写像望遠鏡

すべての $X_n$ が同じ空間 $X$ で、$f_n=\mathrm{id}_X$ のとき、同一視 $(x,n+1)\sim(x,n+1)$ は区間の端をつなぐだけなので、$\operatorname{Tel}$ は集合として $X\times[0,\infty)$ である。位相も積位相と一致する。$X\times[0,\infty)$ の各点は高々 2 つの閉集合 $X\times[n,n+1]$ にしか属さず、その 2 つの上で開な集合は、その点の近くで積位相の開集合を含むからである。$\operatorname{Tel}$ は $X$ にホモトピー同値であり、thm-tel-homology の帰納極限も $H_k(X;G)$ そのものである。

$n\ge1$ を整数、$p$ を素数とし、写像度 $p$ の写像 $f\colon S^n\to S^n$ をすべての段に置いた列の写像望遠鏡を $\operatorname{Tel}$ とする。このとき
$$ H_n(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[1/p]=\{a/p^m\mid a\in\mathbb{Z},\ m\in\mathbb{N}\},\qquad H_0(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}, $$
それ以外の次数の $H_k(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})$ は $0$ である。
確かめ：$H_k(S^n;\mathbb{Z})$ は $k=0,n$ で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ であり、$f_*$ は $H_0$ では恒等写像、$H_n$ では $p$ 倍である（写像度の定義）。thm-tel-homology により $H_n(\operatorname{Tel})$ は $\mathbb{Z}\xrightarrow{p}\mathbb{Z}\xrightarrow{p}\cdots$ の帰納極限である。$\psi(N,a):=a/p^N$ とおくと、$(N,a)\sim(N+1,pa)$ に対し $pa/p^{N+1}=a/p^N$ なので、$\psi$ は帰納極限から $\mathbb{Z}[1/p]$ への写像として矛盾なく定まり、準同型である。$a/p^m=\psi(m,a)$ なので全射、$\psi(N,a)=0$ なら $a=0$ なので単射である。
各段 $T_N$ は $S^n$ とホモトピー同値で $H_n(T_N)\cong\mathbb{Z}$ なのに、全体の $H_n$ は有限生成でない。このように写像望遠鏡は、与えられた帰納極限をホモロジー群にもつ空間を作る道具になる。$f$ を胞体写像にとれば $\operatorname{Tel}$ は CW 複体であり、$n\ge2$ では cor-tel-homotopy により $\pi_1(\operatorname{Tel})=0$ なので、$\operatorname{Tel}$ は Moore空間 $M(\mathbb{Z}[1/p],n)$ である（Hat02 Example 3F.3, p. 312、Moore空間 の例「有理数の部分群に対する構成」）。
一方、コホモロジーは帰納極限にも射影極限にもならない。$H^n(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})=0$、$H^{n+1}(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})\cong\widehat{\mathbb{Z}}_p/\mathbb{Z}$（$\widehat{\mathbb{Z}}_p$ は $p$ 進整数環）であり、各段にない次数 $n+1$ に非可算な群が現れる（Hat02 Example 3F.9, p. 315、Milnor完全列 の例「次数 $p$ の写像の望遠鏡」）。この記事ではこの計算は証明しない。

$S^0\subset S^1\subset S^2\subset\cdots$ を赤道への包含の列とし（$S^n=S^{n+1}\cap\{x_{n+1}=0\}$）、その写像望遠鏡を $\operatorname{Tel}$ とする。空でないコンパクトな空間 $K$ について $[K,\operatorname{Tel}]$ は 1 点であり、$\operatorname{Tel}$ は弧状連結で、すべての $k\ge1$ について $\pi_k(\operatorname{Tel})=0$、$H_k(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})=0$ である。
確かめ：写像 $a\colon K\to S^N$ を包含で $S^{N+1}$ へ送った写像は北極 $e=(0,\dots,0,1)$ を通らない。$S^{N+1}\setminus\{e\}$ は立体射影で $\mathbb{R}^{N+1}$ と同相で可縮なので、この写像は定値写像にホモトピックである。$K$ が空でなければ定値写像たちはどれも $S^{N+1}$ の中でホモトピックなので（$S^{N+1}$ は弧状連結）、$\varinjlim_N[K,S^N]$ は 1 点であり、thm-tel-maps から $[K,\operatorname{Tel}]$ も 1 点である。$K$ を 1 点とすれば弧状連結性が出る。同じ理由で包含 $S^N\to S^{N+1}$ は $\pi_k$ と $\widetilde{H}_k$ に $0$ を誘導するので、cor-tel-homotopy と thm-tel-homology の帰納極限は $0$ である。
無限次元球面 $S^\infty$ は同じ球面の和に弱位相を入れたもので、可縮である（同記事の定理「無限次元球面の可縮性」）。下の thm-tel-cw により $\operatorname{Tel}$ は $S^\infty$ とホモトピー同値なので、$\operatorname{Tel}$ も可縮である。

1 行目：$\operatorname{Tel}$ の点 $[j,t]$（$j\in X_n$、$t\in[n,n+1]$）を $j$ ごとに集めた集合 $R_j:=\{[j,t]\mid t\ge j\}$ は半直線と同相で、$\operatorname{Tel}$ は $R_0,R_1,\dots$ の非交和である（包含の列では、整数点で同じ $j$ どうしだけがつながる）。$g\colon\mathbb{N}\to\operatorname{Tel}$、$g(j):=[j,j]\in R_j$ は連続である（$\mathbb{N}$ は離散）。$g$ が $\Phi(N,\alpha)$ に属するなら、$g$ はある $\iota_N\circ a$（$a\colon\mathbb{N}\to X_N$）とホモトピックである。ホモトピーで各点の行き先は同じ弧状連結成分にとどまり、$\iota_N\circ a$ の値は $R_0,\dots,R_N$ に入るので、$g(N+1)\in R_{N+1}$ と矛盾する。$K=\mathbb{N}$ はコンパクトでなく、ほかの条件（各 $X_n$ が空間で $f_n$ が連続写像）は満たされている。
2 行目：$X_n$ は閉集合で、$\bigcup_nX_n=\{0\}\cup(0,1]=[0,1]$ である。$X_n$ の弧状連結成分は $\{0\}$ と $[\frac1{n+1},1]$ の 2 つで、包含は成分を成分へ写すので、thm-tel-homology により $H_0(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})\cong\varinjlim(\mathbb{Z}^2\xrightarrow{\mathrm{id}}\mathbb{Z}^2\to\cdots)=\mathbb{Z}^2$ である。一方 $H_0([0,1];\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$ なので、$\mathrm{pr}$ はホモトピー同値でない。$X_n$ が部分複体となる $[0,1]$ の CW 構造はない。そのためには $\frac1{n+1}$ がすべて $0$ 胞体でなければならないが、CW 複体のコンパクト集合 $[0,1]$ は有限個の胞体としか交わらない。
3 行目：ex-tel-degree のとおり $H^{n+1}(\operatorname{Tel};\mathbb{Z})\ne0$ だが、各段は $S^n$ とホモトピー同値で $H^{n+1}(T_N;\mathbb{Z})=0$ なので、各段の $H^{n+1}$ の帰納極限・射影極限はどちらも $0$ である。