加法的汎関数
概要
加法的汎関数（additive functional）とは、Markov 過程 $X_t$ に適合した右連続な過程 $A_t$ で、$A_0=0$ かつシフト $\theta_s$ について $A_{s+t}=A_s+A_t\circ\theta_s$ を満たすものである。時間積分 $\int_0^tf(X_s)\,ds$、Brown 運動の局所時間、跳躍の回数、関数の増分 $u(X_t)-u(X_0)$ が典型例である。$e^{-A_t}$ は Feynman–Kac 型の半群を与え、$A$ の逆関数は時間変更を与える。正則な Dirichlet 形式に対応する対称な過程では、非負で連続な加法的汎関数は滑らかな測度と 1 対 1 に対応する（Revuz 対応）。
前提知識: Markov連鎖, Brown運動, マルチンゲール, Dirichlet形式(確率論)
加法的汎関数（additive functional）は、Markov 過程の道に沿って値を積み重ねていく過程 $A_t$ で、時刻 $s+t$ までの量が「時刻 $s$ までの量」と「時刻 $s$ から測り直した長さ $t$ の量」の和になるものである。典型例は、関数 $f$ の時間積分 $\int_0^tf(X_s)\,ds$、ある点に滞在した時間を測る局所時間、跳躍の回数である。関数の増分 $u(X_t)-u(X_0)$ もこの形である。
定義の式 $A_{s+t}=A_s+A_t\circ\theta_s$ は、$A$ が過程の時間一様性と両立することを述べている。このため、加法的汎関数は Markov 過程の変換の道具になる。$e^{-A_t}$ を掛けると半群が得られ（prop-af-feynman-kac）、$A$ の逆関数で時間を変更すると別の Markov 過程が得られる。対称な過程では、非負で連続な加法的汎関数は状態空間の上の滑らかな測度と 1 対 1 に対応し（thm-af-revuz）、対応する Dirichlet形式(確率論) の言葉で調べることができる。
この記事では、基本的な性質、Feynman–Kac 型の半群、ポテンシャルによる一意性（thm-af-unique）を証明し、測度との対応を時間積分と局所時間で確かめる。対応の一般の存在定理は引用する。関数の増分の分解そのものは 福島分解 で扱う。組合せ論の木のパラメータなど、別の分野で additive functional と呼ばれるものとは関係がない。
定義
$E$ を可分距離空間とし、$(X_t,\mathcal F_t,P_x)$ を $E$ の上の右連続な道をもつ Markov 過程、$\theta_s$ を $X_t\circ\theta_s=X_{t+s}$ を満たすシフトとする。フィルトレーション $(\mathcal F_t)$ は完備で右連続とし、簡単のため、過程は消滅しないとする。$\mathcal F_\infty$-可測で有界または非負の $Y$ について、Markov 性 $E_x[Y\circ\theta_s\mid\mathcal F_s]=E_{X_s}[Y]$ が成り立つとする。$p_tf(x):=E_x[f(X_t)]$ とおく。
実数値の過程 $A=(A_t)_{t\ge0}$ が加法的汎関数（AF）であるとは、次を満たす $\Lambda\in\mathcal F_\infty$ が存在することをいう：すべての $x$ で $P_x(\Lambda)=1$、すべての $t>0$ で $\theta_t\Lambda\subset\Lambda$ であり、
- 各 $t$ で $A_t$ は $\mathcal F_t$-可測である（$\Lambda$ の上で）。
- $\omega\in\Lambda$ で $t\mapsto A_t(\omega)$ は右連続で左極限をもち、$A_0(\omega)=0$ である。
- $\omega\in\Lambda$ とすべての $s,t\ge0$ で $A_{s+t}(\omega)=A_s(\omega)+A_t(\theta_s\omega)$ である。
$\Lambda$ の上で $t\mapsto A_t$ が連続なら連続な AF（CAF）、連続で $A_t\ge 0$ なら正の連続な AF（PCAF）という。正値性と加法性から PCAF は $t$ について非減少である。
例
$f$ が有界 Borel 関数のとき $A_t:=\int_0^tf(X_s)\,ds$ は CAF である。$\Lambda=\Omega$ でよく、加法性は $\int_s^{s+t}f(X_r)\,dr=\bigl(\int_0^tf(X_r)\,dr\bigr)\circ\theta_s$ による。$f\ge0$ なら PCAF である。離散時間では $\sum_{k< n}f(X_k)$ がこれにあたる。
