射影次元定理

整域であること：要点は、$D$ の元を $A$ の側の各点で値をとって $B$ の元とみなし、$B$ が整域であることと $A$ の点の集合が既約であることを組み合わせることである。

$A:=R/\mathfrak p$、$B:=R/\mathfrak q$、$D:=A\otimes_kB$ とする。lem-pdt-tensor により $D$ は整域で、$\dim D=a+b$ である。$x_i$ の $A$、$B$ での像も $x_i$ と書き、$\delta_i:=x_i\otimes1-1\otimes x_i\in D$（$i=1,\dots,m$）とおく。
段 1：$D/(\delta_1,\dots,\delta_m)\cong R/(\mathfrak p+\mathfrak q)$。 掛け算 $A\otimes_kB\to R/(\mathfrak p+\mathfrak q)$、$\bar f\otimes\bar g\mapsto\overline{fg}$ は well-defined な全射準同型 $\mu$ で、$\mu(\delta_i)=0$ である。逆向きに、$\varphi\colon R\to D/(\delta)$、$x_i\mapsto\overline{x_i\otimes1}$ を考える。$f\in\mathfrak p$ なら $\varphi(f)=\overline{f\otimes1}=0$ である。$f\in\mathfrak q$ なら、$x_i\otimes1\equiv1\otimes x_i$ を使って $\varphi(f)=\overline{1\otimes f}=0$ である。よって $\varphi$ は $\bar\varphi\colon R/(\mathfrak p+\mathfrak q)\to D/(\delta)$ を与える。$D$ は $x_i\otimes1$ と $1\otimes x_i$ で生成され、$1\otimes x_i\equiv x_i\otimes1$ なので $\bar\varphi$ は全射であり、$\bar\mu\circ\bar\varphi=\mathrm{id}$ なので単射でもある。
段 2：高さの上界。 段 1 の同型により、$R$ の素イデアルで $\mathfrak p+\mathfrak q$ の上で極小なもの $\mathfrak P$ は、$D$ の素イデアルで $(\delta_1,\dots,\delta_m)$ の上で極小なもの $\mathfrak P'$ に対応し、$R/\mathfrak P\cong D/\mathfrak P'$ である。$D$ は Noether 環なので、Krullの主イデアル定理 の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}\mathfrak P'\le m$ である。
段 3：結論。 $D$ は体上有限生成な整域なので、Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 3 により
$$ \dim R/\mathfrak P=\dim D/\mathfrak P'=\dim D-\operatorname{ht}\mathfrak P'\ \ge\ a+b-m $$
である。$\square$

3：$\mathfrak P$ を $J$ の上の極小素イデアルとし、$\mathfrak P$ に属する斉次元が生成するイデアルを $\mathfrak P^*$ とする。$\mathfrak P^*$ は斉次イデアルで、$1\notin\mathfrak P^*$ である。斉次元 $f,g$ が $fg\in\mathfrak P^*\subset\mathfrak P$ を満たせば $f\in\mathfrak P$ または $g\in\mathfrak P$ であり、斉次なのでそれは $\mathfrak P^*$ に属する。斉次イデアル の定理「斉次元だけによる素性判定」により $\mathfrak P^*$ は素イデアルである。$J$ は斉次元で生成され、それらは $\mathfrak P$ に属するので $J\subset\mathfrak P^*\subset\mathfrak P$ であり、極小性から $\mathfrak P=\mathfrak P^*$ は斉次である。
2：$I_+(W)$ は斉次素イデアルで $J$ を含み、$W\ne\emptyset$ なので $S_+$ を含まない（射影多様体 の定理「射影零点定理」の 1）。極小素イデアル の定理「極小素イデアルの存在」により、$J\subset\mathfrak P\subset I_+(W)$ を満たす $J$ の上の極小素イデアル $\mathfrak P$ があり、3 により $\mathfrak P$ は斉次である。$\mathfrak P\subset I_+(W)\not\supset S_+$ なので $S_+\not\subset\mathfrak P$ であり、射影零点定理により $V_+(\mathfrak P)\ne\emptyset$、$I_+(V_+(\mathfrak P))=\sqrt{\mathfrak P}=\mathfrak P$ である。$V_+(\mathfrak P)$ は既約である（閉集合 $X_1,X_2$ の和なら $\mathfrak P=I_+(X_1)\cap I_+(X_2)\supset I_+(X_1)I_+(X_2)$ なので、$\mathfrak P$ はたとえば $I_+(X_1)$ を含み、$V_+(\mathfrak P)\subset V_+(I_+(X_1))=X_1$ となる）。$W=V_+(I_+(W))\subset V_+(\mathfrak P)\subset V_+(J)$ と $W$ の極大性から $W=V_+(\mathfrak P)$ で、$I_+(W)=\mathfrak P$ である。
1：2 と同じ議論を、$V$、$I$ と Hilbertの零点定理 で行えばよい（$W\ne\emptyset$ から $I(W)\ne k[x_1,\dots,x_m]$）。$\square$

$Y\cap Z=V(I(Y))\cap V(I(Z))=V(I(Y)+I(Z))$ である。lem-pdt-components の 1 により $I(W)$ は $I(Y)+I(Z)$ の上の極小素イデアルなので、lem-pdt-core を $\mathfrak p=I(Y)$、$\mathfrak q=I(Z)$ に当てて $\dim W=\dim A(W)\ge r+s-m$ を得る。$\square$

