正則埋め込みの余接複体

同義語：cotangent complex of a regular immersion

概要

前提知識: 余接複体, 正則列, Koszul複体, 素朴余接複体

環 $Q$ をイデアル $I$ で割った $B=Q/I$ について、余接複体 $L_{B/Q}$ の低い次数はいつも簡単である。$Q\to B$ は全射なので Kähler 微分 $\Omega_{B/Q}$ は零であり、次数 $1$ のホモロジーは余法加群 $I/I^2$ になる。次数 $2$ 以上は、この二つの計算からは分からない。
この記事では、$I$ が正則列 $f_1,\ldots,f_c$ で生成されるとき（幾何学的には部分スキームが正則埋め込みのとき）、高い次数がすべて消えて
$$ L_{B/Q}\simeq(I/I^2)[1],\qquad I/I^2\cong B^c $$
となることを証明する。証明では、方程式 $f_j$ を一つずつ「殺す」いちばん小さい単体的な自由分解を書き下し、それが本当に分解であることを Koszul 複体で確かめる。

記号と余接複体の約束

環は単位元をもつ可換環とする。$[n]=\{0,1,\ldots,n\}$（通常の順序）とし、$\Delta^1_n$ を単調写像 $\alpha\colon[n]\to[1]$ の集合とする。その元は定値写像 $c_0$（値 $0$）、$c_1$（値 $1$）と、全射 $n$ 個からなる。全射の集合を $S_n$ と書く。顔写像と退化写像は合成 $\alpha\mapsto\alpha\delta_i$、$\alpha\mapsto\alpha\sigma_i$ で与えられる（$\delta_i\colon[n-1]\to[n]$ は $i$ を飛ばす単射、$\sigma_i\colon[n+1]\to[n]$ は $i$ を二重にする全射）。
環写像 $Q\to B$ の余接複体は、余接複体の約束に従い、許容される解像 $P\to B$（標準解像、または自由セルを次元順に付けた単体的な多項式 $Q$ 代数で増大 Moore 複体が完全なもの）から
$$ L_{B/Q}=N(\Omega_{P/Q}\otimes_PB) $$
として作る。$N$ は正規化（正の顔の核の交わり、微分は $d_0$）である。どの許容される解像を使っても鎖ホモトピー同値になる（余接複体の定理「許容される解像に関する独立性」）。許容される解像には、自由セルを次元順に付けて作るもの（自由セル解像）が含まれる（同じ記事の節「自由セル解像と境界の持ち上げ」）。

方程式を殺す一次のセル

元 $f_1,\ldots,f_c\in Q$ を固定する。各 $j$ について、顔 $(d_0,d_1)=(f_j,0)$ をもつ次数 $1$ の自由セルを定値単体環 $Q$ に付けたものを $P=P(f)$ と書く。具体的には次のとおりである。

方程式を殺す単体環

各 $n\ge0$ について、変数 $x_{j,\alpha}$（$1\le j\le c$、$\alpha\in S_n$）の多項式環
$$ P_n=Q[x_{j,\alpha}] $$
を置く。記号を補って $x_{j,c_1}=f_j$、$x_{j,c_0}=0$ と書き、顔写像と退化写像を
$$ d_i(x_{j,\alpha})=x_{j,\alpha\delta_i},\qquad s_i(x_{j,\alpha})=x_{j,\alpha\sigma_i} $$
で定まる $Q$ 代数の写像とする。増大 $P_0=Q\to B=Q/(f_1,\ldots,f_c)$ は自然な全射である。

単体恒等式は $\Delta^1$ の単体恒等式から従う（写像の合成で定めたため）。$n=1$ では $S_1=\{\mathrm{id}\}$ で $P_1=Q[x_1,\ldots,x_c]$（$x_j=x_{j,\mathrm{id}}$）、顔は $d_0x_j=f_j$、$d_1x_j=0$ である。つまり $P_1$ の変数 $x_j$ は「$f_j$ と $0$ をつなぐ道」であり、$f_j$ を $B$ で零にする理由を記録している。
$P$ が $B$ の解像であるためには、高い次数で新しい関係が生まれないことが必要で、それを保証するのが正則列の条件である。まず普遍的な場合を見る。$\mathbb Z[\boldsymbol t]=\mathbb Z[t_1,\ldots,t_c]$ の元 $t_1,\ldots,t_c$ について同じ構成をしたものを $W=P(\boldsymbol t)$ とする。