$t\mapsto u(X_t)$ が右連続で左極限をもつような関数 $u$ について、$A_t:=u(X_t)-u(X_0)$ は AF である。実際 $A_s+A_t\circ\theta_s=u(X_s)-u(X_0)+u(X_{s+t})-u(X_s)=A_{s+t}$ である。$A$ の性質が $u$ のなめらかさを映すので、この AF を分解することが意味をもつ（福島分解）。
$X$ を $\mathbb R$ の上の Brown運動（$P_x$ は $x$ から出発）、$a\in\mathbb R$ とする。田中の公式 の局所時間 $L^a$ は PCAF である。田中の公式 の証明のとおり、$\varepsilon_n:=4^{-n}$ の軟化核 $\rho_{\varepsilon_n}$ について $L^{a,n}_t:=\int_0^t\rho_{\varepsilon_n}(X_s-a)\,ds$ は、どの $x$ についても $P_x$ で確率 $1$ で各有界区間の上で一様に $L^a$ に収束する（$P_x$ の下の $L^a$ は、$0$ から出発する $X-x$ の水準 $a-x$ の局所時間である。列 $\varepsilon_n$ は $x$ によらない）。$\Lambda$ を「$L^{a,n}_\cdot(\omega)$ が各有界区間の上で一様に収束する」事象とする。$L^{a,n}$ は加法的なので、$\omega\in\Lambda$ なら $L^{a,n}_t\circ\theta_s=L^{a,n}_{s+t}-L^{a,n}_s$ も一様に収束し、$\theta_s\omega\in\Lambda$ である。極限をとって $L^a$ の加法性を得る。$L^a$ は $X_s=a$ となる時刻でしか増えない。
$X$ を有限集合の上の連続時間の Markov連鎖、遷移率を $q(x,y)$ とする。$x\ne y$ を固定し、$N_t$ を時刻 $t$ までの $x$ から $y$ への跳躍の回数とする。$N$ は不連続な AF である。さらに $M_t:=N_t-q(x,y)\int_0^t1_{\{x\}}(X_s)\,ds$ は AF で、$E_z[M_t]=0$ である。実際、$h\downarrow0$ で区間 $(t,t+h]$ に $2$ 回以上跳ぶ確率は $O(h^2)$、$X_t=x$ のもとで $y$ へ跳ぶ確率は $q(x,y)h+O(h^2)$ なので、$\frac d{dt}E_z[N_t]=q(x,y)P_z(X_t=x)$ である。したがって prop-af-martingale により $M$ はマルチンゲールである。
基本的な性質
AF $A$ が、各 $t$ で $\sup_xE_x\lvert A_t\rvert<\infty$、すべての $x,t$ で $E_x[A_t]=0$ を満たせば、$A$ は各 $P_x$ についてマルチンゲールである。
加法性により $A_{s+t}-A_s=A_t\circ\theta_s$ である。Markov 性を非負の $Y=\lvert A_t\rvert$ に当てると $E_x[\lvert A_t\rvert\circ\theta_s]\le\sup_yE_y\lvert A_t\rvert<\infty$ である。さらに Markov 性は可積分な $Y=A_t$ にも延びる。よって $E_x[A_{s+t}-A_s\mid\mathcal F_s]=E_{X_s}[A_t]=0$ である。$\square$
$A$ を AF で、各 $t$ で $e^{-A_t}$ が有界であるものとする。有界 Borel 関数 $f$ について
$$
S_tf(x):=E_x\bigl[e^{-A_t}f(X_t)\bigr]
$$
とおくと $S_{s+t}=S_sS_t$ である。
$e^{-A_{s+t}}f(X_{s+t})=e^{-A_s}\cdot\bigl(e^{-A_t}f(X_t)\bigr)\circ\theta_s$ である。$e^{-A_s}$ は $\mathcal F_s$-可測なので、Markov 性により
$$
S_{s+t}f(x)=E_x\bigl[e^{-A_s}E_{X_s}[e^{-A_t}f(X_t)]\bigr]=S_s(S_tf)(x)
$$
である。$\square$
$M_t:=e^{-A_t}$ は $M_{s+t}=M_s\cdot M_t\circ\theta_s$ を満たす。これを乗法的汎関数という。$A\ge0$ のとき $M_t$ は「時刻 $t$ まで消滅しない確率」と解釈できる。$A_t=\int_0^tV(X_s)\,ds$（$V\ge0$ は有界）なら、$1-e^{-A_t}=\int_0^tV(X_s)e^{-(A_t-A_s)}\,ds$ と Markov 性から $S_t=T_t-\int_0^tT_sVS_{t-s}\,ds$（$T_t:=p_t$）である。これは、$L$ を $X$ の生成作用素として $S_t$ が $L-V$ の半群であることを述べる摂動の式で、過程は位置 $x$ にいるとき率 $V(x)$ で消滅する。Brown 運動では $L-V=\frac12\Delta-V$ で、これが Feynman–Kac の公式である。
