法束

枠であること． $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}(u)=(u,0)$ を微分すると、$df_x$ は $\varphi$ の座標ベクトル $\partial/\partial u^i$ を $\partial/\partial x^i|_{f(x)}$ に写す。よって $df_x(T_xM)$ は $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^m$ の張る空間で、$T_{f(x)}N$ の基底の残り $\partial/\partial y^b$ の類 $[\partial/\partial y^b]$ は $\nu_x$ の基底である。したがって $\Phi_U$ は全単射で、各ファイバーの上で線形同型である。
推移関数． 同じ形の別の組 $(U',\varphi')$、$(V',\psi')$、$\psi'=(x'^1,\dots,x'^m,y'^1,\dots,y'^r)$ をとり、$x\in U\cap U'$ とする。座標変換 $h:=\psi'\circ\psi^{-1}$ は $\psi(f(x))$ の近くで定まり、$x$ の近くの $x''$ について $h(\varphi(x''),0)=\psi'(f(x''))=(\varphi'(x''),0)$ なので、$u$ が $\varphi(x)$ の近くを動くとき $y'(u,0)=0$ である。$u$ で微分すると $\partial y'^a/\partial x^i=0$ が $(u,0)$ で成り立つので、
$$ \frac{\partial}{\partial y^b}=\sum_i\frac{\partial x'^i}{\partial y^b}\frac{\partial}{\partial x'^i}+\sum_aC_{ab}\frac{\partial}{\partial y'^a},\qquad C_{ab}:=\frac{\partial y'^a}{\partial y^b}(\varphi(x),0) $$
の第 1 項は $df_x(T_xM)$ に入り、$\nu_x$ では $[\partial/\partial y^b]=\sum_aC_{ab}[\partial/\partial y'^a]$ となる。$h$ の Jacobi 行列は $(u,0)$ で左下のブロックが $0$ の区分け三角行列で正則なので、右下のブロック $C=(C_{ab})$ も正則である。よって $\Phi_{U'}\circ\Phi_U^{-1}(x,v)=(x,C(x)v)$ で、$C(x)$ は $x$ について滑らかな $\mathrm{GL}(r,\mathbb{R})$ の値の関数である。
接束 の定理「滑らかなベクトル束の構成」により、$\nu_f$ には、これらの $\Phi_U$ を滑らかな局所自明化とする滑らかなベクトル束の構造がただ 1 つある。$\square$

$x_0$ のまわりで prop-nb-bundle の座標をとる。$U$ の上で $\partial/\partial x^1,\dots,\partial/\partial x^m,\partial/\partial y^1,\dots,\partial/\partial y^r$（点 $f(x)$ での値）は $f^*TN$ の滑らかな局所枠である。この順に Gram–Schmidtの直交化 を各点で施すと、正規直交な局所枠 $e_1,\dots,e_n$ が得られ、成分は内積と元の枠の滑らかな式なので滑らかである（Lee13 Proposition 13.6、p. 330 と同じ議論）。直交化は順に行うので、$e_1,\dots,e_m$ は $\partial/\partial x^i$ の張る空間 $df_x(T_xM)$ を張り、$e_{m+1},\dots,e_n$ はその直交補空間 $\nu^\perp_x$ を張る。よって $\nu^\perp$ は滑らかな局所枠 $e_{m+1},\dots,e_n$ をもつ部分束である。
$\nu^\perp_x\cap df_x(T_xM)=0$ で次元が等しいので、射影 $\nu^\perp_x\to\nu_x$ は線形同型である。枠で表すと、$[e_{m+c}]=\sum_bA_{bc}[\partial/\partial y^b]$ で、$A_{bc}$ は $e_{m+c}$ を元の枠で書いたときの $\partial/\partial y^b$ の係数なので滑らかであり、$A$ は正則で逆行列も滑らかである。よって射影はベクトル束の同型である。2 は、$f^*TN=df(TM)\oplus\nu^\perp$ と、$df\colon TM\to df(TM)$ と 1 の同型を合わせればよい。$\square$

