Néronモデル

局所の場合、Néron モデルの構成は Hensel 化 $R^h$、狭義 Hensel 化 $R^{sh}$ との基底変換と両立する（prop-neron-model-points の証明と同じ極限の議論で、prop-neron-model-etale-base-change から従う）。完備化 $\hat R$ との両立は一般には条件を要するが、アーベル多様体の Néron モデルについては成り立つ。これらは BLR90 §1.2 および §7.2 を参照。

前半（各閉点の局所環への基底変換による判定）の証明は BLR90 §1.2 に、後半（貼り合わせ）の証明は BLR90 §1.4 に譲る。アーベル多様体では、良い還元をもつ閉点全体が稠密開集合をなし、その上ではアーベルスキームが Néron モデルになる（thm-neron-model-good-reduction）ので、大域の存在は局所の存在に帰着する。

Néron の原論文 Nér64 による。現代的な証明は BLR90 §1.3（局所）・§1.4（大域）に述べられ、第 3 章から第 6 章で完成する。骨子は、$A_K$ の固有なモデルの「平滑化」（第 3 章）で弱い Néron モデルを作り、群法則を有理写像としての双有理群法則に延長し（第 4 章）、そこから群スキームを構成し（第 5 章）、狭義 Hensel 化からの降下（第 6 章）で一般の $R$ に戻る、というものである。解説として Art86 と Sil94 第 IV 章がある。固有でない群スキームの Néron lft モデルについては BLR90 第 10 章を参照。

証明は BLR90 §1.2 と §7.4 に譲り、筋だけ述べる。2 から 3 は明らかである。3 から 1 は次のようにする。固有性は忠実平坦（忠実平坦射）な基底変換で降下し、$G:=\mathcal{A}^0$ の $\hat R$ への基底変換も滑らかで特殊ファイバーが $G_k$ のままなので、$R$ は完備としてよい。$G$ は整で（$R$ 上滑らかなので正規、生成ファイバー $A_K$ が既約で稠密なので既約）、Nagata のコンパクト化定理（Nagataのコンパクト化定理）による固有な $R$ スキーム $\bar G\supset G$ の正規化 $\bar G^\nu$ をとる（$R$ は優秀（優秀環）なので $\bar G^\nu\to\bar G$ は有限）。$\Gamma(\bar G^\nu,\mathcal{O})$ は $R$ 上有限で整閉、かつ $\Gamma(A_K,\mathcal{O})=K$ に含まれるので $R$ に等しく、Zariski の連結性定理（Zariskiの連結性定理）により $\bar G^\nu_k$ は連結である。$G_k$ は $\bar G^\nu_k$ の空でない開集合で、固有なので閉集合でもあり、$G_k=\bar G^\nu_k$ である。$\bar G^\nu\setminus G$ は $R$ 上固有な閉集合で、空でなければその像が閉点を含むはずだが特殊ファイバーと交わらないので、空であり、$G=\bar G^\nu$ は固有で、$G$ はアーベルスキームである。このとき 1 から 2 により $G$ が Néron モデルなので $\mathcal{A}=\mathcal{A}^0$ となる。1 から 2 が本質で、アーベルスキーム $\mathcal{B}$ が写像性質を満たすことを示す（示せば prop-neron-model-uniqueness により $\mathcal{A}\cong\mathcal{B}$）。$Y$ を $R$ 上滑らかなスキーム、$u_K\colon Y_K\to\mathcal{B}_K$ を $K$ 射とする。$Y$ は正則（正則スキーム）であり、余次元 $1$ の点 $y$ の局所環 $\mathcal{O}_{Y,y}$ は離散付値環で、その分数体の点は $Y_K$ に属する（$Y$ は $R$ 上平坦なので既約成分（既約成分）の生成点はすべて $Y_K$ にある）。よって $\mathcal{B}$ の固有性の付値判定法（固有射）により $u_K$ は各余次元 $1$ の点の近傍に延び、$u_K$ は余次元 $2$ 以上の閉集合を除いた開集合 $U\subset Y$ 上の射 $u\colon U\to\mathcal{B}$ に延びる（延長どうしは $\mathcal{B}$ の分離性により重なりで一致する）。ここで Weil の延長定理（Weilの延長定理。BLR90 §4.4 Theorem 1）——正規 Noether スキーム $S$ 上の滑らかなスキームから滑らかで分離的な $S$ 群スキームへの $S$ 有理写像が、余次元 $1$ 以下のすべての点で定義されているならば至る所で定義される——により、$u$ は $Y$ 全体に延びる。一意性は $\mathcal{B}$ の分離性と $Y_K$ の $Y$ における稠密性（稠密）による。この議論は、$\mathcal{B}$ が固有であることと群スキームであることの両方を使っている。固有性を外せない理由は ex-neron-model-gm にある。群構造も外せない。たとえば $\mathbb{P}^1_R$ は $\mathbb{P}^1_K$ の滑らかで固有なモデルだが写像性質を満たさない。実際 $Y=\mathbb{A}^1_R=\operatorname{Spec}R[t]$ と $K$ 射 $u_K\colon t\mapsto[t:\pi]$ をとると、延長 $u\colon Y\to\mathbb{P}^1_R$ があれば、閉点 $P=(t,\pi)$ の局所環 $\mathcal{O}_{Y,P}$（正則局所環なので一意分解整域）の元 $f,g$ で、単位イデアルを生成し $f/g=t/\pi$ を満たすものがあることになるが、$f\pi=gt$ と $t,\pi$ が同伴でない素元であることから $f,g$ はともに極大イデアル $(t,\pi)$ に入り、矛盾する。$\mathbb{P}^1_K$ が（どのモデルによっても）Néron モデルをもたないことは BLR90 §1.2 が述べているが、本記事はこれを確かめていない。

