Kosnitaの定理

方針：$O$ と $O_A$ の座標を $R$ と $A$ で書き、$B$ から見た $O_A$ の向きを求める。
段 1（座標）。辺 $BC$ の中点 $M$ を原点、直線 $BC$ を $x$ 軸にとり、$A$ が $y>0$ の側にあるようにする。正弦定理（高校数学） により $BC=2R\sin A$ なので、$B(-R\sin A,0)$、$C(R\sin A,0)$ である。
段 2（$O$ の座標）。鋭角三角形の外心は三角形の内部にある（三角形の外心）。$O$ は $BC$ の垂直二等分線、つまり $y$ 軸の上にあり、$y>0$ である。$OB=R$、$MB=R\sin A$ なので、三平方の定理から $OM=\sqrt{R^2-R^2\sin^2A}=R\cos A$（$\cos A>0$）で、$O(0,R\cos A)$ である。
段 3（$O_A$ の座標）。$O_A$ は $B$、$C$ から等距離なので $y$ 軸の上にあり、$O_A(0,h)$ と書ける。$O_AB=O_AO$ の両辺を 2 乗すると
$$ R^2\sin^2A+h^2=(h-R\cos A)^2=h^2-2hR\cos A+R^2\cos^2A $$
で、$h^2$ が消えて
$$ h=\frac{R(\cos^2A-\sin^2A)}{2\cos A}=\frac{R\cos2A}{2\cos A} $$
である（2 倍角の公式 $\cos2A=\cos^2A-\sin^2A$）。
段 4（$B$ から見た向き）。2 倍角の公式 $\sin2A=2\sin A\cos A$ を使うと
$$ \overrightarrow{BO_A}=\left(R\sin A,\ \frac{R\cos2A}{2\cos A}\right)=\frac{R}{2\cos A}\bigl(\sin2A,\ \cos2A\bigr)=\frac{R}{2\cos A}\bigl(\cos(90^\circ-2A),\ \sin(90^\circ-2A)\bigr) $$
である。$(\cos\theta,\sin\theta)$ は長さ $1$ なので、$O_AB=\dfrac R{2\cos A}$ で、(1) が成り立つ（$O_AC=O_AB$ は段 3 から）。また、半直線 $BO_A$ は、半直線 $BC$（$x$ 軸の正の向き）を反時計回りに $90^\circ-2A$ だけ回した向きにある（$90^\circ-2A<0$ のときは時計回りに $2A-90^\circ$）。
段 5（角 $\angle ABO_A$）。$A$ は $y>0$ の側にあるので、半直線 $BA$ は半直線 $BC$ を反時計回りに $B$ だけ回した向きにある。2 つの向きの差は
$$ B-(90^\circ-2A)=2A+B-90^\circ=A+(180^\circ-C)-90^\circ=90^\circ+A-C $$
である。鋭角三角形では $-90^\circ< A-C<90^\circ$ なので、この差は $0^\circ$ と $180^\circ$ の間にあり、$\angle ABO_A=90^\circ+A-C$ である。
段 6（$C$ での角）。$\overrightarrow{CO_A}=\dfrac R{2\cos A}\bigl(-\sin2A,\ \cos2A\bigr)$ は、段 4 のベクトルを $y$ 軸について折り返したものである。$y$ 軸について折り返すと、$B$ と $C$、半直線 $BC$ と半直線 $CB$ が入れかわるので、半直線 $CO_A$ は半直線 $CB$ を時計回りに $90^\circ-2A$ だけ回した向きにある。半直線 $CA$ は半直線 $CB$ を時計回りに $C$ だけ回した向きにあるので、段 5 と同じ計算で $\angle ACO_A=C-(90^\circ-2A)=90^\circ+A-B$ である。
段 7（(3)）。段 5 で、半直線 $BO_A$ は半直線 $BA$ を時計回りに $90^\circ+A-C$（$0^\circ$ と $180^\circ$ の間）だけ回した向きにあり、半直線 $BC$ も半直線 $BA$ を時計回りに $B$（$0^\circ$ と $180^\circ$ の間）だけ回した向きにある。直線 $AB$ について、半直線 $BA$ を時計回りに $0^\circ$ と $180^\circ$ の間の角だけ回した半直線は、どれも同じ側にあるので、$O_A$ と $C$ は直線 $AB$ について同じ側にある。段 6 から、同じく $O_A$ と $B$ は直線 $AC$ について同じ側にある。2 つを合わせると $O_A$ は角 $\angle BAC$ の内部にあり、$A$ から $O_A$ に向かう半直線は辺 $BC$ と頂点以外の点で交わる。$\square$