$m$ 対称な過程では、$S_t$ に対応する形式は $\mathcal E(u,u)+\int Vu^2\,dm$ である（Dirichlet形式(確率論) の例）。より一般に、正の Radon 測度 $k$ が容量 $0$ の集合に質量をもたないとき、$k$ に対応する PCAF $A$ による $e^{-A_t}$ の変換は、正則な形式 $\mathcal E$ を $\mathcal F\cap L^2(k)$ の上の $\mathcal E+(\cdot,\cdot)_k$ に変える（LY15 (2.14)、p. 9。この記事では証明しない）。形式に消滅の項 $(\cdot,\cdot)_k$ を足すことが、過程を $A$ に従って消滅させることにあたる。
ポテンシャルと一意性
$A$ を PCAF、$\alpha\ge0$ とする。
$$
u_A^\alpha(x):=E_x\Bigl[\int_0^\infty e^{-\alpha t}\,dA_t\Bigr]
$$
を $A$ の $\alpha$ ポテンシャルという（値 $+\infty$ を許す）。
$A$ を PCAF、$Y:=\int_0^\infty e^{-\alpha s}\,dA_s$ とする。$u:=u_A^\alpha$ について、
$$
Y=\int_0^te^{-\alpha s}\,dA_s+e^{-\alpha t}\,Y\circ\theta_t
$$
であり、$e^{-\alpha t}p_tu(x)=E_x\bigl[\int_t^\infty e^{-\alpha s}\,dA_s\bigr]$ である。とくに $t\downarrow0$ で $e^{-\alpha t}p_tu(x)\uparrow u(x)$ である。
加法性から $dA_{t+s}=d(A_s\circ\theta_t)$ なので、$\int_t^\infty e^{-\alpha s}\,dA_s=e^{-\alpha t}\int_0^\infty e^{-\alpha s}\,d(A_s\circ\theta_t)=e^{-\alpha t}\,Y\circ\theta_t$ である。期待値をとり Markov 性を使うと 2 つ目の式を得る。$t\downarrow0$ で $\int_t^\infty e^{-\alpha s}\,dA_s\uparrow Y$（$A$ は連続）なので、単調収束定理から最後の主張を得る。$\square$
$u$ は $e^{-\alpha t}p_tu\le u$ を満たし、$t\downarrow0$ で $u$ に増加する。このような関数を $\alpha$ 過剰関数（$\alpha$-excessive）という。ポテンシャルは AF を確率過程から関数へ写す。次の定理は、この写像が単射であることを述べている。
$A,B$ を PCAF、$\alpha\ge0$ とする。すべての $x$ で $u_A^\alpha(x)=u_B^\alpha(x)<\infty$ なら、すべての $x$ で $P_x$-a.s. に $A=B$ である。
$x$ を固定し $P=P_x$ とする。$Y_A:=\int_0^\infty e^{-\alpha s}\,dA_s$ は可積分で、prop-af-potential の分解と Markov 性から、各 $t$ で
$$
E[Y_A\mid\mathcal F_t]=\int_0^te^{-\alpha s}\,dA_s+e^{-\alpha t}u_A^\alpha(X_t)
$$
である。$B$ についても同様である。ポテンシャルが等しいので、$D_t:=\int_0^te^{-\alpha s}\,d(A-B)_s$ について $D_t=E[Y_A-Y_B\mid\mathcal F_t]$ であり、$D$ は連続なマルチンゲールである。
連続で有界変動のマルチンゲールは定数である。実際、$\tau_n:=\inf\{t:A_t+B_t\ge n\}$ とおくと、停止した過程 $D^{(n)}:=D_{\cdot\wedge\tau_n}$ は $\lvert D^{(n)}\rvert\le n$ の連続な過程で、$s\le t$ について $E[D^{(n)}_t\mid\mathcal F_{s\wedge\tau_n}]=D^{(n)}_s$ を満たす（Doobの任意抽出定理 の連続時間版、MP10 Proposition 2.42、p. 54。この記事では証明しない）。$[0,T]$ の分割 $(t_k)$ について、増分の直交性から
