Hermite–Minkowskiの定理

$(r_1,r_2)$ を $K$ の符号数とし、判別式(代数体) の記事の Minkowski 埋め込み $j\colon K\to\mathbb{R}^n$ を使う。$j(\mathcal{O}_K)$ は基本領域の体積 $2^{-r_2}\sqrt D$ の格子である（同記事の定理「整数環の格子としての体積」）。以下で、体積が $2^n\cdot2^{-r_2}\sqrt D$ の原点対称で有界な閉凸集合 $T\subset\mathbb{R}^n$ を作り、イデアル類群 の補題「格子に対する凸体定理」により $0$ でない $\alpha\in\mathcal{O}_K$ で $j(\alpha)\in T$ となるものをとる。
$r_1\ge1$ の場合． $\sigma_1$ を実埋め込みとし、$A:=2^{n-1}(2/\pi)^{r_2}\sqrt D$ として
$$ T:=\Bigl\{\lvert x_{\sigma_1}\rvert\le A,\ \ \lvert x_{\sigma_i}\rvert\le\tfrac12\ (2\le i\le r_1),\ \ \lvert z_{\tau_l}\rvert\le\tfrac12\ (1\le l\le r_2)\Bigr\} $$
とおく（$x_{\sigma_i}$ は実の座標、$z_{\tau_l}=\operatorname{Re}+i\operatorname{Im}$ は複素の座標の組）。体積は $2A\cdot1^{r_1-1}\cdot(\pi/4)^{r_2}=2^n2^{-r_2}\sqrt D$ である。$\alpha$ の共役は $\lvert\sigma_1(\alpha)\rvert\le A$、ほかの埋め込み $\tau$ では $\lvert\tau(\alpha)\rvert\le\frac12$ を満たす（複素埋め込みの共役も絶対値が同じ）。$\alpha\ne0$ は代数的整数なので $\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert=\prod_\tau\lvert\tau(\alpha)\rvert$ は $1$ 以上の整数であり（代数体 の定理「ノルムとトレースは共役の積と和」）、$\lvert\sigma_1(\alpha)\rvert\ge2^{n-1}\ge1>\frac12$ である。よって $\sigma_1(\alpha)$ はほかのどの $\tau(\alpha)$ とも異なる。
$r_1=0$ の場合． $\tau_1$ を複素埋め込みとし、$B:=2^{n-1-r_2}(4/\pi)^{r_2-1}\sqrt D$ として
$$ T:=\Bigl\{\lvert\operatorname{Re}z_{\tau_1}\rvert\le\tfrac12,\ \lvert\operatorname{Im}z_{\tau_1}\rvert\le B,\ \ \lvert z_{\tau_l}\rvert\le\tfrac12\ (2\le l\le r_2)\Bigr\} $$
とおく。体積は $2B\cdot(\pi/4)^{r_2-1}=2^{n-r_2}\sqrt D$ である。ノルムは $\lvert\tau_1(\alpha)\rvert^2\prod_{l\ge2}\lvert\tau_l(\alpha)\rvert^2\ge1$ なので $\lvert\tau_1(\alpha)\rvert^2\ge4^{r_2-1}\ge1$ である。よって $\tau_1(\alpha)$ は絶対値が $\frac12$ 以下のほかの共役と異なり、$\lvert\operatorname{Re}\tau_1(\alpha)\rvert\le\frac12<1\le\lvert\tau_1(\alpha)\rvert$ から $\operatorname{Im}\tau_1(\alpha)\ne0$、すなわち $\tau_1(\alpha)\ne\overline{\tau_1(\alpha)}$ である。
原始元であること． どちらの場合も、ある埋め込み $\tau_0$ について $\tau_0(\alpha)$ はほかの $n-1$ 個の $\tau(\alpha)$ のどれとも異なる。$d$ を $\alpha$ の最小多項式 $f_\alpha$ の次数とすると、代数体 の定理「ノルムとトレースは共役の積と和」により $\prod_\tau(x-\tau(\alpha))=f_\alpha(x)^{n/d}$ なので、$f_\alpha$ の各根は重複度 $n/d$ で $\tau(\alpha)$ たちの中に現れる。$\tau_0(\alpha)$ は 1 回しか現れないので $n/d=1$、すなわち $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=n$ で $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ である。
共役の評価． $A\le2^{n-1}\sqrt D$ であり、$4/\pi<2$ から $B\le2^{n-2}\sqrt D$ なので $\lvert\tau_1(\alpha)\rvert\le\frac12+B$ である。$D\ge1$ なので、どの共役も絶対値が $2^n\sqrt D$ 以下である。$\square$

