代数的局所コホモロジーと解析的支持コホモロジーの比較

$I^m$ で殺される切断は、$I$ が単位イデアルになる $X\setminus Z$ 上で零になる。したがって上の包含は任意の $G$ について定まり、$G$ の射と可換である。入射分解への持ち上げの一意性は鎖ホモトピーまでの一意性なので、導来圏の射は分解の選択によらない。
フィルター付き帰納極限と芽をとる関手は加群層の圏で完全である。したがって左側のコホモロジーの芽は
$$ \varinjlim_m\operatorname{Ext}_{\mathcal O_{X,x}}^q(\mathcal O_{X,x}/I_x^m,F_x) =H_{I_x}^q(F_x) $$
となる。層の $\mathcal Ext$ と局所環の $\operatorname{Ext}$ の比較には、$\mathcal O_X/I^m$ の自由分解のうち $q$ 次の計算に必要な有限部分を近傍に代表すればよい。連接性により有限個の行列と関係を同じ近傍にとれる。ここでは特異な $X$ 上の有限長自由分解は仮定していない。
帰納系の射は $\mathcal O_X/I^{m+1}\longrightarrow\mathcal O_X/I^m$ との前合成である。各項でこの前合成と支持関手への包含は可換だから、極限をとった射も可換である。短完全列の境界射との可換性は、同じ複体の射から得られるコホモロジー長完全列の自然性による。開制限との可換性も、支持と冪で消える条件が局所的であることから従う。$\square$

