関数の連続性と中間値の定理（高校数学）

方程式 $x^3+x-1=0$ を考える。左辺を $f(x)=x^3+x-1$ とおくと
$$ f(0)=0+0-1=-1<0,\qquad f(1)=1+1-1=1>0 $$
である。$y=f(x)$ のグラフは、$x=0$ で $x$ 軸より下、$x=1$ で $x$ 軸より上にある。グラフが途切れずにつながっていれば、途中で $x$ 軸を横切るはずなので、$0< c<1$ の範囲に $f(c)=0$ となる $c$ がある。3 次方程式の解の公式を使わなくても、解が $0$ と $1$ の間にあることが分かる。実際の解は $c=0.6823\ldots$ である（ex-ivh-bisection で小数第 3 位まで追い込む）。

実数 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ と書く（ガウス記号）。たとえば $[0.3]=0$、$[1]=1$、$[1.7]=1$、$[2]=2$ である。$f(x)=[x]$ を区間 $0\le x\le2$ で考えると、$f(0)=0$、$f(2)=2$ で、$\frac12$ は $0$ と $2$ の間の値である。しかし $f$ の値は $0,1,2$ のどれかなので、$f(c)=\frac12$ となる $c$ はない。グラフは $x=1$ で $0$ の高さから $1$ の高さへ跳んでいて（図 3）、$\frac12$ の高さを飛び越えている。

1. $f(x)=x^2$ は $x=3$ で連続である。$x\to3$ のとき $x^2\to3^2=9$ で、$f(3)=9$ と一致する。
2. $f(x)=[x]$（ガウス記号）は $x=1$ で連続でない。$x$ を $1$ より小さい側から近づけると、$0< x<1$ では $[x]=0$ なので $\lim_{x\to1-0}[x]=0$ である。大きい側からでは、$1< x<2$ で $[x]=1$ なので $\lim_{x\to1+0}[x]=1$ である。左右の片側極限が違うので、極限 $\lim_{x\to1}[x]$ は存在しない。条件 (ii) が崩れている。
3. $x\ne1$ で $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$、$x=1$ で $g(1)=0$ と定める。$x\ne1$ では約分して $g(x)=x+1$ なので、$\lim_{x\to1}g(x)=2$ である。極限はあるが $g(1)=0$ と違うので、$g$ は $x=1$ で連続でない。条件 (iii) が崩れている。$g(1)=2$ と定め直せば、$x=1$ で連続になる。

1. 定数関数と $f(x)=x$ は、すべての点で連続である（$\lim_{x\to a}x=a$）。thm-ivh-operations の積と和をくり返し使うと、多項式 $3x^4-2x+5$ などはすべての実数で連続である。
2. 分数関数 $\dfrac{x^2+1}{x-2}$ は、分母が $0$ でない $x\ne2$ のすべての点で連続である（商）。
3. $\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$x>0$ での $\log x$、$x\ge0$ での $\sqrt x$ が連続であることは、高校では認めて使う（この記事でも証明しない）。これと合成から、$\sin(x^2)$ や $e^{-x^2}$、$\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le1$）は定義域で連続である。

$f(x)=x^3+x-1$ とする。区間 $[0,1]$ から始める。$f(0)<0< f(1)$ である。
1 回目。中点は $0.5$ で、$f(0.5)=0.125+0.5-1=-0.375<0$ である。左端と中点はどちらも負なので、符号が変わるのは右半分である。$[0.5,1]$ を残す。
2 回目。中点は $0.75$ で、$f(0.75)=0.421875+0.75-1=0.171875>0$ である。中点と右端はどちらも正なので、左半分 $[0.5,0.75]$ を残す。
以下同じ操作をくり返すと、次の表のようになる。残す区間では、いつも左端で $f<0$、右端で $f>0$ である。

区間の長さは 1 回ごとに半分になるので、11 回後の長さは $\dfrac1{2^{11}}=\dfrac1{2048}$ である。11 回後の区間は $0.68212\ldots\le x\le0.68261\ldots$ で、この区間のどの数も小数第 3 位までは $0.682$ である。解はこの区間に入っているので、小数第 3 位まで $0.682$ と決まる（実際の解は $0.682327\ldots$）。

$f(x)=x^5-3x+1$ とする。多項式なので、すべての実数で連続である（ex-ivh-build）。整数の点での値は
$$ f(-2)=-32+6+1=-25,\quad f(-1)=-1+3+1=3,\quad f(0)=1,\quad f(1)=1-3+1=-1,\quad f(2)=32-6+1=27 $$
である。符号は $-2$ と $-1$ の間、$0$ と $1$ の間、$1$ と $2$ の間で変わる。thm-ivh-ivt を $k=0$ として 3 つの区間 $[-2,-1]$、$[0,1]$、$[1,2]$ にそれぞれ使うと、$f(x)=0$ の解が各区間の内側に 1 つ以上ある。3 つの区間の内側は重ならないので、実数解は少なくとも 3 つある。数値計算では $-1.3888\ldots$、$0.3347\ldots$、$1.2146\ldots$ である。

