線形代数学

2 を示す。$S_0:=\{u_1,\ldots,u_k\}$ とおく。$\operatorname{span}(S_0)=V$ なら $S_0$ は基底であり $r=0$ でよい。そうでなければ $w_1\in V\setminus\operatorname{span}(S_0)$ をとる。線形独立 の記事の命題「一ベクトルの追加」により $S_1:=S_0\cup\{w_1\}$ は線形独立である。これを繰り返す。各段階の $S_i$ は線形独立で $k+i$ 個の元をもつから、Steinitz の交換補題により $k+i\le n$ であり、この手続きは高々 $n-k$ 回で止まる。止まったとき $\operatorname{span}(S_r)=V$ であるから $S_r$ は線形独立な生成系、すなわち基底である。
1 を示す。$W$ の中で同じ手続きを行う。$W=\{0\}$ なら空集合が基底であり $\dim W=0$ である。そうでなければ $0$ でない $u_1\in W$ をとり、$\operatorname{span}\{u_1,\ldots,u_i\}\ne W$ である限り $u_{i+1}\in W\setminus\operatorname{span}\{u_1,\ldots,u_i\}$ をとる。各段階のベクトルの族は $V$ の線形独立な族でもあるから、その個数は $n$ を超えず、手続きは止まる。止まったときの $u_1,\ldots,u_m$ は $W$ の基底であり、$\dim W=m\le n$ である。$\square$

lem-linear-algebra-extend-basis の 1 により $\ker T$ は有限次元である。その基底を $u_1,\ldots,u_k$ とし、同補題の 2 により $w_1,\ldots,w_r$ を付け加えて $u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r$ を $V$ の基底にする。$\dim V=k+r$ である。$T(w_1),\ldots,T(w_r)$ が $\operatorname{im}T$ の基底であることを示せば、$\dim\operatorname{im}T=r$ となり主張が従う。
生成すること。任意の $y\in\operatorname{im}T$ は $y=T(x)$ と書け、$x=\sum_i a_iu_i+\sum_j b_jw_j$ と表せる。$T(u_i)=0$ であるから $y=\sum_j b_jT(w_j)$ であり、$y\in\operatorname{span}\{T(w_1),\ldots,T(w_r)\}$ である。
線形独立であること。$\sum_j b_jT(w_j)=0$ とする。線形性から $T\bigl(\sum_j b_jw_j\bigr)=0$、すなわち $\sum_j b_jw_j\in\ker T$ であるから、$\sum_j b_jw_j=\sum_i c_iu_i$ と書ける。移項すると $\sum_i c_iu_i-\sum_j b_jw_j=0$ であり、$u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r$ の線形独立性からすべての $b_j$（と $c_i$）は $0$ である。
最後の主張について。$T$ が単射であることは $\ker T=\{0\}$ と同値であり（$T(x)=T(y)\iff T(x-y)=0$）、上の等式により $\dim\operatorname{im}T=\dim V=\dim W$ と同値である。一方、部分空間 $\operatorname{im}T\subset W$ について $\dim\operatorname{im}T=\dim W$ は $\operatorname{im}T=W$ と同値である。実際、$\operatorname{im}T$ の基底は $W$ の線形独立な族であり、lem-linear-algebra-extend-basis の 2 により $W$ の基底に延長できるが、元の個数が既に $\dim W$ に等しいので付け加えるものはなく、$\operatorname{im}T=W$ である。逆は明らかである。$\square$