要点は正則元で割った商への帰納である。Ext では $J$ の作用が零になり、局所コホモロジーでは各元が $J$ の冪で消えることを使う。

最初に多重円板 $P=D_1\times\cdots\times D_n$ と座標部分多様体 $A=\{z_1=\cdots=z_c=0\}$ を考える。$P\setminus A$ を $P_i=\{z_i\ne0\}$ で覆う。$S\subset\{1,\ldots,c\}$ に対する交叉 $P_S$ は円板と穿孔円板の積である。これらは Stein 多様体である。実際、座標は点を分離し局所座標を与え、コンパクト集合の正則凸包は座標関数の絶対値で外から、穿孔変数の逆数の絶対値で内から抑えられるため、領域内でコンパクトになる。定理 B（Hor90 Theorem 7.4.3）により構造層の高次コホモロジーが消える。局所化長完全列と Čech 計算から、支持コホモロジーは
$$ C^0=\mathcal O(P),\qquad C^k=\bigoplus_{\lvert S\rvert=k}\mathcal O(P_S)\quad(1\le k\le c) $$
という増大複体で計算される。微分は添字を一つ加える交代制限である。通常の補開集合の Čech 次数は $k-1$ であり、ここでは増大項を次数 $0$ に置いた分だけずれる。定理 B の Čech コホモロジーと導来関手によるコホモロジーの比較は、ここでは距離化可能な領域上で用いる。局所有限縮小細分で切断の局所持ち上げをとると Čech 細分極限が $\delta$ 関手になり、flasque 層の切断延長でその正次数を消去できる。零次は切断の貼り合わせによって大域切断なので、普遍 $\delta$ 関手の一意性から同じ導来関手と一致する。有限被覆の各交叉で非零次数が消える場合の計算は、入射分解との二重複体を二方向に計算すれば得られる。
各 $f\in\mathcal O(P_S)$ を最初の $c$ 変数で多重 Laurent 展開し、負指数をもつ変数の集合が正確に $T$ である部分を集める。$T\subset S$ の場合だけその部分があり、その関数は $P_T$ まで正則に延びる。この収束は次のように確認できる。$P_T$ のコンパクト集合上では、$T$ の変数の絶対値は正の下界をもち、他の変数の絶対値は円板の半径より小さい。それらを挟む内外の積分円を選ぶと、多重 Cauchy 評価により、負指数方向と非負指数方向がそれぞれ比 $1$ 未満の幾何級数の積で抑えられる。したがって部分級数はコンパクト上正規収束する。残りの変数についても同じ評価が使え、パラメータへの正則依存を保つ。
固定した $T$ の成分には、$S\supset T$ を動く有限の交代複体が残る。$T\ne\{1,\ldots,c\}$ なら $j\notin T$ を選ぶ。$j\in S$ の成分から $j$ を取り除き、その昇順位置の符号を掛ける作用を $h$ とする。先ほどの延長により、値は実際に $P_{S\setminus\{j\}}$ 上正則になる。微分 $d$ のうち $j$ を挿入する項は恒等作用を与え、他の添字を挿入する項は順序を入れ替えると符号が反転する。従って $dh+hd=1$ である。$T=\emptyset$ でも増大項を含めて同じ計算ができる。$T$ が全体のときだけ次数 $c$ に一項が残る。ゆえに $q< c$ ではコホモロジーは零である。
滑らかな部分多様体については局所座標でこの場合に帰着する。次に一般の $A$ を、その被約な台の局所次元 $d$ について帰納する。近傍を縮めて有限個の既約成分をとり、$d$ 次元成分の特異集合、異なる $d$ 次元成分の交叉、および低次元成分の和を $B$ とする。解析集合の特異集合は解析的であり、既約成分内で真の解析部分集合の次元は下がるので、$\dim B\le d-1$ である。$A\setminus B$ は $U\setminus B$ 内で互いに交わらない滑らかな $d$ 次元部分多様体の和となる。
$k:U\setminus B\longrightarrow U$ とすると支持の局所化三角は
$$ R\underline\Gamma_B\mathcal O_U\longrightarrow R\underline\Gamma_A\mathcal O_U\longrightarrow Rk_*R\underline\Gamma_{A\setminus B}\mathcal O_{U\setminus B}\longrightarrow $$
を与える。右の複体のコホモロジーは次数 $n-d$ 未満で零である。これは滑らかな場合の結果と、右導来順像がコホモロジーの下限を下げないことによる。左の複体は帰納法により次数 $n-d+1$ 未満で零である。長完全列から中央は次数 $n-d$ 未満で零となる。$d=0$ では局所的に有限個の点なので座標計算が帰納の底を与える。空集合はすべての次数で零である。
最後に、$x$ を通る成分だけを残すように縮め、各成分を純次元にとれば、$x$ の余次元下限を共通近傍で保てる。以上を芽に適用して結論を得る。$\square$

まず
$$ \operatorname{grade}_J M=\inf_{\mathfrak p\supset J}\operatorname{depth}M_{\mathfrak p} $$
を確認する。$M=0$ または $JM=M$ では両辺とも $\infty$ である。それ以外では $J$ 内の最大 $M$ 正則列 $a_1,\ldots,a_g$ をとり、$Q=M/(a_1,\ldots,a_g)M$ とする。最大性により $J$ の各元は $Q$ の零因子である。有限加群の零因子集合は有限個の随伴素イデアルの和集合なので、素イデアル回避補題により $J\subset\mathfrak p\in\operatorname{Ass}Q$ を選べる。$Q_{\mathfrak p}$ は深さ $0$、正則列を戻すと $\operatorname{depth}M_{\mathfrak p}=g$ となる。他の $\mathfrak p'\supset J$ でも、$M_{\mathfrak p'}\ne0$ なら列は正則なままであり、中山の補題により逐次商は非零である。従ってその深さは $g$ 以上である。
有限自由分解を局所化すれば $E^j_{\mathfrak p}=\operatorname{Ext}_{R_{\mathfrak p}}^j(M_{\mathfrak p},R_{\mathfrak p})$ となる。直前の深さの式により、左辺は $\mathfrak p\supset J$ と $E^j_{\mathfrak p}\ne0$ を満たす組についての $\operatorname{ht}\mathfrak p-j$ の下限に等しい。$j$ は $0,\ldots,n$ の有限個なので、$j$ ごとの最小値と交換できる。固定した $j$ の素イデアル集合は $V(J+\operatorname{ann}E^j)$ である。その高さの下限が $V(J)\cap\operatorname{Supp}E^j$ の解析余次元であるから、所望の式を得る。$\square$