$$
E\bigl[(D^{(n)}_T)^2\bigr]=E\Bigl[\sum_k(D^{(n)}_{t_{k+1}}-D^{(n)}_{t_k})^2\Bigr]\le n\,E\Bigl[\max_k\lvert D^{(n)}_{t_{k+1}}-D^{(n)}_{t_k}\rvert\Bigr]
$$
であり、最後の期待値は分割を細かくすると一様連続性と有界収束定理により $0$ に近づく。ここで $D^{(n)}$ の全変動が $n$ 以下であることを使った。$n\to\infty$ として $D\equiv0$ である。測度 $e^{-\alpha s}\,dA_s$ と $e^{-\alpha s}\,dB_s$ が等しいので $A=B$ である。$\square$
Mey62 定義 3.3（p. 178）はこのポテンシャルを導入し、ポテンシャルから AF を構成する問題を論じている。連続性の仮定は外せない（反例の節）。
対称な過程と測度の対応
ここからは Dirichlet形式(確率論) の記号を使う。$(\mathcal E,\mathcal F)$ を局所コンパクト可分距離空間の上の $L^2(m)$ の正則な Dirichlet 形式、$X$ を対応する $m$ 対称な Hunt 過程とする。AF の定義は容量 $0$ の例外集合を除く形（rem-af-variants）で読む。$P_m:=\int P_x\,m(dx)$ とする。容量 $0$ の集合に質量をもたない正の Borel 測度 $\mu$ で、閉集合の増大列 $(F_k)$（nest）について $\mu(F_k)<\infty$ となるものを滑らかな測度（smooth measure）という（Ooi25 定義 2.3、p. 5。nest の定義は同定義 2.1）。
PCAF $A$ に対し、滑らかな測度 $\mu_A$ が唯一つ存在して、すべての非負 Borel 関数 $f$ について
$$
\int f\,d\mu_A=\lim_{t\downarrow0}\frac1tE_m\Bigl[\int_0^tf(X_s)\,dA_s\Bigr]
$$
が成り立つ。逆に滑らかな測度 $\mu$ に対し、$\mu=\mu_A$ となる PCAF $A$ が $m$ 同値（$\int P_x(A_t\ne B_t)\,m(dx)=0$）を除いて唯一つ存在する。
以下、$X$ は保存的（$p_t1=1$）とする。このとき $m$ は不変である。すなわち $P_m$ の下で $X_t$ の分布はつねに $m$ である。
$A$ を PCAF、$f\ge0$ を Borel 関数とする。$\phi(t):=E_m[\int_0^tf(X_s)\,dA_s]$ は $\phi(s+t)=\phi(s)+\phi(t)$ を満たす。とくに $\phi<\infty$ なら $\phi(t)=t\int f\,d\mu_A$ である。
$(f\cdot A)_t:=\int_0^tf(X_s)\,dA_s$ は加法的で、$(f\cdot A)_t\circ\theta_s$ の $P_m$ の下の期待値は $\int p_sh\,dm=\int h\,dm$（$h(x):=E_x[(f\cdot A)_t]$）である。単調で加法的な関数は線形である。傾きは thm-af-revuz の式である。$\square$
$A_t=\int_0^tf(X_s)\,ds$（$f\ge0$ は有界）について $\mu_A=f\cdot m$ である。実際、$g\ge0$ について $E_m[\int_0^tg(X_s)f(X_s)\,ds]=t\int gf\,dm$ である。とくに $A_t=t$ の Revuz 測度は $m$ である。
$\mathbb R$ の上の Brown 運動（$m$ は Lebesgue 測度）と $L^a$ について $\mu_{L^a}=\delta_a$ である。$L^a$ は $X_s=a$ でしか増えないので、$\int_0^tf(X_s)\,dL^a_s=f(a)L^a_t$ である。田中の公式 の局所時間の性質により $E_x[L^a_t]=\int_0^tp_s(a-x)\,ds$（$p_s$ は $N(0,s)$ の密度）なので、Tonelli の定理から
$$
E_m[L^a_t]=\int_0^t\int p_s(a-x)\,dx\,ds=t
$$
である。よって $\frac1tE_m[\int_0^tf(X_s)\,dL^a_s]=f(a)$ である。$d=1$ の Brown 運動では点の容量が正なので、$\delta_a$ は滑らかである。Ooi25（p. 5）はこの例を一般の過程について述べている。
| PCAF | Revuz 測度 |
|---|---|
| $t$ | $m$ |
| $\int_0^tf(X_s)\,ds$ | $f\cdot m$ |
