A/I$ 上整である。
2：$a/s\in S^{-1}A$ の像が $S^{-1}B$ で $0$ なら、ある $t\in S$ で $B$ において $ta=0$ であり、$ta\in A$ なので $A$ においても $ta=0$、すなわち $S^{-1}A$ で $a/s=0$ である。$b/s\in S^{-1}B$（$b\in B$、$s\in S$）について、$b$ の整従属関係 $b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0$ を $s^n$ で割ると
$$ \Bigl(\frac bs\Bigr)^n+\frac{a_{n-1}}{s}\Bigl(\frac bs\Bigr)^{n-1}+\cdots+\frac{a_0}{s^n}=0 $$
となり、係数は $S^{-1}A$ の元なので、$b/s$ は $S^{-1}A$ 上整である。$\square$

$A$ が体であるとし、$b\in B$、$b\neq0$ とする。$b$ の整従属関係のうち次数 $n$ が最小のもの $b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_1b+a_0=0$ をとる。$a_0=0$ とすると、$n=1$ なら $b=0$ となって矛盾し、$n\ge2$ なら $b\bigl(b^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+\cdots+a_1\bigr)=0$ で $B$ は整域なので $b^{n-1}+\cdots+a_1=0$ となり、$n$ の最小性に反する。よって $a_0\neq0$ であり、$A$ は体なので
$$ b\cdot\Bigl(-a_0^{-1}\bigl(b^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+\cdots+a_1\bigr)\Bigr)=1 $$
により $b$ は $B$ で可逆である。
逆に $B$ が体であるとし、$a\in A$、$a\neq0$ とする。$a^{-1}\in B$ は $A$ 上整なので、$a^{-m}+c_{m-1}a^{-m+1}+\cdots+c_0=0$（$c_i\in A$、$m\ge1$）と書ける。両辺に $a^{m-1}$ を掛けると
$$ a^{-1}=-\bigl(c_{m-1}+c_{m-2}a+\cdots+c_0a^{m-1}\bigr)\in A $$
となるので、$a$ は $A$ で可逆である。$B\neq0$ なので $A\neq0$ であり、$A$ は体である。$\square$

prop-integral-extension-quotient-localization の 1 により $A/\mathfrak{p}\subset B/\mathfrak{q}$ は整拡大であり、$B/\mathfrak{q}$ は整域である。prop-integral-extension-field により、$B/\mathfrak{q}$ が体であることと $A/\mathfrak{p}$ が体であることは同値である。イデアルが極大であることは剰余環が体であることと同値なので（極大イデアル）、主張が従う。$\square$

1：$S=A\setminus\mathfrak{p}$ とする。prop-integral-extension-quotient-localization の 2 により $A_{\mathfrak{p}}\subset B_{\mathfrak{p}}$ は整拡大である。$0\in\mathfrak{p}$ なので $0\notin S$ であり、$A_{\mathfrak{p}}\neq0$、したがって $B_{\mathfrak{p}}\neq0$ である。$B_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ をとる（極大イデアルの存在）。cor-integral-extension-maximal により $\mathfrak{n}\cap A_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルなので、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ に等しい。$\beta\colon B\to B_{\mathfrak{p}}$ による $\mathfrak{n}$ の逆像を $\mathfrak{q}$ とすると、$\mathfrak{q}$ は $B$ の素イデアルである。$A\to B\to B_{\mathfrak{p}}$ と $A\to A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{p}}$ は同じ写像 $a\mapsto a/1$ なので、$\mathfrak{q}\cap A$ は $A\to A_{\mathfrak{p}}$ による $\mathfrak{n}\cap A_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の逆像であり、$\mathfrak{p}$ に等しい。
2：$\mathfrak{p}:=\mathfrak{q}\cap A$、$S=A\setminus\mathfrak{p}$ とする。$\mathfrak{q}\cap S$ と $\mathfrak{q}'\cap S$ はどちらも $\mathfrak{p}\cap S=\emptyset$ に等しいので、$\mathfrak{n}:=S^{-1}\mathfrak{q}\subset\mathfrak{n}':=S^{-1}\mathfrak{q}'$ は $B_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルで、その $B$ への逆像はそれぞれ $\mathfrak{q},\mathfrak{q}'$ である。$A\to A_{\mathfrak{p}}\to B_{\mathfrak{p}}$ は $A\to B\to B_{\mathfrak{p}}$ と同じ写像なので、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアル $\mathfrak{n}\cap A_{\mathfrak{p}}$ の $A$ への逆像は $\mathfrak{q}\cap A=\mathfrak{p}$ である。$A_{\mathfrak{p}}$ についての素イデアルの対応により $\mathfrak{n}\cap A_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ であり、これは極大である。cor-integral-extension-maximal により $\mathfrak{n}$ は $B_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルであり、真のイデアル $\mathfrak{n}'$ に含まれるので $\mathfrak{n}=\mathfrak{n}'$ である。逆像をとって $\mathfrak{q}=\mathfrak{q}'$ を得る。
3：prop-integral-extension-quotient-localization の 1 により $\bar A:=A/\mathfrak{p}\subset\bar B:=B/\mathfrak{q}$ は整拡大である。$\mathfrak{p}'/\mathfrak{p}$ は $\bar A$ の素イデアルなので、1 により $\bar{\mathfrak{q}}'\cap\bar A=\mathfrak{p}'/\mathfrak{p}$ を満たす $\bar B$ の素イデアル $\bar{\mathfrak{q}}'$ がある。$\bar{\mathfrak{q}}'$ の $B$ への逆像 $\mathfrak{q}'$ は $\mathfrak{q}$ を含む素イデアルであり、$\mathfrak{q}'\cap A$ は $A\to\bar A$ による $\mathfrak{p}'/\mathfrak{p}$ の逆像 $\mathfrak{p}'$ に等しい。$\square$

$B$ の素イデアルの真の増加列 $\mathfrak{q}_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{q}_n$ をとり、$\mathfrak{p}_i:=\mathfrak{q}_i\cap A$ とおく。$\mathfrak{p}_i$ は $A$ の素イデアルで $\mathfrak{p}_0\subset\cdots\subset\mathfrak{p}_n$ であり、$\mathfrak{p}_i=\mathfrak{p}_{i+1}$ なら thm-integral-extension-lying-over の 2 により $\mathfrak{q}_i=\mathfrak{q}_{i+1}$ となるので、包含はすべて真である。よって $\dim A\ge\dim B$ である。
逆に $A$ の素イデアルの真の増加列 $\mathfrak{p}_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{p}_n$ をとる。同じ定理の 1 により $\mathfrak{q}_0\cap A=\mathfrak{p}_0$ となる $\mathfrak{q}_0$ があり、3 を繰り返し使って $\mathfrak{q}_0\subset\mathfrak{q}_1\subset\cdots\subset\mathfrak{q}_n$、$\mathfrak{q}_i\cap A=\mathfrak{p}_i$ となる素イデアルの列が得られる。$\mathfrak{q}_i$ の縮約は相異なるので包含はすべて真であり、$\dim B\ge\dim A$ である。$\square$