thm-vanishing-comparison の解析側の同値を証明する。まず $X=U$ が滑らかな場合を考え、$D=R\mathcal Hom(-,\mathcal O_U)$ と置く。連接層 $N$ の支持を $T$、$A=Z\cap T$ とする。$DN$ は $T$ の外で零なので、支持の局所化三角から $DN\simeq R\underline\Gamma_TDN$ である。支持関手を合成すると交叉の支持になるため
$$ R\underline\Gamma_ZDN\simeq R\underline\Gamma_ADN \simeq R\mathcal Hom(N,R\underline\Gamma_A\mathcal O_U) $$
となる。最後の同型は有限自由分解 $L$ と入射分解 $Q$ で直接確かめられる。$\mathcal Hom(L,Q)$ は有界な幅の入射複体で、各有限自由項との Hom は支持切断と交換する。従って同じ全複体で両辺を計算できる。
$L$ を非正次数に置くと、$\mathcal Hom(L,-)$ はコホモロジーの下限を下げない。lem-scalar-support より
$$ (\mathcal H^kR\underline\Gamma_ZDN)_x=0 \quad(k<\operatorname{codim}_x(Z\cap\operatorname{Supp}N)) $$
を得る。$F$ の双対のコホモロジー層を $E^j=\mathcal Ext^j(F,\mathcal O_U)$ とする。$DF$ の有限切断列の差は $E^j[-j]$ である。これを双対化して支持をとると、対応する差は $(R\underline\Gamma_ZDE^j)[j]$ となり、その下限は
$$ \operatorname{codim}_x(Z\cap\operatorname{Supp}E^j)-j $$
である。grade が $r$ 以上なら lem-grade-dual-support により全ての差が次数 $r$ 未満で零になる。有限切断列の長完全列を順に使い、有限自由分解の二重双対同型 $DDF\simeq F$ を使うと、$R\underline\Gamma_ZF$ も次数 $r$ 未満で零となる。これが (i) から (iii) への含意である。
逆向きには、$K=R\underline\Gamma_ZF$ とし、その芽のコホモロジーが次数 $r$ 未満で零と仮定する。$N=\mathcal O_U/J$ は $Z$ に台をもつから、局所化三角に $R\mathcal Hom(N,-)$ を適用すると
$$ R\mathcal Hom(N,K)\simeq R\mathcal Hom(N,F) $$
を得る。実際、補開集合上で $N$ は零であり、有限自由分解を使うと $R\mathcal Hom(N,Rj_*j^*F)\simeq Rj_*R\mathcal Hom(j^*N,j^*F)=0$ となる。再び非正次数の自由分解からの Hom は下限を下げないので、$\operatorname{Ext}_R^q(R/J,F_x)=0$ が $q< r$ で成り立つ。lem-grade-first-algebra により、grade は $r$ 以上である。
一般の $X$ では $x$ の近傍を滑らかな $U$ へ閉埋め込みし、$F$ を $i_*F$ として扱う。局所環を $R\longrightarrow A=\mathcal O_{X,x}$、$I_x$ の逆像を $J$ とする。$J$ の元とその像は $F_x$ 上で同じ作用をするので、正則列と逐次商が対応し、$\operatorname{grade}_J^RF_x=\operatorname{grade}_{I_x}^AF_x$ である。代数的局所コホモロジーも、有限生成列の増大局所化 Čech 複体が項ごとに一致するので同定される。
解析側では閉埋め込みの順像と支持切断が交換する。この同定はアーベル層の入射分解で確認できる。閉埋め込みの順像は完全で、完全な逆像の右随伴なので入射対象を保つ。また複素解析空間の構造層は整数環上平坦であるから、$\mathcal O$ 加群の入射対象をアーベル層へ忘れても入射的である。したがって解析位相の支持導来の芽も一致する。商環上の入射加群を、滑らかな周囲の環上でも入射的だと仮定する必要はない。
以上で一般の $X$ における (i) と (iii) が得られ、代数側の基本定理と合わせて三条件は同値となる。$r\le0$ では負次数零と grade 非負により全条件が自動的に成立する。$F_x=0$ または $x\notin Z$ では grade は $\infty$ で全次数が零である。$I_x=0$ かつ $F_x\ne0$ なら支持は近傍全体、grade は $0$、零次支持層の芽は $F_x$ である。有限 $g$ では $r=g$ と $r=g+1$ を適用して最初の非零次数が $g$ と分かり、$g=\infty$ では全ての有限 $r$ を使って全次数の消滅を得る。$\square$