1 を示す。まず線形写像は基底上の値で定まる。実際 $x=\sum_j c_jv_j$ なら線形性から $T(x)=\sum_j c_jT(v_j)$ であり、$T(v_j)$ は $A$ の第 $j$ 列の成分を係数とする $w_1,\ldots,w_m$ の線形結合であるから、$T$ は $A$ から復元できる。よって $T\mapsto A$ は単射である。全射であることを示す。任意の $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ に対し、写像 $T\colon V\to W$ を
$$ T\Bigl(\sum_{j}c_jv_j\Bigr):=\sum_{j}c_j\sum_{i}a_{ij}w_i $$
で定める。座標 $(c_j)$ は $x$ からただ一通りに定まるので $T$ は矛盾なく定義され、$x=\sum c_jv_j$、$y=\sum d_jv_j$ について $x+y=\sum(c_j+d_j)v_j$、$ax=\sum(ac_j)v_j$ であるから $T(x+y)=T(x)+T(y)$、$T(ax)=aT(x)$ が成り立つ。$T(v_j)=\sum_i a_{ij}w_i$ であるから $T$ の表現行列は $A$ である。
2 を示す。$S(w_i)=\sum_k b_{ki}u_k$ とすると
$$ (S\circ T)(v_j)=S\Bigl(\sum_i a_{ij}w_i\Bigr)=\sum_i a_{ij}\sum_k b_{ki}u_k=\sum_k\Bigl(\sum_i b_{ki}a_{ij}\Bigr)u_k $$
であり、$u_k$ の係数 $\sum_i b_{ki}a_{ij}$ は $BA$ の $(k,j)$ 成分である。
3 を示す。$P$ は、基底 $v'$ と基底 $v$ に関する恒等写像 $\mathrm{id}_V$ の表現行列である（$\mathrm{id}_V(v'_j)=v'_j=\sum_i p_{ij}v_i$）。同様に $Q$ は基底 $w'$ と $w$ に関する $\mathrm{id}_W$ の表現行列である。基底 $v$ と $v'$ に関する $\mathrm{id}_V$ の表現行列を $P'$ とすると、2 により $\mathrm{id}_V=\mathrm{id}_V\circ\mathrm{id}_V$ の（$v'$ から $v'$ への、および $v$ から $v$ への）表現行列は $P'P$ および $PP'$ であり、恒等写像の同じ基底に関する表現行列は単位行列であるから $P'P=PP'=I_n$ となる。よって $P$ は正則で $P'=P^{-1}$ である。$Q$ についても同様である。最後に $T=\mathrm{id}_W\circ T\circ\mathrm{id}_V$ を、基底 $v'$ から $v$（$\mathrm{id}_V$）、$v$ から $w$（$T$）、$w$ から $w'$（$\mathrm{id}_W$）と分けて 2 を 2 回使うと、$v',w'$ に関する $T$ の表現行列は $Q^{-1}AP$ である。$\square$

$r$ に関する帰納法で示す。$r=1$ のときは $v_1\ne0$ から従う。$r\ge2$ とし、$r-1$ 個の場合を仮定する。$a_1v_1+\cdots+a_rv_r=0$ とする。両辺に $T$ を施すと $a_1\lambda_1v_1+\cdots+a_r\lambda_rv_r=0$ であり、元の式に $\lambda_r$ を掛けたものを引くと
$$ a_1(\lambda_1-\lambda_r)v_1+\cdots+a_{r-1}(\lambda_{r-1}-\lambda_r)v_{r-1}=0 $$
となる。帰納法の仮定により $a_i(\lambda_i-\lambda_r)=0$（$i< r$）であり、$\lambda_i\ne\lambda_r$ であるから $a_i=0$（$i< r$）である。すると元の式は $a_rv_r=0$ となり、$v_r\ne0$ から $a_r=0$ である。
後半について。$n$ 個を超える相異なる固有値があれば $n$ 個を超える線形独立なベクトルがあることになり、Steinitz の交換補題に反する。$n$ 個の相異なる固有値に属する固有ベクトル $v_1,\ldots,v_n$ は線形独立であり、lem-linear-algebra-extend-basis の 2 により基底に延長できるが、個数が既に $n$ なので付け加えるものはなく、$V$ の基底である。この基底に関する $T$ の表現行列は対角成分が $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ の対角行列である。$\square$