$x^2=2$ となる正の数 $x$ があることを示す。$f(x)=x^2$ は $[1,2]$ で連続で、$f(1)=1<2<4=f(2)$ である。thm-ivh-ivt により、$c^2=2$、$1< c<2$ となる $c$ がある。これが $\sqrt2$ である。同じ議論で、正の数 $p$ と正の整数 $n$ について $x^n=p$ となる正の数 $x$（$p$ の $n$ 乗根）の存在が示せる。$[0,\ p+1]$ で $f(x)=x^n$ を考えると、$f(0)=0< p$ で、$p+1\ge1$ から $(p+1)^n\ge p+1>p$ だからである。累乗根の存在を指数関数の定義にどう使うかは、指数関数と対数関数はどう定義するか で扱う。

$g(x)=\cos x-x$ とおく。$\cos x$ と $x$ は連続なので、差 $g$ も連続である（thm-ivh-operations）。
$$ g(0)=\cos0-0=1>0,\qquad g(1)=\cos1-1=-0.4596\ldots<0 $$
である（$\cos x=1$ となるのは $x$ が $2\pi$ の整数倍のときだけなので、$\cos1<1$ である）。thm-ivh-ivt により $g(c)=0$、すなわち $\cos c=c$ となる $c$ が $0< c<1$ にある。数値では $c=0.7390\ldots$ である（図 2）。$\cos c=c$ となる $c$ は、関数 $\cos$ で動かない点（不動点）である。漸化式 $a_{n+1}=\cos a_n$ がこの $c$ に近づくことは、縮小写像と漸化式 で扱う。

$f(x)=[x]$ を $[0,2]$ で考える。ex-ivh-start-floor で見たとおり、$f(0)=0<\frac12<2=f(2)$ なのに、$f(c)=\frac12$ となる $c$ はない（図 3）。
破れている仮定は (a) である。ex-ivh-continuity-check の 2 で見たとおり、$f$ は $x=1$ で連続でない（$x=2$ でも、左からの極限 $1$ と $f(2)=2$ が違うので連続でない）。証明のどこが崩れるかを見ると、prf-ivh-ivt の区間の列は $x=1$ に集まり、$f(a_n)=0<\frac12\le1=f(b_n)$ だが、$f(a_n)\to0$ と $f(b_n)\to1$ で行き先が違う。段 4 の「両方とも $f(c)$ に近づく」が使えない。

$f(x)=\dfrac1x$ を、$-1\le x<0$ と $0< x\le1$ を合わせた範囲で考える。$f$ は定義域のどの点でも連続である（分母が $0$ でない点での商）。$f(-1)=-1<0<1=f(1)$ だが、$\dfrac1x=0$ となる $x$ はない（図 4）。
破れている仮定は (b) である。定義域は $x=0$ のところで切れていて、1 つの区間 $[-1,1]$ ではない。二分法を実行しようとすると、最初の中点 $0$ が定義域に入らないので、1 回目から $f(m_1)$ が決まらない。符号が変わる点 $0$ に定義域の点がないので、prf-ivh-ivt の段 3・段 4 のように「区間が集まる点 $c$ で $f$ が連続」とは言えない。

有理数 $x$ で $1\le x\le2$ のものだけを考え、$f(x)=x^2-2$ とする。$f(1)=-1<0<2=f(2)$ である。$f$ は多項式なので、有理数の点だけで考えても def-ivh-continuity の意味で連続である。しかし、$x^2=2$ となる有理数 $x$ はない（$\sqrt2$ が無理数であることは 実数とは何か：無理数の証明 で証明している）。したがって、有理数の範囲には $f(c)=0$ となる $c$ がない。
破れている仮定は (c) である。二分法を実行すると、区間の端はいつも有理数で
$$ [1,2]\to\Bigl[1,\frac32\Bigr]\to\Bigl[\frac54,\frac32\Bigr]\to\Bigl[\frac{11}8,\frac32\Bigr]\to\Bigl[\frac{11}8,\frac{23}{16}\Bigr]\to\Bigl[\frac{45}{32},\frac{23}{16}\Bigr]\to\cdots $$
となる（中点の 2 乗が $2$ より小さければ右半分、大きければ左半分を残す）。左端の列は増加して $2$ 以下なので上に有界だが、その極限 $\sqrt2=1.41421\ldots$ は有理数ではない。有理数だけの世界では、lem-ivh-nested の「両端の列が収束する」が成り立たない。崩れているのは rem-ivh-facts の 4（実数の連続性）である。