まず滑らかな周囲 $U$ 上で考え、$K=R\underline\Gamma_ZF$ とする。消滅定理により $K_x$ は次数 $g$ 未満でコホモロジーをもたない。$N_m=\mathcal O_U/J^m$ は $Z$ に台をもつので、前の証明と同じ局所化三角から
$$ R\mathcal Hom(N_m,K)\simeq R\mathcal Hom(N_m,F) $$
となる。次数 $g$ では下限より下のコホモロジーが零なので、切断列により
$$ \operatorname{Ext}_R^g(R/J^m,F_x) \simeq\operatorname{Hom}_R(R/J^m,(\mathcal H_Z^gF)_x) $$
が自然に得られる。右辺の準同型を $1$ で評価すると、$J^m$ で消える部分加群への同型になる。
この評価と左辺から解析支持層への射は、同じ入射分解の $\mathcal Hom(\mathcal O_U/J^m,Q^\bullet)\longrightarrow\underline\Gamma_ZQ^\bullet$ によって与えられる。従ってその合成は、定義した比較射の有限段階そのものである。$m$ の帰納極限をとると、右辺は $J$ のある冪で消える元全体となる。この包含が単射なので $c_x^g$ も単射である。
閉埋め込みによる代数的局所コホモロジーの同定は、次数 $0$ の同じ支持包含と可換な自然 $\delta$ 関手の同定である。したがって指定比較射も同定される。$J$ と $I_x$ の作用の像は同じなので、冪で消える部分も一致し、一般の $X$ で結論を得る。$\square$

もしその類が像に入れば、ある $m\ge0$ と原点近傍で正則な $f,h$ が存在して、十分小さい穿孔円板上で
$$ \exp(1/z)-f(z)/z^m=h(z) $$
となる。従って $z^m\exp(1/z)=f(z)+z^mh(z)$ は原点で正則に延びる。しかし
$$ \exp(1/z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{-k}}{k!} $$
は任意の穿孔コンパクト環上正規収束し、$z^m$ を掛けても $k>m$ の負べきが残る。Laurent 展開の一意性に反する。よって像には入らない。
一方 $f/z^m$ の解析側の類が零なら、その分数自身が原点で正則に延びるので、代数側でも零である。従って比較射は単射である。これは thm-first-image の $g=1$ の場合を直接に確認している。$\square$

$r>0$ について述べればよい。grade の Ext による特徴づけから、有限個の連接層 $\mathcal Ext^q(\mathcal O_X/I,F)$、$0\le q< r$ の $x$ における芽は零である。連接層の零芽はある近傍で零なので、有限個の共通近傍 $V$ を選べる。各 $y\in V$ で再び grade の特徴づけを使えば $\operatorname{grade}_{I_y}F_y\ge r$ となる。比較定理を各点へ適用すると低次の支持層が $V$ 全体で零になる。
支持の局所大域スペクトル系列
$$ E_2^{a,b}=H^a(W,\mathcal H_Z^bF)\Longrightarrow H_Z^{a+b}(W,F) $$
は第一象限にある。$a+b< r$ なら $b< r$ なので、該当する項は全て零である。従ってその総次数の群も零となる。$W$ の Stein 性は不要である。$\square$