| 局所時間 $L^a_t$ | $\delta_a$ |
| マルチンゲール $M$ の予測可能 2 次変分 $\langle M\rangle_t$ | $M$ のエネルギー測度 |
マルチンゲール加法的汎関数とエネルギー
AF $M$ で、$E_x[M_t^2]<\infty$、$E_x[M_t]=0$ を満たすものをマルチンゲール加法的汎関数（MAF）という。MAF に対して PCAF $\langle M\rangle$ で $E_x[M_t^2]=E_x[\langle M\rangle_t]$ を満たすものがある（Ooi25 p. 5。この記事では証明しない）。$\mu_{\langle M\rangle}$ を $M$ のエネルギー測度という。
$X$ が保存的なとき、$M$ を 福島分解 の有限エネルギーの MAF とすると、$e(M):=\lim_{t\downarrow0}\frac1{2t}E_m[M_t^2]$ について
$$
e(M)=\frac12\mu_{\langle M\rangle}(X)
$$
である。
$E_m[M_t^2]=E_m[\langle M\rangle_t]$ で、福島分解 の「マルチンゲールのエネルギーの線形性」により左辺は $2t\,e(M)<\infty$ である。prop-af-linear で $f=1$ とすると右辺は $t\,\mu_{\langle M\rangle}(X)$ である。$\square$
$M^{[u]}$ を $u\in\mathcal F$ の福島分解のマルチンゲール部分とすると、福島分解 により $e(M^{[u]})=\mathcal E(u,u)$ なので、$\mathcal E(u,u)=\frac12\mu_{\langle M^{[u]}\rangle}(X)$ である。形式の値は、エネルギー測度の全質量の半分である。
$\mathbb R^d$ の上の Brown 運動と $u\in C_c^\infty(\mathbb R^d)$ について、伊藤の公式 から $M^{[u]}_t=\int_0^t\nabla u(X_s)\cdot dB_s$、$\langle M^{[u]}\rangle_t=\int_0^t\lvert\nabla u\rvert^2(X_s)\,ds$ である。ex-af-revuz-time からエネルギー測度は $\lvert\nabla u\rvert^2\,dx$ で、$\frac12\int\lvert\nabla u\rvert^2\,dx=\mathcal E(u,u)$ と一致する。
有限集合の上の $m$ 対称な連鎖で、遷移率を $q(x,y)$ とする。$L$ を生成作用素とすると $M_t:=u(X_t)-u(X_0)-\int_0^tLu(X_s)\,ds$ は MAF で、$\langle M\rangle_t=\int_0^t\Gamma(u)(X_s)\,ds$、$\Gamma(u)(x):=\sum_{y\ne x}q(x,y)(u(y)-u(x))^2$ である。$h\downarrow0$ で $E_x[M_h^2]=\Gamma(u)(x)h+O(h^2)$ となることと、増分の直交性と Markov 性から $\frac d{dt}E_x[M_t^2]=p_t\Gamma(u)(x)$ となるので、$E_x[M_t^2]=E_x[\int_0^t\Gamma(u)(X_s)\,ds]$ である。Revuz 測度は $\Gamma(u)\cdot m$ で、$\frac12\sum_xm(x)\Gamma(u)(x)=\mathcal E(u,u)$ である。
時間変更
$A$ を PCAF で、$\Lambda$ の上で狭義増加かつ $A_t\to\infty$（$t\to\infty$）とする。$\tau_t:=\inf\{s:A_s>t\}$ とおくと、$Y_t:=X_{\tau_t}$ は再び Markov 過程である（この記事では証明しない）。これを時間変更という。時計 $A$ の速さの分だけ、$X$ の動きを遅くしたものにあたる。
形式の側では変化はきわめて単純である。Radon な滑らかな測度 $\mu$ が全空間を準台（quasi support）にもつとき、$\mu$ に対応する PCAF による時間変更は $\mu$ 対称で、形式は $L^2(\mu)$ の上で同じ式 $\mathcal E$ で与えられ、定義域は拡大 Dirichlet 空間 $\mathcal F_e$（$\mathcal E$ について Cauchy な $\mathcal F$ の列の $m$-a.e. 極限の全体）と $L^2(\mu)$ の交わりである（LY15 (2.13)、p. 7。この記事では証明しない）。基準測度を $m$ から $\mu$ に替えても $\mathcal E$ の式は変わらない。
