カンドル彩色

準同型 $\varphi$ について、写像 $x_i\mapsto\varphi(x_i)$ は $Q(D)$ の関係式 $x_{k(c)}=x_{j(c)}\ast^{\varepsilon_c}x_{i(c)}$ をみたす（関係式は $Q(D)$ で成り立ち、$\varphi$ は $\ast$ と $\ast^{-1}$ を保つ）。上の注意によりこれは彩色の条件と同じなので、対応は well-defined である。逆に彩色 $C$ があれば、$x_i\mapsto C(\alpha_i)$ は関係式をみたすので、結び目カンドル の定義「項とカンドルの表示」の普遍性により、$\varphi(x_i)=C(\alpha_i)$ となる準同型 $\varphi$ がただ 1 つ存在する。存在は全射性を、一意性は単射性を与える。$\square$

結び目カンドル の定理「Reidemeisterの定理」により $D$ と $D'$ は平面イソトピーと Reidemeister 移動の有限列で移り合い、同記事の定理「Reidemeister移動での不変性」により $Q(D)\cong Q(D')$ である。同型 $Q(D)\cong Q(D')$ との合成は $\operatorname{Hom}(Q(D),X)$ と $\operatorname{Hom}(Q(D'),X)$ の全単射を与えるので、thm-qc-hom により彩色の個数は等しい。$\square$

交差 $c$ の下の点の前後の弧の色は、$C(\alpha_{k(c)})=C(\alpha_{j(c)})\cdot S_{C(\alpha_{i(c)})}^{\varepsilon_c}$ により同じ軌道にある。$K$ を向きに沿って 1 周するとすべての弧を通るので、すべての色は 1 つの軌道 $O$ に入る。$O$ が自明カンドルなら、上の弧の色も $O$ に入るので、各交差で $C(\alpha_{k(c)})=C(\alpha_{j(c)})$ となり、1 周して色はすべて等しい。各軌道が自明なら彩色はすべて定値で、その個数は $|X|$ である。$\square$

$\bmod 3$ では $2a\equiv-a$ なので、条件 $2a\equiv b+b'$ は $a+b+b'\equiv0$ と同値である。$a,b,b'\in\{0,1,2\}$ がすべて等しければ和は $3a\equiv0$、すべて異なれば和は $0+1+2\equiv0$ である。逆に和が $0$ で、ちょうど 2 つが等しい場合 $a=b\neq b'$ を考えると $2a+b'\equiv0$ から $b'\equiv-2a\equiv a$ となり矛盾する（どの 2 つが等しい場合も同じ）。$\square$

条件 $2C(\alpha_o)-C(\alpha_u)-C(\alpha_{u'})\equiv0$ は $C$ の各成分について同次 1 次なので、解の全体は和と $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 倍で閉じる。定値写像 $C\equiv a$ は $2a-a-a=0$ をみたす。$p$ が素数なら解の全体は $\mathbb{F}_p$ 上の線形空間で、定値写像のなす 1 次元の部分空間を含むので、次元 $k\ge1$ について個数は $p^k$ である。自明な彩色はちょうど $p$ 個なので、自明でない彩色があることは $p^k>p$ と同値である。$\square$

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で方程式 $mx=0$ の解の個数は $\gcd(n,m)$ である。
1．交差のない図式では弧が 1 本で、条件がない。
2．結び目カンドル の例「交差のない図式と三葉結び目」の図式の関係式 $x_0=x_2\ast x_1$、$x_1=x_0\ast x_2$、$x_2=x_1\ast x_0$ は、$R_n$ では $x_0=2x_1-x_2$、$x_1=2x_2-x_0$、$x_2=2x_0-x_1$ である。$x_0=0$ とおくと、第 3 式から $x_2=-x_1$、第 2 式から $x_1=-2x_1$、すなわち $3x_1=0$ を得る。逆に $3x_1=0$、$x_2=-x_1$ なら第 1 式 $0=2x_1+x_1$ も成り立つ。よって $N=\gcd(n,3)$ である。
3．8 の字結び目の 4 交差の図式（Joy79 §4.6 の図 4.6、p. 42）のカンドルの表示は、弧を $x_1,\dots,x_4$ として
$$ x_2=x_1\ast x_3,\quad x_3=x_2\ast^{-1}x_4,\quad x_4=x_3\ast x_1,\quad x_1=x_4\ast^{-1}x_2 $$
である（同 p. 43）。$R_n$ では $\ast^{-1}=\ast$ なので、$x_2=2x_3-x_1$、$x_3=2x_4-x_2$、$x_4=2x_1-x_3$、$x_1=2x_2-x_4$ となる。$x_1=0$ とおくと $x_2=2x_3$、$x_4=-x_3$ で、第 2 式は $x_3=-2x_3-2x_3$、すなわち $5x_3=0$ になる。逆に $5x_3=0$ なら第 4 式 $0=4x_3+x_3$ も成り立つ。よって $N=\gcd(n,5)$ である。$\square$

Fox の $n$ 彩色は向きによらないので、prop-qc-dihedral-counts の個数は向きの付け方によらない。$n=3$ では彩色数は順に $3,9,3$、$n=5$ では $5,5,25$ である。どの 2 つも、$n=3$ か $n=5$ の少なくとも一方で値が異なるので、cor-qc-invariant により同値でない。$\square$