lem-kos-position (3) により $O_A$ は角 $\angle BAC$ の内部にあるので、2 つの三角形 $ABO_A$、$ACO_A$ ができる。三角形 $ABO_A$ で正弦定理（正弦定理（高校数学））を使うと
$$ \frac{BO_A}{\sin\angle BAO_A}=\frac{AO_A}{\sin\angle ABO_A} \qquad\text{つまり}\qquad \sin\angle BAO_A=\frac{BO_A\sin\angle ABO_A}{AO_A} $$
である。三角形 $ACO_A$ でも同じく $\sin\angle O_AAC=\dfrac{CO_A\sin\angle ACO_A}{AO_A}$ である。$BO_A=CO_A$（lem-kos-position (1)）なので、割り算すると $BO_A$ と $AO_A$ が消えて
$$ \frac{\sin\angle BAO_A}{\sin\angle O_AAC}=\frac{\sin\angle ABO_A}{\sin\angle ACO_A}=\frac{\sin(90^\circ+A-C)}{\sin(90^\circ+A-B)}=\frac{\cos(A-C)}{\cos(A-B)} $$
である（lem-kos-position (2) と $\sin(90^\circ+x)=\cos x$）。$\square$

段 1（Ceva 線にする）。lem-kos-position (3) により、直線 $AO_A$ は辺 $BC$ と頂点以外の点 $D$ で交わり、$D$ は $A$ から $O_A$ に向かう半直線の上にある。同じく直線 $BO_B$、$CO_C$ は辺 $CA$、$AB$ と頂点以外の点 $E$、$F$ で交わる。$AD$、$BE$、$CF$ は Ceva 線で、$\angle BAD=\angle BAO_A$、$\angle DAC=\angle O_AAC$ である（$B$、$C$ でも同じ）。
段 2（3 つの頂点での比）。lem-kos-ratio を頂点 $A$ に使うと
$$ \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}=\frac{\cos(A-C)}{\cos(A-B)} $$
である。頂点の名前を $A\to B\to C\to A$ と回して、頂点 $B$、$C$ に同じ補題を使うと
$$ \frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA}=\frac{\cos(B-A)}{\cos(B-C)},\qquad \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}=\frac{\cos(C-B)}{\cos(C-A)} $$
である。鋭角三角形では角の差はどれも $-90^\circ$ と $90^\circ$ の間にあるので、6 つの余弦はどれも正である。
段 3（積）。余弦は偶関数（$\cos(-x)=\cos x$）なので、$\cos(B-A)=\cos(A-B)$、$\cos(C-B)=\cos(B-C)$、$\cos(C-A)=\cos(A-C)$ である。よって
$$ \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}\cdot\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA}\cdot\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}=\frac{\cancel{\cos(A-C)}}{\bcancel{\cos(A-B)}}\cdot\frac{\bcancel{\cos(A-B)}}{\xcancel{\cos(B-C)}}\cdot\frac{\xcancel{\cos(B-C)}}{\cancel{\cos(A-C)}}=1 $$
である。
段 4（結論）。三角関数形のCevaの定理 の定理「三角関数形のCevaの定理」（正弦の比の積が $1$ なら Ceva 線は 1 点で交わる）により、$AD$、$BE$、$CF$ は 1 点で交わる。この 3 本は直線 $AO_A$、$BO_B$、$CO_C$ の一部なので、3 本の直線は 1 点で交わる。$\square$

要点：$\dfrac{\sin\angle BAN}{\sin\angle NAC}$ を 2 辺までの距離の比として計算すると $\dfrac{\cos(A-B)}{\cos(A-C)}$ になり、lem-kos-ratio の比の逆数になる。角を 2 つに分ける比が逆数になる 2 本の直線は、角の二等分線について対称である。

1. 直線 $AI$ が外接円と $A$ 以外に交わる点を $M_A$ とすると、$M_AB=M_AC=M_AI$ である（Eulerの三角形の定理 の補題「弧の中点から等距離の点」）。$B$、$C$、$I$ は一直線上にないので、3 点から等距離の点はただ 1 つで、$I_A=M_A$ である。$M_A$ は直線 $AI$ の上にあるので、直線 $AI_A$ は直線 $AI$（角 $A$ の二等分線）である。3 本の角の二等分線は $I$ で交わる。
2. $O$ を原点とすると、$\lvert\vec a\rvert=\lvert\vec b\rvert=\lvert\vec c\rvert=R$ で、垂心は $\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$ である（三角形の垂心）。点 $X(\vec b+\vec c)$ について
   $$ XB=\lvert\vec c\rvert=R,\qquad XC=\lvert\vec b\rvert=R,\qquad XH=\lvert\vec a\rvert=R $$
   なので、$X$ は三角形 $BCH$ の外心である。直線 $AX$ の上の点 $\dfrac{\vec a+(\vec b+\vec c)}2=\dfrac{\vec h}2$ は、線分 $OH$ の中点、つまり $N$ である。$B$、$C$ でも同じなので、3 本の直線は $N$ を通る。$\square$