次数の上界． $K$ を次数 $n\ge2$ の代数体とする。判別式(代数体) の定理「Minkowskiの判別式定理」と $(\pi/4)^{2r_2}\ge(\pi/4)^n$ から
$$ \lvert d_K\rvert\ge a_n^2,\qquad a_n:=\Bigl(\frac\pi4\Bigr)^{n/2}\frac{n^n}{n!} $$
である。同じ定理の証明にあるとおり $a_2=\pi/2$、$a_{n+1}/a_n\ge\sqrt\pi$ なので $a_n\ge(\pi/2)\pi^{(n-2)/2}\to\infty$ である。よって $\lvert d_K\rvert\le X$ なら $n$ はある $n_0(X)$ 以下である。
各次数での有限性． $n\le n_0(X)$ を固定し、$K\subset\mathbb{C}$ を次数 $n$、$\lvert d_K\rvert\le X$ の代数体とする。lem-hm-primitive の $\alpha$ をとり、$M:=2^n\sqrt X$ とおく。$\alpha$ の最小多項式は $f_\alpha(x)=\prod_\tau(x-\tau(\alpha))$ で整数係数であり（代数的整数 の命題「最小多項式による判定」）、$x^{n-k}$ の係数は $k$ 個の共役の積の和なので絶対値が $\binom nkM^k$ 以下である。このような整数係数の $n$ 次多項式は有限個しかなく、その複素数の根も有限個である。$K$ は $\mathbb{C}$ の部分体なので $\alpha\in K\subset\mathbb{C}$ はそのどれかの根であり、$K=\mathbb{Q}(\alpha)$ は $\alpha$ で決まる。よって $K$ は有限個である。$n=1$ では $K=\mathbb{Q}$ だけである。$\square$

$L$ を $K\subset L\subset\mathbb{C}$、$[L:K]=n$ で $S$ の外で不分岐な代数体とする。$\lvert d_L\rvert$ が $K,S,n$ だけで決まる数 $X$ 以下であることを示せば、thm-hm-hermite により $L$ は有限個である。
$\mathfrak{p}\notin S$ なら、$\mathfrak{p}$ の上の素イデアルはどれも分岐しないので、事実 1 によりどれも $\mathfrak{D}_{L/K}$ を割らず、事実 2 により $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{d}_{L/K}$ を割らない。
$\mathfrak{p}\in S$ とし、$\ell$ を $\mathfrak{p}$ の下の素数、$c:=n\bigl(1+n_K\log_2n\bigr)$ とおく。$\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ について $e_\mathfrak{P}:=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$、$f_\mathfrak{P}:=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ と書く。$v_\mathfrak{P}$ を $\mathfrak{P}$ の付値とすると、整数 $e_\mathfrak{P}\le n$ について
$$ v_\mathfrak{P}(e_\mathfrak{P})=e(\mathfrak{P}\mid\ell)\,v_\ell(e_\mathfrak{P})\le e_\mathfrak{P}\,e(\mathfrak{p}\mid\ell)\log_2n\le e_\mathfrak{P}\,n_K\log_2n $$
である（分岐指数の乗法性。代数体における素イデアルの分解 の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」）。事実 1・2 と基本等式 $\sum_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}e_\mathfrak{P}f_\mathfrak{P}=n$（同記事の定理「基本等式」）から
$$ v_\mathfrak{p}(\mathfrak{d}_{L/K})=\sum_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}f_\mathfrak{P}\,v_\mathfrak{P}(\mathfrak{D}_{L/K})\le\sum_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}f_\mathfrak{P}\bigl(e_\mathfrak{P}-1+e_\mathfrak{P}n_K\log_2n\bigr)\le c $$
である。よって $\mathrm{N}(\mathfrak{d}_{L/K})\le\prod_{\mathfrak{p}\in S}\mathrm{N}(\mathfrak{p})^{c}$ で、事実 3 により
$$ \lvert d_L\rvert\le X:=\lvert d_K\rvert^n\prod_{\mathfrak{p}\in S}\mathrm{N}(\mathfrak{p})^{c} $$
である。$\square$

差積と分岐 の系「Dedekindの判別式定理」により、$d_L$ を割る素数は $L$ で分岐する。仮定からそのような素数はないので $\lvert d_L\rvert=1$ であり、判別式(代数体) の定理「Minkowskiの判別式定理」により $[L:\mathbb{Q}]=1$、すなわち $L=\mathbb{Q}$ である。$\square$