Fagnanoの問題

段 1（$A$ から足までの長さ）。三角形 $ABE_0$ は $E_0$ の角が直角の直角三角形で、$E_0$ は辺 $CA$ の上にあるので $\angle BAE_0=A$ である。よって $AE_0=AB\cos A=c\cos A$ である。同じく三角形 $ACF_0$ から $AF_0=b\cos A$ である。
段 2（相似）。三角形 $AE_0F_0$ と三角形 $ABC$ で、
$$ \frac{AE_0}{AB}=\frac{c\cos A}c=\cos A,\qquad \frac{AF_0}{AC}=\frac{b\cos A}b=\cos A $$
で、間の角 $\angle E_0AF_0=\angle BAC$ は共通である。2 辺の比とその間の角が等しいので、三角形 $AE_0F_0$ と三角形 $ABC$ は相似で、相似比は $\cos A$ である（三角形の相似条件）。対応する辺から $E_0F_0=BC\cos A=a\cos A$、対応する角から $\angle AF_0E_0=\angle ACB=C$、$\angle AE_0F_0=\angle ABC=B$ である。
段 3（残りの 2 辺）。頂点 $B$、$C$ で段 1・段 2 と同じことをすると、三角形 $BF_0D_0$ は三角形 $BCA$ と相似比 $\cos B$ で相似で $F_0D_0=b\cos B$、三角形 $CD_0E_0$ は三角形 $CAB$ と相似比 $\cos C$ で相似で $D_0E_0=c\cos C$ である。$\square$

方針：$FD$ と $ED$ を折り返した点までの長さに置きかえて 1 本の折れ線にし、両端の距離 $D_1D_2$ を二等辺三角形で計算する。
段 1（折れ線にする）。$F$ は直線 $AB$ の上にあるので、直線上の点から対称点までの距離は変わらず $FD=FD_1$ である（対称点と折れ線の最短 の補題）。同じく $E$ は直線 $AC$ の上にあるので $ED=ED_2$ である。よって
$$ DE+EF+FD=D_2E+EF+FD_1 $$
で、右辺は折れ線 $D_2\to E\to F\to D_1$ の長さである。3 点の三角不等式 $XY+YZ\ge XZ$ を 2 回使うと $D_2E+EF+FD_1\ge D_2F+FD_1\ge D_2D_1$ である。
段 2（$A$ からの距離と角）。$A$ は直線 $AB$ の上にあるので $AD_1=AD$、直線 $AC$ の上にあるので $AD_2=AD$ である。$B$ も直線 $AB$ の上にあるので $BD_1=BD$ で、三角形 $ABD_1$ と三角形 $ABD$ は 3 辺が等しく合同である（$D=B$ のときは $D_1=B$ で、以下の角は $0^\circ$ とする）。よって $\angle D_1AB=\angle BAD$ である。同じく $\angle CAD_2=\angle DAC$ である。$D_1$ は直線 $AB$ について $D$ と反対側に、$D_2$ は直線 $AC$ について $D$ と反対側にあるので、$A$ のまわりに半直線 $AD_1$、$AB$、$AD$、$AC$、$AD_2$ がこの順に並び、
$$ \angle D_1AD_2=\angle D_1AB+\angle BAD+\angle DAC+\angle CAD_2=2(\angle BAD+\angle DAC)=2A $$
である。$A<90^\circ$ なので $2A<180^\circ$ で、これは三角形 $AD_1D_2$ の頂角である。
段 3（底辺の長さ）。三角形 $AD_1D_2$ は $AD_1=AD_2=AD$ の二等辺三角形で、頂角は $2A$ である。底辺 $D_1D_2$ の中点を $M$ とすると、$AM$ は底辺に垂直で頂角を 2 等分するので、直角三角形 $AMD_1$ で $\angle D_1AM=A$、$D_1M=AD_1\sin A=AD\sin A$ である。よって $D_1D_2=2D_1M=2\,AD\sin A$ である。$\square$