有限集合の上の $m$ 対称な連鎖、$c>0$ を関数とし、$A_t=\int_0^tc(X_s)\,ds$ とする。$\mu_A=c\cdot m$ である。$X$ が $x$ に滞在する時間は $A$ の時計で $c(x)$ 倍に伸びるので、$Y$ の遷移率は $q(x,y)/c(x)$、生成作用素は $c^{-1}L$ である。$(-c^{-1}Lu,v)_{c\cdot m}=(-Lu,v)_m=\mathcal E(u,v)$ なので、形式は変わらず基準測度だけが $c\cdot m$ に替わる。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 加法性 | Brown 運動、$f$ は定数でない有界連続関数、$A_t=tf(X_0)$ | 適合で連続だが $A_t\circ\theta_s=tf(X_s)$ で AF でない |
| 適合性 | Brown 運動、$g$ は定数でない有界連続関数、$A_t=g(X_{t+1})-g(X_1)$ | 右連続性と加法性は満たすが $A_t$ は未来に依存し、prop-af-feynman-kac の証明が使えない |
| 連続性 | 率 $1$ の Poisson 過程 $X$、$A_t=X_t-X_0$、$B_t=t$ | ポテンシャルは等しいが $A\ne B$ で、thm-af-unique が成り立たない |
| ポテンシャルの有限性 | $\mathbb R$ の上の Brown 運動、$\alpha=0$、$A_t=t$、$B_t=2t$ | $u_A^0=u_B^0=\infty$ だが $A\ne B$ |
| 測度の滑らかさ | $\mathbb R^2$ の上の Brown 運動、$\mu=\delta_0$ | $\mu_A=\mu$ となる PCAF がない |
確かめを開く
1 行目：$A_{s+t}=(s+t)f(X_0)$ と $A_s+A_t\circ\theta_s=sf(X_0)+tf(X_s)$ は $f(X_s)\ne f(X_0)$ のとき異なる。
2 行目：$A_0=0$、右連続性、加法性 $A_s+A_t\circ\theta_s=g(X_{s+1})-g(X_1)+g(X_{s+t+1})-g(X_{s+1})=A_{s+t}$ は成り立つ。$g(X_{t+1})$ は $\mathcal F_t$ を与えても定まらないので適合でない。prop-af-feynman-kac の証明は $e^{-A_s}$ を条件付き期待値の外に出す段で適合性を使う。
3 行目：$N_t:=X_t-X_0$ は跳躍の回数で、$N_t-t$ はマルチンゲールなので、$\alpha>0$ で $E_x[\int_0^\infty e^{-\alpha t}\,dN_t]=\int_0^\infty e^{-\alpha t}\,dt=1/\alpha$ である。$B_t=t$ のポテンシャルも $1/\alpha$ である。$A$ は不連続な非負の AF で、$B$ は PCAF である。prf-af-unique では $D$ の連続性を使っているが、ここでは $D=\int_0^te^{-\alpha s}\,d(N-s)_s$ は不連続で有界変動の、$0$ でないマルチンゲールである。
4 行目：$A_\infty=B_\infty=\infty$ である。定理の仮定の有限性だけが破れている。
5 行目：MP10 Corollary 2.26（p. 47）と Markov 性により、$\mathbb R^2$ の Brown 運動は $x\ne0$ から出発して確率 $1$ で原点に到達しない。$\mu_A=\delta_0$ となる PCAF $A$ があるとする。$f:=1_{\mathbb R^2\setminus\{0\}}$ について $\int f\,d\mu_A=0$ なので、thm-af-revuz の極限は $0$ で、prop-af-linear により $E_m[\int_0^tf(X_s)\,dA_s]=0$ である。よって $m$-a.e. の $x$ で、$P_x$-a.s. に $A$ は $X_s\ne0$ となる時刻で増えない。そのような $x\neq0$ では時刻はすべて $X_s\ne0$ なので、$A\equiv0$ である。すると $\mu_A=0$ となり矛盾する。$\delta_0$ は Radon 測度だが容量 $0$ の集合 $\{0\}$ に質量をもつので、滑らかでない。$d=1$ の局所時間の例との違いは、この点にある。
関連項目
- 前提: Markov連鎖, Brown運動, マルチンゲール, Dirichlet形式(確率論)
- 例: 田中の公式, 伊藤の公式
- 直後に読む: 福島分解
- 関連: 容量(ポテンシャル論), Poisson過程
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
