Gaussの驚異の定理

$x_{uu}=\alpha x_u+\beta x_v+\gamma\nu$ と書くと、$\nu$ は $x_u,x_v$ と直交する単位ベクトルなので $\gamma=\langle x_{uu},\nu\rangle=L$ で、$x_u,x_v$ との内積から $\langle x_{uu},x_u\rangle=\alpha E+\beta F$、$\langle x_{uu},x_v\rangle=\alpha F+\beta G$ である。一方 $E=\langle x_u,x_u\rangle$ などを微分すると $\langle x_{uu},x_u\rangle=\frac12E_u$、$\langle x_{uv},x_u\rangle=\frac12E_v$、$\langle x_{uv},x_v\rangle=\frac12G_u$、$\langle x_{vv},x_v\rangle=\frac12G_v$ であり、$F_u=\langle x_{uu},x_v\rangle+\langle x_u,x_{uv}\rangle$ から $\langle x_{uu},x_v\rangle=F_u-\frac12E_v$、同様に $\langle x_{vv},x_u\rangle=F_v-\frac12G_u$ である。よって $(\alpha,\beta)$ は $\Gamma^k_{11}$ を定める方程式を満たし、解の一意性から $(\alpha,\beta)=(\Gamma^1_{11},\Gamma^2_{11})$ である。$x_{uv}$、$x_{vv}$ も同じである。

$\langle\nu,\nu\rangle=1$ を微分すると $\langle\nu_u,\nu\rangle=\langle\nu_v,\nu\rangle=0$ なので $\nu_u,\nu_v$ は $x_u,x_v$ の 1 次結合である。$\langle\nu,x_u\rangle=\langle\nu,x_v\rangle=0$ を微分すると $\langle\nu_u,x_u\rangle=-L$、$\langle\nu_u,x_v\rangle=-M$、$\langle\nu_v,x_u\rangle=-M$、$\langle\nu_v,x_v\rangle=-N$ で、これは $pE+qF=-L$、$pF+qG=-M$、$sE+tF=-M$、$sF+tG=-N$ のことである。Cramer の公式で解けば $q,t$ の式を得る。

段 1。$W\nu=x_u\times x_v$ と $\langle a,b\times c\rangle=\det(a,b,c)$（列ベクトルを並べた行列式）から $WL=\det(x_{uu},x_u,x_v)$、$WM=\det(x_{uv},x_u,x_v)$、$WN=\det(x_{vv},x_u,x_v)$ である。

段 2。$P=(x_{uu},x_u,x_v)$、$Q=(x_{vv},x_u,x_v)$、$R=(x_{uv},x_u,x_v)$ とすると $W^2(LN-M^2)=\det(P^{\mathsf T}Q)-\det(R^{\mathsf T}R)$ で、$P^{\mathsf T}Q$ の $(i,j)$ 成分は $P$ の第 $i$ 列と $Q$ の第 $j$ 列の内積である。$(1,1)$ 成分以外は thm-te-main の証明の段 1 の 6 つの内積の式で $E,F,G$ と 1 階の偏導関数に替わる。

段 3。$E_v=2\langle x_{uv},x_u\rangle$ を $v$ で、$G_u=2\langle x_{uv},x_v\rangle$ を $u$ で、$F_u=\langle x_{uu},x_v\rangle+\langle x_u,x_{uv}\rangle$ を $v$ で微分すると（$C^3$ 級なので偏微分の順序を入れ替えてよい）、$E_{vv}=2\langle x_{uvv},x_u\rangle+2|x_{uv}|^2$、$G_{uu}=2\langle x_{uuv},x_v\rangle+2|x_{uv}|^2$、$F_{uv}=\langle x_{uuv},x_v\rangle+\langle x_{uu},x_{vv}\rangle+|x_{uv}|^2+\langle x_u,x_{uvv}\rangle$ なので、$\langle x_{uu},x_{vv}\rangle-|x_{uv}|^2=-\frac12E_{vv}+F_{uv}-\frac12G_{uu}$ である。

段 4。2 つの行列式は $(1,1)$ 成分についてどちらも「$(1,1)$ 成分 $\times(EG-F^2)$ ＋（$(1,1)$ 成分によらない項）」の形なので、2 つ目の $(1,1)$ 成分 $|x_{uv}|^2$ を 1 つ目の $(1,1)$ 成分から引き、2 つ目の $(1,1)$ 成分を $0$ にしても差は変わらない。段 3 によりこれが右辺である。左辺は $W^2(LN-M^2)=K(EG-F^2)^2$ である。$\square$

1．$E=1$、$F=0$ なら $\Gamma^1_{11}=\Gamma^2_{11}=\Gamma^1_{12}=0$、$\Gamma^2_{12}=G_u/(2G)=f_u/f$ なので

$$K=-\Bigl(\frac{f_u}{f}\Bigr)_u-\Bigl(\frac{f_u}{f}\Bigr)^2=-\frac{f_{uu}f-f_u^2}{f^2}-\frac{f_u^2}{f^2}=-\frac{f_{uu}}{f}$$

である。

2．$\alpha=\log\lambda$ とおくと $E_u/(2E)=G_u/(2G)=\alpha_u$、$E_v/(2E)=G_v/(2G)=\alpha_v$ なので、$\Gamma^1_{11}=\Gamma^2_{12}=\alpha_u$、$\Gamma^2_{11}=-\alpha_v$、$\Gamma^1_{12}=\Gamma^2_{22}=\alpha_v$ で

$$\lambda^2K=-\alpha_{vv}-\alpha_{uu}+\alpha_u^2-\alpha_v^2+\alpha_v^2-\alpha_u^2=-\Delta\alpha$$