普遍的な場合の可縮性

$W$ の増大 Moore 複体 $N(W)\to\mathbb Z$（$t_j\mapsto0$）は完全である。各 $N_n(W)$ は射影的な $\mathbb Z[\boldsymbol t]$ 加群であり、従って $N(W)$ は $\mathbb Z=\mathbb Z[\boldsymbol t]/(\boldsymbol t)$ の射影分解である。

$W$ を点付き単体集合から作る。 $X$ を、$\Delta^1$ の $c$ 個のコピーを頂点 $0$ で貼り合わせた単体集合とし、貼った点（各次数の定値 $c_0$）を基点とする。点付き集合 $T$ に、基点以外の元を変数とする多項式環 $\mathbb Z[T]$（基点は $0$ に送る）を対応させると、点付き写像は環の写像を与える。各次数にこれを施すと $W=\mathbb Z[X]$ である。$\alpha=c_1$ の変数が $t_j$ にあたる。
可縮性。 $H\colon\Delta^1\times\Delta^1\to\Delta^1$ を $H(\alpha,\beta)=\min(\alpha,\beta)$（値ごとの最小）と置くと単体写像であり、$H(\cdot,c_1)$ は恒等写像、$H(\cdot,c_0)$ は定値 $c_0$ への写像で、$H(c_0,\beta)=c_0$ である。各コピーに $H$ を使うと、基点を保つ単体写像 $X\times\Delta^1\to X$ が得られる。各 $\beta\in\Delta^1_n$ について $\mathbb Z[H(\cdot,\beta)]\colon W_n\to W_n$ を $\beta$ の成分とする写像 $\bigoplus_{\beta\in\Delta^1_n}W_n\to W_n$ は、$H$ が単体写像であることから、Abel 群の単体対象 $W\times\Delta[1]$（次数 $n$ で $W_n$ を $\Delta^1_n$ で添字付けた直和）から $W$ への単体写像であり、$\beta=c_1$ と $\beta=c_0$ の成分はそれぞれ恒等写像と $W\to\mathbb Z\to W$ である。Abel 圏の場合の Wei94 Theorem 8.3.12 により、これは Definition 8.3.11 の恒等式を満たす写像の族 $h_i\colon W_n\to W_{n+1}$ で表される。こうして $W$ 上の恒等写像と、$W\to\mathbb Z\to W$（すべての変数と $t_j$ を $0$ に送る）の間の単体ホモトピーを得る。Wei94 Lemma 8.3.13 により両者は $N(W)$ 上で鎖ホモトピックであり、$N(W)$ は $\mathbb Z$ を次数 $0$ に置いた複体と鎖ホモトピー同値である。従って増大 $N(W)\to\mathbb Z$ は完全である。
射影性。 顔と退化は $t_j$（定値 $c_1$ の変数）を保つので $\mathbb Z[\boldsymbol t]$ 線形であり、各 $W_n$ は単項式を基底とする自由 $\mathbb Z[\boldsymbol t]$ 加群である。$N_n(W)$ は顔と退化の合成でできる冪等写像の像として $W_n$ の直和因子なので（余接複体の補題「正規化は射影項を保つ」と同じ議論）、射影的である。$\square$

セルの単体環が解像になる条件

$f_1,\ldots,f_c$ が $Q$ 正則列なら、$P(f)\to B$ の増大 Moore 複体は完全である。従って $P(f)$ は $B$ の許容される自由セル解像である。

$t_j\mapsto f_j$ で $Q$ を $\mathbb Z[\boldsymbol t]$ 代数とみると、定義から各次数で $P_n=Q\otimes_{\mathbb Z[\boldsymbol t]}W_n$ であり、顔と退化もテンソルで対応する。正規化は冪等写像の像なのでテンソルと交換し（余接複体の補題「正規化は射影項を保つ」）、
$$ N(P)=Q\otimes_{\mathbb Z[\boldsymbol t]}N(W) $$
である。lem-crci-universal により右辺のホモロジーは $\operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z[\boldsymbol t]}(Q,\mathbb Z)$ であり、Tor は射影分解の選び方にも、どちらの変数を分解するかにもよらない（Tor関手の命題「比較写像とホモトピー」「平衡性」）。
別の分解として Koszul 複体 $K(\boldsymbol t;\mathbb Z[\boldsymbol t])\to\mathbb Z$ を使う。$t_i$ は $\mathbb Z[\boldsymbol t]/(t_1,\ldots,t_{i-1})=\mathbb Z[t_i,\ldots,t_c]$ の非零因子で最後の商は $\mathbb Z\ne0$ だから、$\boldsymbol t$ は正則列であり、Koszul 複体は分解である（Koszul複体の定理「正則列のKoszulホモロジー」）。$Q$ とテンソルすると $K(f;Q)$ になり、$f$ が $Q$ 正則列なので正の次数のホモロジーは零、次数 $0$ は $Q/(f)=B$ である。従って $N(P)$ の正の次数のホモロジーは零で、$H_0(N(P))=B$ は増大 $Q\to B$ が誘導する。$P$ は一次のセルを次元順に付けた形なので、許容される自由セル解像である。$\square$