$W$ を既約成分とする。lem-pdt-components の 1 を $J=I(Y)+(f)$ に当てると、$I(W)$ は $J$ の上の極小素イデアルであり、$A(Y)$ の素イデアル $\mathfrak P:=I(W)/I(Y)$ は主イデアル $(\bar f)$ の上で極小である。Krullの主イデアル定理 の定理「Krullの一般高さ定理」により $\operatorname{ht}\mathfrak P\le1$ であり、$Y\not\subset V(f)$ から $\bar f\ne0$ なので $\mathfrak P\ne0$、整域 $A(Y)$ の中で $\operatorname{ht}\mathfrak P\ge1$ である。Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 3 により $\dim W=\dim A(Y)/\mathfrak P=r-1$ である。$\square$

$J:=I_+(Y)+I_+(Z)$ とおく。$Y,Z$ は閉集合なので $Y\cap Z=V_+(I_+(Y))\cap V_+(I_+(Z))=V_+(J)$ である。$S/I_+(Y)$、$S/I_+(Z)$ の次元は $r+1$、$s+1$ である。
1：$W$ を $Y\cap Z$ の既約成分とする。lem-pdt-components の 2 により $I_+(W)$ は $J$ の上の極小素イデアルであり、lem-pdt-core を $R=S$、$m=n+1$、$\mathfrak p=I_+(Y)$、$\mathfrak q=I_+(Z)$ に当てると
$$ \dim W+1=\dim S/I_+(W)\ \ge\ (r+1)+(s+1)-(n+1)=r+s-n+1 $$
である。よって $\dim W\ge r+s-n$ である。
2：$Y,Z$ は空でないので $I_+(Y)$、$I_+(Z)$ は定数でない斉次元で生成され、$J\subset S_+$ である。$S_+$ は素イデアル（$S/S_+\cong k$）なので、極小素イデアル の定理「極小素イデアルの存在」により、$J\subset\mathfrak P\subset S_+$ を満たす $J$ の上の極小素イデアル $\mathfrak P$ がある。lem-pdt-core により
$$ \dim S/\mathfrak P\ \ge\ r+s-n+1\ \ge\ 1 $$
であり、$\dim S/S_+=0$ なので $\mathfrak P\ne S_+$、したがって $S_+\not\subset\mathfrak P$ である。lem-pdt-components の 3 により $\mathfrak P$ は斉次で、射影多様体 の定理「射影零点定理」の 1 により $V_+(\mathfrak P)\ne\emptyset$ である。$V_+(\mathfrak P)\subset V_+(J)=Y\cap Z$ なので、$Y\cap Z\ne\emptyset$ である。$\square$

$F=cG_1^{e_1}\cdots G_l^{e_l}$ を既約分解すると、因子 $G_i$ は斉次で（超曲面 の定理「超曲面の既約成分と次元」の後の段落）、$H=V_+(G_1)\cup\dots\cup V_+(G_l)$、各 $V_+(G_i)$ は $n-1$ 次元の射影多様体である（$(G_i)$ は $S_+$ を含まない高さ $1$ の斉次素イデアルで（超曲面 の定理「超曲面の既約成分と次元」の (R2) と同じ議論）、Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 3 により $\dim S/(G_i)=(n+1)-1=n$）。
1：thm-pdt-main の 2 を $Y$ と $V_+(G_1)$ に当てる（$r+(n-1)\ge n$）。
2：$W$ を $Y\cap H$ の既約成分とすると、$W$ は既約なのである $Y\cap V_+(G_i)$ に含まれ、その既約成分でもある（$Y\cap V_+(G_i)\subset Y\cap H$ の既約閉集合で $W$ を含むものは $W$ に等しい）。thm-pdt-main の 1 により $\dim W\ge r-1$ である。一方 lem-pdt-components の 2 により $I_+(W)$ は $J=I_+(Y)+(F)$ の上の極小素イデアルで、$Y\not\subset H$ から $I_+(W)\ne I_+(Y)$ である。$S(Y)$ の中で $I_+(W)/I_+(Y)\ne0$ の高さは $1$ 以上なので、Krull次元 の定理「体上有限生成な環の次元」の 3 により $\dim S/I_+(W)\le\dim S(Y)-1$、すなわち $\dim W\le r-1$ である。
3：$0\le t\le r$ について、「$Y\cap H_1\cap\dots\cap H_t$ は $r-t$ 次元以上の射影多様体を含む」ことを $t$ についての帰納法で示す。$t=0$ なら $Y$ 自身をとればよい。$1\le t\le r$ とし、$Y\cap H_1\cap\dots\cap H_{t-1}$ に含まれる射影多様体 $W$ で $\dim W\ge r-t+1\ge1$ のものをとる。$H_t$ の定義式の既約な因子 $G$ を 1 つとると、$V_+(G)$ は $n-1$ 次元の射影多様体で、$\dim W+(n-1)\ge n$ なので、thm-pdt-main の 2 により $W\cap V_+(G)\ne\emptyset$ である。その既約成分 $W'$ をとると（既約成分 の定理「既約成分による被覆」）、thm-pdt-main の 1 により $\dim W'\ge\dim W-1\ge r-t$ であり、$W'\subset Y\cap H_1\cap\dots\cap H_t$ である。$t=r$ の場合が主張である。後半は $Y=\mathbb{P}^n$（$r=n$）、$H_i=V_+(F_i)$ の場合である。$\square$