である。$\square$

段 1（線形代数）。2 次元の内積空間の間の単射な線形写像 $A$ が角を保つとする。正規直交基底 $e_1,e_2$ について、$e_1\perp e_2$ から $Ae_1\perp Ae_2$、$(e_1+e_2)\perp(e_1-e_2)$ から $A(e_1+e_2)\perp A(e_1-e_2)$、すなわち $|Ae_1|=|Ae_2|$ である。$\lambda=|Ae_1|>0$ とおくと $A/\lambda$ は正規直交基底を正規直交基底に写すので長さを保ち、$A$ は面積を $\lambda^2$ 倍する。

段 2（面積から $\lambda=1$）。対応が角を保つとし、各点の対応の微分に段 1 を当てた $\lambda$ を $\lambda(u,v)$ とする。$\lambda^2=|y_u\times y_v|/|x_u\times x_v|$ は連続である。ある点で $\lambda^2>1$ なら、その点を中心とする小さい閉円板 $D$ の上で $\lambda^2>1$ となり、$\iint_D|y_u\times y_v|>\iint_D|x_u\times x_v|$ で面積を保たない。$\lambda^2< 1$ でも同じである。よって角と面積をともに保つなら $\lambda\equiv1$ で、対応の微分は各点で内積を保つ。

段 3（Gauss 曲率の比較）。平面を $\mathbb R^3$ の $z=0$ とみると、段 2 から $y$ は正則曲面片で、$E,F,G$ は $x$ と等しい。thm-te-main により $x$ と $y$ の Gauss 曲率は等しい。ところが球面の Gauss 曲率は $1/a^2$（Gauss曲率 の例「平面・球面・円柱・グラフ」。$K$ は径数のとり方によらない）、平面の Gauss 曲率は $0$（$\nu$ が一定で $L=M=N=0$）であり、矛盾する。長さを保つ対応は角と面積を保つので、後半も従う。$\square$

正規座標で $g=g_{ij}(w)\,dw^idw^j$ と書き、$e=(\cos\theta,\sin\theta)$、$e^\perp=(-\sin\theta,\cos\theta)$ とおく。$\langle y_r,y_\theta\rangle$ などは $x$ の接ベクトルの内積なので $g$ で測られ、$w=re$ での座標ベクトルは $\partial_r=e^i\partial_i$、$\partial_\theta=r\,(e^\perp)^i\partial_i$ である。Gauss の補題 $g_{ij}(w)w^iz^j=\langle w,z\rangle$ を $w=re$ と $z=re$、$z=re^\perp$ に当てると $E_y=g_{ij}e^ie^j=\frac1{r^2}\langle re,re\rangle=1$、$F_y=g_{ij}e^i\,r(e^\perp)^j=\frac1r\langle re,re^\perp\rangle=0$ である。

$G_y=r^2g_{ij}(re)(e^\perp)^i(e^\perp)^j$ なので、$h(r,\theta)=\sqrt{g_{ij}(r\cos\theta,r\sin\theta)(e^\perp)^i(e^\perp)^j}$ とおけばよい。$g_{ij}$ は正定値で $C^\infty$ 級なので $h$ は $|r|< \varepsilon$ で正の $C^\infty$ 級関数であり、$g_{ij}(0)=\delta_{ij}$（正規座標 の命題「正規座標の性質」）から $h(0,\theta)=1$ である。$r>0$ では $(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$ は局所微分同相で、$|y_r\times y_\theta|=\sqrt{E_yG_y-F_y^2}=f>0$ である。$\square$

段 1（微分方程式）。$k(r,\theta)$ を点 $x\bigl(\phi^{-1}(r\cos\theta,r\sin\theta)\bigr)$ での Gauss 曲率とすると、$k$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)\times\mathbb R$ の上の $C^\infty$ 級関数で、$k(0,\theta)=K_0$ である。$r>0$ では、Gauss 曲率は径数のとり方によらないので、lem-te-polar と cor-te-special の 1 から $f_{rr}=-k\,f$ である。$f=rh$ も $k$ も $|r|< \varepsilon$ で $C^\infty$ 級なので、$f_{rr}+kf$ とその $r$ による偏導関数は $r>0$ で $0$ であり、連続性から $r=0$ でも $0$ である。

段 2（$r=0$ での値）。$f=rh$ から $f(0,\theta)=0$、$f_r=h+rh_r$ なので $f_r(0,\theta)=1$ である。段 1 から $f_{rr}(0,\theta)=-k(0,\theta)f(0,\theta)=0$、$f_{rrr}=-(k_rf+kf_r)$ から $f_{rrr}(0,\theta)=-K_0$ である。

段 3（展開と積分）。$0< \rho_0< \varepsilon$ を固定し、$C$ を $[0,\rho_0]\times[0,2\pi]$ での $|\partial_r^4f|$ の最大値とする。Taylor の定理から、$0< \rho\le\rho_0$ で

$$\Bigl|f(\rho,\theta)-\rho+\frac{K_0}6\rho^3\Bigr|\le\frac{C}{24}\rho^4$$

である。$\theta$ について $0$ から $2\pi$ まで積分すると $\ell(\rho)$ の式を得る。測地円板の面積は、正規座標の円板 $\{|w|< \rho\}$ の上で $\sqrt{\det(g_{ij})}$ を積分したもので、極座標に直すと（$\{r=0\}$ は面積 $0$）$\int_0^\rho\int_0^{2\pi}f\,d\theta\,dr=\int_0^\rho\ell(r)\,dr$ である。$\ell$ の式を積分して $A(\rho)$ の式を得る。$\square$