主定理

正則埋め込みの余接複体

環 $Q$ のイデアル $I$ が $Q$ 正則列 $f_1,\ldots,f_c$ で生成されるとし、$B=Q/I$ と置く。このとき
$$ L_{B/Q}\simeq(I/I^2)[1] $$
であり、$I/I^2$ は $f_1,\ldots,f_c$ の類を基底とする階数 $c$ の自由 $B$ 加群である。すなわち $H_1(L_{B/Q})\cong I/I^2$ で、それ以外の次数のホモロジーは零である。

prop-crci-resolution の解像 $P=P(f)$ で計算する。$P_n$ は $x_{j,\alpha}$（$\alpha\in S_n$）を変数とする $Q$ 上の多項式環なので、$\Omega_{P_n/Q}$ は $dx_{j,\alpha}$ を基底とする自由加群であり、
$$ E_n=\Omega_{P_n/Q}\otimes_{P_n}B=\bigoplus_{j,\ \alpha\in S_n}B\,dx_{j,\alpha} $$
である。顔 $d_i$ は $dx_{j,\alpha}$ を $d(d_ix_{j,\alpha})$ に送る。$\alpha\delta_i$ が全射ならこれは $dx_{j,\alpha\delta_i}$ である。全射でなければ $d_ix_{j,\alpha}$ は $f_j$ か $0$ で、どちらも $Q$ の元なので $\Omega_{P/Q}$ では微分が $0$ になる。退化は $dx_{j,\alpha}\mapsto dx_{j,\alpha\sigma_i}$ である。こうして $E$ は $f$ に依存しない単体 $B$ 加群になる。
$E_n=N_n(E)\oplus D_n(E)$（$D_n$ は退化の像の和）と分かれ、$N(E)$ は商複体 $E/D(E)$ と同型である（余接複体の節「退化部分を除いてよい理由」）。$E_n/D_n(E)$ の基底は、退化でない全射 $\alpha\in S_n$ に対応する $dx_{j,\alpha}$ である。全射 $\alpha\colon[n]\to[1]$ は、$n\ge2$ なら隣り合う二点 $i,i+1$ で同じ値をとるので $\alpha=\alpha'\sigma_i$ と退化であり、$n=1$ の $\alpha=\mathrm{id}$ だけが退化でない。$S_0$ は空である。従って
$$ L_{B/Q}=N(E)\cong B^c\ \text{（次数 }1\text{ だけ）} $$
であり、微分は零である。実際、次数 $1$ では $d_1(dx_{j,\mathrm{id}})=d(x_{j,c_0})=0$ なので $N_1(E)=E_1=\bigoplus_jB\,dx_{j,\mathrm{id}}$ である。
次数 $1$ のホモロジーは、どの環写像でも余法加群で表される。全射 $Q\to B$ を変数のない提示とみると、二項の複体は $I/I^2\to0$ であり、素朴余接複体の定理「二項表示の比較」と補題「低次数の直接計算」により $H_1(L_{B/Q})\cong I/I^2$ である。$I/I^2$ が $f_j$ の類を基底とする自由加群であることは正則埋め込みの補題「正則列の余法加群」による。以上で $L_{B/Q}\simeq B^c[1]\cong(I/I^2)[1]$ を得る。$\square$

鍵は二つある。$E$ の計算では方程式 $f_j$ が $Q$ の元なので微分で消え、$E$ はどんな $f$ でも同じ「円周」の形になる。一方、$P$ が解像であるかどうかには $f$ が効き、そこで正則列の条件（Koszul 複体の完全性）が使われる。

係数付きのホモロジーとコホモロジー

thm-crci-main の状況で、任意の $B$ 加群 $M$ について
$$ H_n(L_{B/Q}\otimes_B^{\mathbf L}M)\cong\begin{cases}M^c&n=1\\0&n\ne1\end{cases},\qquad H^n(\mathbf R\operatorname{Hom}_B(L_{B/Q},M))\cong\begin{cases}\operatorname{Hom}_B(I/I^2,M)&n=1\\0&n\ne1\end{cases} $$
である。