方針：lem-fag-fix の下限 $2AD\sin A$ を、$D$ を動かして最小にすると $2h_a\sin A=\dfrac{2S}R$ になる。垂足三角形の周がちょうどこの値になることを示し、等号の条件から一意性を出す。
段 1（どの内接三角形も $2h_a\sin A$ 以上）。$A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足は $D_0$ で、$AD_0=h_a$ である。辺 $BC$ の上のどの点 $D$ についても、三平方の定理から $AD^2=h_a^2+D_0D^2\ge h_a^2$ で、$AD\ge h_a$、等号は $D=D_0$ のときに限る。lem-fag-fix と合わせて
$$ DE+EF+FD\ge2\,AD\sin A\ge2h_a\sin A $$
である。
段 2（$2h_a\sin A=\dfrac{2S}R$）。$S=\dfrac12ah_a$ から $h_a=\dfrac{2S}a$ で、正弦定理 $\dfrac a{\sin A}=2R$（正弦定理（高校数学））から $\dfrac{\sin A}a=\dfrac1{2R}$ である。よって
$$ 2h_a\sin A=2\cdot\frac{2S}a\cdot\sin A=4S\cdot\frac{\sin A}a=\frac{2S}R $$
である。この値は頂点の名前によらない。頂点 $B$、$C$ で同じ計算をしても $2h_b\sin B=2h_c\sin C=\dfrac{2S}R$ である。
段 3（垂足三角形の周）。lem-fag-sides から垂足三角形の周は $a\cos A+b\cos B+c\cos C$ である。正弦定理で $a=2R\sin A$ などと書き、2 倍角の公式 $2\sin A\cos A=\sin2A$ を使うと
$$ a\cos A+b\cos B+c\cos C=R(\sin2A+\sin2B+\sin2C) $$
である。和積の公式と $A+B=180^\circ-C$ から
$$ \sin2A+\sin2B=2\sin(A+B)\cos(A-B)=2\sin C\cos(A-B) $$
であり、$\cos C=-\cos(A+B)$ から $\sin2C=2\sin C\cos C=-2\sin C\cos(A+B)$ である（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）。足すと、加法定理 $\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B$ により
$$ \sin2A+\sin2B+\sin2C=2\sin C\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr)=4\sin A\sin B\sin C $$
である。一方、$S=\dfrac12ab\sin C=\dfrac12(2R\sin A)(2R\sin B)\sin C=2R^2\sin A\sin B\sin C$ なので $\dfrac{2S}R=4R\sin A\sin B\sin C$ である。よって
$$ a\cos A+b\cos B+c\cos C=4R\sin A\sin B\sin C=\frac{2S}R $$
である。
段 4（最小値）。段 1〜段 3 から、どの内接三角形の周も $\dfrac{2S}R$ 以上で、垂足三角形の周はちょうど $\dfrac{2S}R$ である。これで不等式と、垂足三角形で等号が成り立つことが示せた。
段 5（等号はほかにない）。$DE+EF+FD=\dfrac{2S}R$ とする。段 1 の不等式がすべて等号なので $AD=h_a$、つまり $D=D_0$ である。頂点の名前を $A\to B\to C\to A$ と回して段 1 を頂点 $B$ に使う（辺 $CA$ の上の点 $E$ を固定し、直線 $BC$、$BA$ に関して折り返す）と、$DE+EF+FD\ge2\,BE\sin B\ge2h_b\sin B=\dfrac{2S}R$ で、等号から $BE=h_b$、つまり $E=E_0$ である。頂点 $C$ でも同じく $F=F_0$ である。$\square$

段 1（(1)）。lem-fag-sides の証明の段 3 で、三角形 $BF_0D_0$ は三角形 $BCA$ と相似で、$F_0$ と $C$、$D_0$ と $A$ が対応する。よって $\angle BD_0F_0=\angle BAC=A$、$\angle BF_0D_0=\angle BCA=C$ である。三角形 $CD_0E_0$ は三角形 $CAB$ と相似で $D_0$ と $A$ が対応するので、$\angle CD_0E_0=A$ である。$\angle AF_0E_0=C$、$\angle AE_0F_0=B$ は lem-fag-sides の主張そのもの、$\angle CE_0D_0=B$ は三角形 $CD_0E_0$ と三角形 $CAB$ の相似で $E_0$ と $B$ が対応することから出る。
段 2（(2)）。$AD_0\perp BC$ なので、$\angle F_0D_0A=90^\circ-\angle BD_0F_0=90^\circ-A$、$\angle AD_0E_0=90^\circ-\angle CD_0E_0=90^\circ-A$ で、2 つは等しい。$F_0$、$E_0$ は直線 $AD_0$ の反対側にあるので、$AD_0$ は $\angle F_0D_0E_0$ を 2 等分する。$E_0$、$F_0$ でも同じである。垂足三角形の 3 つの角の 2 等分線は、三角形 $ABC$ の 3 本の垂線で、それらは垂心 $H$ で交わる。角の 2 等分線の交点は内心なので、$H$ は垂足三角形の内心である。$\square$

要点：lem-fag-fix と同じく $D$ を 2 辺で折り返すが、$2A\ge180^\circ$ なので線分 $D_1D_2$ は $A$ の反対側を通り、下限にならない。代わりに、$D_1$、$D_2$ から $A$ へ向かう向きの成分で $FD_1$、$ED_2$ を下から押さえ、$\cos A\le0$ を使って $DE+EF+FD\ge AD_1+AD_2=2AD\ge2h_a$ を示す。