Serre–Tate による。証明は BLR90 §7.4 Theorem 5、楕円曲線の場合は Sil09 VII.7.1 に譲る。核心は、$A_K(K^{sh})[\ell^n]=\mathcal{A}(R^{sh})[\ell^n]$（prop-neron-model-points）と、$\ell$ 倍写像が $\mathcal{A}$ 上エタールであることから、還元写像 $\mathcal{A}(R^{sh})[\ell^n]\to\mathcal{A}_k(\bar k)[\ell^n]$ が単射（単射）になる点にある。惰性群の作用が自明なら $\mathcal{A}_k^0$ の $\ell$ 冪捩れ点がアーベル多様体並みに多く、Chevalley の構造定理（rem-neron-model-chevalley）と合わせて $\mathcal{A}_k^0$ がアーベル多様体であることが従う。

$k$ が完全体のとき、Chevalley の構造定理（Chevalleyの構造定理）により $\mathcal{A}_k^0$ は、アーベル多様体 $B$ による連結な線型代数群 $L=T\times U$（$T$ は代数的トーラス、$U$ は単冪群）の拡大（群の拡大）である。$U=0$ のとき $A_K$ は半安定還元（半安定還元）をもつといい、$T=U=0$ が良い還元である。Grothendieck の半安定還元定理によれば、任意のアーベル多様体は $K$ の有限次分離拡大の上で半安定還元をもつ（BLR90 §7.4）。楕円曲線では、良い還元、乗法的還元（$\mathcal{E}_k^0$ がトーラス、ex-neron-model-multiplicative）、加法的還元（$\mathcal{E}_k^0\cong\mathbb{G}_{a,k}$、ex-neron-model-additive）の 3 通りである。

1 と 2 は Sil94 IV.6.1・IV.9.1、BLR90 §1.5、Liu02 §10.2 に譲る。3 の単射性は 2 と prop-neron-model-points から従う（$E(K)=\mathcal{E}(R)$ の点が $\Phi(k)$ の単位元に写ることと、閉点が $\mathcal{E}^0$ に入ること、すなわち $\mathcal{E}^0(R)$ に属することが同値である）。全射性は、Henselの補題による $\mathcal{E}_k(k)\to\mathcal{E}(R)$ の持ち上げと、$\mathcal{E}_k(k)\to\Phi(k)$ の全射性（Liu02 §10.2）による。$\mathcal{C}_k$ の形は Kodaira–Néron の分類（記号 $\mathrm{I}_n$、$\mathrm{II}$、$\mathrm{III}$、$\mathrm{IV}$、$\mathrm{I}_n^*$、$\mathrm{IV}^*$、$\mathrm{III}^*$、$\mathrm{II}^*$）で尽くされ、Tate のアルゴリズムで Weierstrass 方程式から決定できる（Sil94 IV.8–9）。$k$ が代数閉（代数閉体）のとき成分群は、$\mathrm{I}_n$ で $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$\mathrm{II}$・$\mathrm{II}^*$ で $0$、$\mathrm{III}$・$\mathrm{III}^*$ で $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathrm{IV}$・$\mathrm{IV}^*$ で $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、$\mathrm{I}_n^*$ で $n$ が偶数なら $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$、奇数なら $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ である（Sil94 IV.9 Table 4.1）。$R$ が Hensel 局所環で $k$ が有限体のとき、$\Phi(k)$ の位数 $[E(K):E_0(K)]$ が楕円曲線の Tamagawa 数である。

Raynaud Ray70 による。証明は BLR90 §9.5 Theorem 4 に譲る（表現可能性の部分は BLR90 §9.4）。言明のうち、表現可能性の仮定の細部と $\mathcal{N}^0=P^0/(P^0\cap E)$ の形は原典の言明を本記事が要約したもので、本記事はその細部を確かめていない。この定理により、曲線束の Brauer 群の計算で現れる層 $i_*J_K$ は、Néron モデル $\mathcal{N}$ の定めるエタール層として、相対 Picard 関手から読み取れる（prop-neron-model-points の後の注意）。さらに $k$ が代数閉のとき、成分群 $\Phi=\mathcal{N}_k/\mathcal{N}_k^0$ は $X_k$ の既約成分 $C_1,\dots,C_r$ の交叉行列 $M=(C_i\cdot C_j)$ と重複度 $d_i$ から、鎖複体 $\mathbb{Z}^r\xrightarrow{M}\mathbb{Z}^r\xrightarrow{(d_i)}\mathbb{Z}$ の中央のホモロジーとして計算できる（BLR90 §9.6 Theorem 1）。ex-neron-model-multiplicative の $\mathrm{I}_n$ 型（$n\ge3$）では $X_k$ は $n$ 個の射影直線 $\mathbb{P}^1$ が輪状に交わったもので、$M$ は対角に $-2$、隣接する成分の間に $1$ をもつ行列であり、このホモロジーは $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である（$M$ の像は $\{(m_i)\colon\sum_im_i=0\}$ の中で指数 $n$ の部分群である）。