$N(E)$ は次数 $1$ に自由加群 $B^c$ を一つ置いた複体なので、導来テンソルと導来 Hom は普通のテンソルと Hom で計算でき（余接複体の節「次数と係数を先に決める」）、主張の値になる。$\square$

次数 $0$ のコホモロジーは導分 $\operatorname{Der}_Q(B,M)=0$、次数 $1$ は $B$ の $M$ による $Q$ 上の平方零拡大の同型類にあたる（素朴余接複体の定理「平方零拡大の分類」）。正則列で切った環では、拡大は $\operatorname{Hom}_B(I/I^2,M)\cong M^c$ で分類され、次数 $2$ 以上のコホモロジーは零である。

例

一つの方程式

$c=1$、$f\in Q$ が非零因子で $Q/fQ\ne0$ のとき、$P_n=Q[x_{\alpha}:\alpha\in S_n]$ は $n$ 変数の多項式環である。$n=1$ では $P_1=Q[v]$（$v=x_{\mathrm{id}}$）、$d_0v=f$、$d_1v=0$ である。$n=2$ では全射 $\alpha=(0,0,1)$ と $(0,1,1)$（値を並べた）に変数 $u,w$ が対応し、
$$ d_0u=v,\ d_1u=v,\ d_2u=0,\qquad d_0w=f,\ d_1w=v,\ d_2w=v $$
である。$N_1(P)=\ker d_1=vQ[v]$ の $d_0$ による像は $fQ$ なので、増大 Moore 複体の次数 $0$ の完全性は $H_0=Q/fQ=B$ を与える。次数 $1$ 以上の完全性が prop-crci-resolution の内容であり、そこで $f$ が非零因子であることを使う。例えば $Q=k[\![x,y]\!]$、$f=xy$ なら $B$ は二直線の交わりの局所環で、$L_{B/Q}\simeq B[1]$、余法加群は $xy$ の類で生成される。

方程式を重ねても階数は正則列の長さ

$Q=k[x]$、$f_1=f_2=x$ とする。列 $x,x$ は正則列でない（$Q/(x)=k$ で $x$ は零）。$I=(x)$ は正則列 $x$ だけで生成されるので、thm-crci-main から $L_{B/Q}\simeq B[1]$（$B=k$）で、$I/I^2\cong k$ は階数 $1$ である。方程式の個数 $2$ ではない。このとき二つのセルで作った $P(x,x)$ は解像にならない。実際 $N(P(x,x))$ の次数 $1$ のホモロジーは $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z[t_1,t_2]}(Q,\mathbb Z)=H_1(x,x;Q)\cong Q/(x)=k$ で、零でない。

条件を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
各 $f_j$ が前の商の非零因子	$Q=k[x,y]/(xy)$、$f=x$：$x$ は $y$ を殺す零因子。$I=(x)$、$I^2=(x^2)$ で $I/I^2=kx$ には $y$ が零で作用し、$I/I^2\cong B/yB$（$B=k[y]$）は自由でない	$I/I^2$ が自由であること、従って $L_{B/Q}$ が自由加群の $[1]$ であること
生成元の個数でなく正則列の長さで数える	ex-crci-redundant：$(x,x)$ で生成されるが階数は $1$	「階数 $=$ 方程式の個数」
基礎環が $Q$（全射 $Q\to B$）	体 $k$ 上の $B=k[x]/(x^2)$、$k$ の標数が $2$ でない：$\Omega_{B/k}=B\,dx/(2x\,dx)\cong B/xB\ne0$	次数 $1$ への集中（$H_0(L_{B/k})=\Omega_{B/k}\ne0$）

一行目では、$x^a$（$a\ge1$）が $I$ を張り、$x^a$（$a\ge2$）が $I^2$ を張るので $I/I^2$ は $x$ の類だけで張られる $1$ 次元の空間であり、$y\cdot x=0$ である。

補足

一般の局所完全交叉準同型

基礎環を替えて、$A\to B$ が有限型多項式環 $A[y_1,\ldots,y_n]$ から正則列で切った商として表される場合（局所完全交叉準同型の特別な場合）には、$L_{B/A}$ は次数 $0$ と $1$ にだけホモロジーをもつ有限射影加群の複体と同値になる。これは推移の完全三角形を thm-crci-main に当てて得られる。この記事では推移を扱わないので証明しない。所在は StacksLCI（Proposition 92.14.4）である。主定理そのものは StacksRegularQuotient（Lemma 92.14.2）にもあり、そこでは $\mathbb Z[t_1,\ldots,t_c]\to\mathbb Z$ の場合に帰着させ、推移三角と基底変換で示している。