$p\in Z$ の近くの局所自明化で $s=(s_1,\dots,s_r)\colon W\to\mathbb{R}^r$ とする。$ds$ が全射である点の集合 $W'$ は開集合で（行列の小行列式が $0$ でないという条件）、$Z\cap W\subset W'$ である。$s|_{W'}$ は沈め込みで $Z\cap W'=(s|_{W'})^{-1}(0)$ なので、部分多様体 の定理「部分多様体の局所的な特徴づけ」の (b) により $Z$ は余次元 $r$ の部分多様体で、$T_pZ=\ker ds_p=\ker Ds_p$ である。
$Ds_p$ は全射で核が $T_pZ$ なので、商 $T_pN/T_pZ=(\nu_{Z/N})_p$ から $E_p$ への線形同型を引き起こす。滑らかさを見るため、$p$ のまわりで prop-nb-bundle の座標（$Z$ の包含写像に対するもの）$(x,y)$ をとると、枠 $[\partial/\partial y^b]$ の像は $Ds(\partial/\partial y^b)=\bigl(\partial s_a/\partial y^b\bigr)_a$ で、その成分は点について滑らかである。ファイバーごとに同型な滑らかな束写像の逆も、行列の逆をとれば滑らかなので、束の同型である。$\square$

$q$ のまわりの座標近傍 $(V,\chi)$ をとり、開集合 $N':=F^{-1}(V)$ の上で、自明な束 $N'\times\mathbb{R}^k$（$k=\dim P$）の切断 $s:=\chi\circ F-\chi(q)$ を考える。$s^{-1}(0)=Z$ で、$Ds_p=d\chi_q\circ dF_p$ は全射である。$Z$ の $N'$ における法束と $N$ における法束は同じなので、thm-nb-zero-locus により $\nu_{Z/N}\cong Z\times\mathbb{R}^k$ であり、$d\chi_q$ で $\mathbb{R}^k$ を $T_qP$ に戻せばよい。$\square$

$\gamma^*$ の切断 $s([x])(v):=v_n$（$v\in\ell$ の第 $n$ 座標）を考える。$U_i$ の自明化では $s$ は関数 $x_n/x_i$ で、$i\ne n$ なら $U_i$ のアフィン座標の 1 つなので微分は $0$ でなく、$U_n$ では $s$ は零点をもたない。よって $s$ は零切断に横断的で、$s^{-1}(0)=H$ である。thm-nb-zero-locus により $\nu_{H}\cong\gamma^*|_H$ である。
$n=2$ とし、$\gamma^*|_H$ が至るところ $0$ でない連続な切断 $t$ をもたないことを示す。$H$ の点は $v\in S^1\subset\mathbb{R}^2\times\{0\}$ で $[v]$ と書け、$\phi(v):=t([v])(v)$ は $v$ について連続である（自明化で $t([v])(v)=v_i\cdot t([v])(v/v_i)$）。$\phi(-v)=t([v])(-v)=-\phi(v)$ なので、$\phi$ は $v$ と $-v$ で符号が逆か $0$ であり、$S^1$ の上で $v$ から $-v$ への道に沿って中間値の定理を使うと、$\phi(w)=0$ となる $w$ がある。$\ell=\mathbb{R}w$ の上の線形形式 $t([w])$ は $w$ で $0$ なので $t([w])=0$ である。自明な直線束は至るところ $0$ でない切断をもつので、$\gamma^*|_H$ は自明でない。$\square$

$p\in W$ とし、$q:=f(p)$ とおく。横断性 の定理「横断的な逆像は部分多様体」により $W$ は部分多様体で、$T_pW=df_p^{-1}(T_qZ)$、余次元は $Z$ と等しい。$df_p$ が引き起こす $T_pM/T_pW\to T_qN/T_qZ$ は、核が $df_p^{-1}(T_qZ)/T_pW=0$ なので単射で、横断性 $df_p(T_pM)+T_qZ=T_qN$ により全射である。$p$ のまわりの prop-nb-bundle の枠と $q$ のまわりの枠で表すと、成分は $f$ の偏微分なので滑らかであり、束の同型である。$\square$

$D$ のイデアル層は $\mathcal{I}=\mathcal{O}_Y(-D)$ で（Har77 II Proposition 6.18、p. 145）、局所的に $1$ つの非零因子 $h$ で生成される可逆層である。テンソル積の右完全性から、$\mathcal{I}\otimes\mathcal{I}\to\mathcal{I}\otimes\mathcal{O}_Y\to\mathcal{I}\otimes\mathcal{O}_Y/\mathcal{I}\to0$ は完全で、第 1 の写像の像は $\mathcal{I}^2$ なので、$\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\cong\mathcal{I}\otimes\mathcal{O}_D=\mathcal{O}_Y(-D)|_D$ である。可逆層 $\mathcal{L}$ について $\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_D}(\mathcal{L}|_D,\mathcal{O}_D)\cong\mathcal{L}^{-1}|_D$ なので（局所的に $\mathcal{L}|_D\cong\mathcal{O}_D$ で、生成元 $h$ を $1/h$ の双対基底に写す）、$\mathcal{N}_{D/Y}\cong\mathcal{O}_Y(D)|_D$ である。$\square$